江蘇省無錫市青山高級中學2024?2025高二下學期期中考試數學試卷一、單選題1．若，則（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或32．已知隨機變量服從正態分布，則（

）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.843．在的展開式中，的系數是（

）A． B． C．20 D．804．2024年巴黎奧運會乒乓球比賽，中國隊表現出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國歷史上第一塊奧運乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對戰朝鮮隊，最終以的比分贏得勝利.假設2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合再次以獲勝的概率為（

）A． B． C． D．5．已知函數的導函數為，且，則（

）A． B． C． D．6．甲?乙?丙?丁?戊?己共6名同學進行數學文化知識比賽，決出第1名到第6名的名次.甲?乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名.”對乙說：“你和丙的名次是相鄰的.”從對這兩人回答分析，這6人的名次排列的所有可能不同情況有（

）種.A．144 B．156 C．168 D．1927．已知函數，若函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釣著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，若從頂端投入1024粒小球，則落入3號格子的小球的均值為（

）A．93 B．120 C．210 D．300二、多選題9．已知離散型隨機變量的分布列如下所示，則下列結論正確的是（

）-213A． B．C． D．10．某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數學競賽（每人被選中的機會均等），記“男生甲被選中”，“男生乙和女生丙至少一個被選中”，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．11．對于函數，下列結論正確的（

）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若恒成立，則三、填空題12．一質點的運動方程為（s的單位：m，時間單位：s），則該質點在時的瞬時速度為.13．展開式中的系數為．14．已知函數有三個不同的零點，其中則的值為.四、解答題15．3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數．按要求列出式子，再計算結果，用數字作答．（1）從中選出1名男生和3名女生排成一列；（2）全體站成一排，男生必須站一起；（3）全體站成一排，甲不站排頭，乙站在排尾．16．已知，求解：（1）；（2）；（3）．17．已知函數．（1）當時，求的單調區間與極值；（2）若在上有解，求實數的取值范圍．18．DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學習的決心．DeepSeek主要功能為內容生成、數據分析與可視化、代碼輔助、多模態融合、自主智能體等，在金融領域、醫療健康、智能制造、教育領域等多個領域都有廣泛的應用場景．為提高DeepSeek的應用能力，某公司組織A，B兩部門的50名員工參加DeepSeek培訓．（1）此次DeepSeek培訓的員工中共有6名部門領導參加，恰有3人來自部門．從這6名部門領導中隨機選取2人，記表示選取的2人中來自部門的人數，求的分布列和數學期望；（2）此次DeepSeek培訓分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，每輪培訓結果相互獨立，至少兩輪培訓達到“優秀”的員工才能合格．（ⅰ）求每位員工經過培訓合格的概率；（ⅱ）經過預測，開展DeepSeek培訓后，合格的員工每人每年平均為公司創造利潤30萬元，不合格的員工每人每年平均為公司創造利潤20萬元，且公司需每年平均為每位參加培訓的員工支付3萬元的其他成本和費用．試估計該公司兩部門培訓后的年利潤（公司年利潤員工創造的利潤-其他成本和費用）．19．已知函數（1）當時，求曲線)在點處的切線方程;（2）討論函數的單調性；（3）若對任意的，都有成立，求整數的最大值.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，所以或，解得或.故選D.2．【答案】C【詳解】由題意得，由正態曲線的對稱性知，所以．故選C3．【答案】D【分析】先求出展開式中的通項，再求出值即可．【詳解】展開式中的通項公式為：，令，則，展開式中的系數為，故選D．4．【答案】B【詳解】“莎頭”組合再次以獲勝，即前局“莎頭”組合勝局、負局，第局“莎頭”組合獲勝，所以“莎頭”組合再次以獲勝的概率.故選B5．【答案】D【詳解】由可得，令可得，即.故選D6．【答案】C【詳解】依題意，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，當丙是第一名時，則第二名肯定是乙，則共有種不同名次排列情況；當丙不是第一名時，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，則共有種不同名次排列情況，故共有種不同名次排列情況.故選C7．【答案】D【詳解】由可得，因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，即，即，令，則，當時，，則單調遞增，所以，所以，即.故選D8．【答案】B【詳解】由于小球是等概率的向左或向右下落，則最后落入格子的號碼數，所以，又1024個小球落入第三個格子的球數，所以，即落入第三個格子的球數均值為120.故選B.9．【答案】BD【詳解】對于，由分布列的性質可得，解得，故錯誤；對于，故B正確；對于，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選BD.10．【答案】ACD【詳解】由題意，總情況數為，符合事件的情況有先選定男生甲，再從剩下的人種選出人，則情況數為，所以，對于事件“男生甲被選定，且男生乙和女生丙至少一個被選中”，符合事件的情況有①先選定男生甲，再選定男生乙，最后再除男生甲乙與女生丙之外的人中選出人，則情況數為，②先選定男生甲，再選定女生丙，最后再除男生甲乙與女生丙之外的人中選出人，則情況數為，③先選定男生甲，再選定男生乙與女生丙，則情況數為，所以，對于事件，易知其對立事件“男生乙與女生丙都不選”，則事件的情況有從除男生乙與女生丙之外人選人，則情況數為，所以，由條件概率公式可得．故選ACD．11．【答案】ACD【詳解】由函數，可得，令，解得，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，所以A正確；當時，，當時，，則函數的圖象，如圖所示，所以函數有且僅有一個零點，所以B錯誤；由函數的圖象，可得，因為，所以，所以C正確；若在恒成立，則在恒成立，令，可得，當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，所以D正確.故選ACD.12．【答案】12【詳解】因為質點的運動方程為，所以，所以當時的瞬時速度為.13．【答案】【詳解】因為展開式通項，所以展開式中項為：，所以展開式中的系數為.14．【答案】1【詳解】設，，當時，；當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，且時，；時，，∴，作出的圖象，如圖要使有三個不同的零點，其中令，則需要有兩個不同的實數根（其中）可得，∵，∴，則∴，則，且∴.15．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）從3名男生中任選1名有種選法，從4名女生中任選3名有種選法，再將選取的4人全排列有種排法，由分步乘法計數原理可得共有種排法．（2）將3個男生看作一個整體，然后與4個女生全排有種，再將3個男生全排列有種，由分步乘法計數原理可得共有種排法．（3）乙站在排尾，對于甲有種排法，其他人有種排法，由分步乘法計數原理可得共有種排法．16．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）令，得①．令，得②，由①②，得，.（2）求，即相當于求二項式的系數和，令，得．（3）因為，兩邊分別求導，得，令，得．17．【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增，極小值，無極大值；（2）【詳解】（1）當時，，所以，當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時函數有極小值，無極大值；（2）當時恒成立，所以；當，在上有解，即在上有解，即在上有解，令，，則由（1）知時，即，所以當時，當時；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數的取值范圍是.18．【答案】（1）分布列見解析，1（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100【詳解】（1）的所有可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布．的分布列為012的數學期望．（2）（ⅰ）記“每位員工經過培訓合格”，“每位員工第輪培訓達到優秀”（），，根據概率加法公式和事件相互獨立定義得，，即每位員工經過培訓合格的概率為．（ⅱ）記兩部門開展DeepSeek培訓后合格的人數為，則，，則（萬元），即估計兩部門的員工參加DeepSeek培訓后為公司創造的年利潤為1100萬元．19．【答案】（1）（2）答案見解析（3）3【詳解】（1）當時，