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高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市新蔡縣2025屆高三三模數學試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足(其中為虛數單位),則的虛部是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意,得,所以虛部為,故選:B.2.已知函數在上單調遞減,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數在上單調遞減,所以當時,恒成立,則;當時,由在上遞減,若,,合題意,若,則,故;又分段點處也要滿足遞減的性質,所以,解得.綜上所述,,故選:C.3.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意,,得,,所以.故選:C.4.已知向量滿足,,與的夾角為,且,則的值為()A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由,得,∴,∴,即,∴.故選:A.5.定義在上的奇函數滿足時,若在上恒成立,則實數的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】C【解析】易求當時,,所以,故.所以.由的圖象知在上遞增,所以在上恒成立,即在上恒成立.所以解得.故選:C.6.已知函數的極值點與的零點完全相同,則()A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】,由,得①,對于,由,得,依題意,所以②,由于函數的極值點與的零點完全相同,對比①②可得.故選:B7.設A,B是曲線上關于坐標原點對稱的兩點,將平面直角坐標系沿x軸折疊,使得上,下兩半部分所成二面角為,則的最小值為()A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】設,,在平面直角坐標系中,過作軸于點,過作軸于點,則,,,,折疊后即有,因為,所以,當且僅當時,等號成立,所以的最小值為.故選:C.8.若函數是單調遞增函數,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】,依題意,恒成立,令,,由,可得:,由,可得:,所以在單調遞減,在單調遞增;所以的最小值為,所以,解得,故選:B二、多選題:本題共3小題,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.9.已知函數,則下列說法正確的是()A.若,則有2個零點B.若,則的解集為C.在上有極小值D.在上有極大值【答案】ABC【解析】對于選項A:當時,由得,,解得或0,所以有且僅有2個零點,故A正確;對于選項B:當時,,且,由得,解得,所以的解集為,故B正確.對于選項C:當時,且,由得或,當時,;當時,.①若,則,當時,;可知在的右側附近單調遞減,在左側附近單調遞增,所以在內有極小值;②若,則,當時,則,可知,可知在的右側附近單調遞減,在左側附近單調遞增,所以在內有極小值;③若,當時,;當時,;可知在的右側附近單調遞增,在左側附近單調遞減,所以在有極小值;④若,則,當時,則,可知,可知在的右側附近單調遞減,在左側附近單調遞增,所以在內有極小值;綜上所述:上有極小值,故C正確.對于選項D:因為,構建,可知,構建,可得,可知在上單調遞增,則,若,則,即,可知在上單調遞增,則,且,可知在上存在唯一零點,當,,即;當,,即;可知在內單調遞減,在內單調遞增,所以有極小值,無極大值;②若,且,可知在上存在唯一零點,當,,即;當,,即;可知在內單調遞減,在內單調遞增,且,且,可知在上存在唯一零點,當,,即;當,,即;可知在內單調遞減,在內單調遞增,所以有極小值,無極大值;綜上所述:在上無極大值,故D錯誤故選:ABC.10.已知兩種金屬元件(分別記為)的抗拉強度均服從正態分布,且,,這兩個正態分布密度曲線如圖所示,則下列選項中正確的是(參考數據:若,則,)()A.B.C.D.對于任意的正數t,恒有【答案】AB【解析】對于A,,A正確;對于B,由兩個正態分布密度曲線知,則,B正確;對于C,由兩個正態分布密度曲線知,則,C錯誤;對于D,對于任意的正數t,由圖象可知,表示的面積始終小于表示的面積,則恒有,D錯誤.故選:AB11.法國天文學家喬凡尼?多美尼科?卡西尼在研究土星及其衛星的運動規律時,發現了平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡,并稱之為卡西尼卵形線(CassiniOval).已知在平面直角坐標系中,,,動點滿足,其軌跡為.下列結論中,正確的是()A.曲線關于軸對稱B.原點始終在曲線的內部C.當時,面積的最大值為D.在第一象限的點的縱坐標的最大值為【答案】ACD【解析】設,由,得.將代入上式,等式仍成立,知曲線關于軸對稱,所以選項A正確;當時,將代入等式成立,知原點在曲線上,所以選項B錯誤;當時,方程整理得.令,則,若方程有兩個負根,則,推出無解,故方程至少有一個正根,由得,面積的最大值為,所以選項C正確.由,得.令,得,所以.所以.所以.所以選項D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若曲線的切線為,則______.【答案】1【解析】設切點為,由,得,則由題意得所以,.所以.所以.故答案為:1.13.已知直線交雙曲線于點,點,若的重心恰好落在雙曲線的左焦點上,則直線的斜率為______.【答案】【解析】設,,因為,,由重心坐標公式得,,所以弦的中點坐標為,,即.又,在雙曲線上,由題意知直線的斜率存在,則,故,作差得,將中點坐標代入得.故答案為:14.已知數列的各項均不為零,且,若表示事件“,”,則________.【答案】【解析】依題意可知事件A為與同號,與異號,則,,的符號有2種情況,剩下的,,,任意選有,則.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.在中,角的對邊分別為,已知.(1)若,求的值;(2)若,,的中點為,求的長.解:(1)因,由正弦定理,得,所以.所以.又因為為的內角,所以,所以,從而.又因為,則,所以.(2)由題意,,所以.又,所以.所以.因為,所以,從而.在中,由余弦定理得,所以.16.在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,右焦點為,右頂點為,.(1)求橢圓的標準方程;(2)若過的直線交橢圓于點(其中點在軸上方),為橢圓的左頂點.若與的面積分別為,,求的取值范圍.解:(1)設橢圓的半焦距為,由題意,得,解得,故橢圓方程為.(2)①當斜率不存在時,易知;②當斜率存在時,可設,,,由,得,顯然,所以,.因為,,所以.因為,又,設,則,,解得且,所以.綜上所述,取值范圍為.17.如圖,在三棱柱中,平面平面,平面平面.(1)求證:平面;(2)若,,,求二面角的余弦值.(1)證明:如圖,取為內一點,作,交于點,作,交于點.因為平面平面且平面平面,平面,所以平面.因為平面,所以,同理得.因為,且平面,所以平面.(2)解:因為,,兩兩垂直,以為原點,建立空間直角坐標系,如圖所示.由題意,得,,,,則,,,.設平面的法向量為,則令,則,,所以.設平面的法向量為,則令,則,,所以.設二面角的平面角為,則由圖可得.故二面角的余弦值為.18.已知有限集合(,),若,則稱A為“完美集”.(1)已知,,,,成等差數列,若集合A為“完美集”,求;(2)已知,是否存在首項為3的等比數列,使得集合A為“完美集”,若存在,求集合A;若不存在,說明理由;(3)已知,且集合A為“完美集”,求A.解:(1)依題意,,,解得;(2)設數列的公比為q,依題意,,,因為集合A為“完美集”,所以,整理得,解得,不符題意,所以不存在首項為3等比數列,使得集合A為“完美集”;(3)設,若集合A為“完美集”,則,易知,,,當時,,當時,顯然不符題意;當時,不妨設,,故,所以;當時,因為,所以,符合題意;當時,,不符題意;綜上,或.19.已知函數.(1)當時,討論的單調性;(2)若,討論方程的根的個數.解:(1)的定義域為,則,因,由,解得,當時,恒成立,所以的無遞增區間,遞減區間為;②當時,,令,得;令,得,所以的遞增區間為,遞減區間為;③當時,,令,得;令,得,所以的遞增

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