高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市新蔡縣2025屆高三三模數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足（其中為虛數單位），則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，得，所以虛部為，故選：B．2.已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數在上單調遞減，所以當時，恒成立，則；當時，由在上遞減，若，，合題意，若，則，故;又分段點處也要滿足遞減的性質，所以，解得.綜上所述，，故選：C．3.已知集合，集合，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，，得，，所以．故選：C．4.已知向量滿足，，與的夾角為，且，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由，得，∴，∴，即，∴．故選：A．5.定義在上的奇函數滿足時，若在上恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易求當時，，所以，故．所以．由的圖象知在上遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立．所以解得．故選：C．6.已知函數的極值點與的零點完全相同，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，由，得①，對于，由，得，依題意，所以②，由于函數的極值點與的零點完全相同，對比①②可得.故選：B7.設A，B是曲線上關于坐標原點對稱的兩點，將平面直角坐標系沿x軸折疊，使得上，下兩半部分所成二面角為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】設，，在平面直角坐標系中，過作軸于點，過作軸于點，則，，，，折疊后即有，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選:C.8.若函數是單調遞增函數，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，依題意，恒成立，令，，由，可得：，由，可得：，所以在單調遞減，在單調遞增；所以的最小值為，所以，解得，故選：B二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知函數，則下列說法正確的是（）A.若，則有2個零點B.若，則的解集為C.在上有極小值D.在上有極大值【答案】ABC【解析】對于選項A：當時，由得，，解得或0，所以有且僅有2個零點，故A正確；對于選項B：當時，，且，由得，解得，所以的解集為，故B正確.對于選項C：當時，且，由得或，當時，；當時，.①若，則，當時，；可知在的右側附近單調遞減，在左側附近單調遞增，所以在內有極小值；②若，則，當時，則，可知，可知在的右側附近單調遞減，在左側附近單調遞增，所以在內有極小值；③若，當時，；當時，；可知在的右側附近單調遞增，在左側附近單調遞減，所以在有極小值；④若，則，當時，則，可知，可知在的右側附近單調遞減，在左側附近單調遞增，所以在內有極小值；綜上所述：上有極小值，故C正確.對于選項D：因為，構建，可知，構建，可得，可知在上單調遞增，則，若，則，即，可知在上單調遞增，則，且，可知在上存在唯一零點，當，，即；當，，即；可知在內單調遞減，在內單調遞增，所以有極小值，無極大值；②若，且，可知在上存在唯一零點，當，，即；當，，即；可知在內單調遞減，在內單調遞增，且，且，可知在上存在唯一零點，當，，即；當，，即；可知在內單調遞減，在內單調遞增，所以有極小值，無極大值；綜上所述：在上無極大值，故D錯誤故選：ABC.10.已知兩種金屬元件（分別記為）的抗拉強度均服從正態分布，且，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示，則下列選項中正確的是（參考數據：若，則，）（）A.B.C.D.對于任意的正數t，恒有【答案】AB【解析】對于A，，A正確；對于B，由兩個正態分布密度曲線知，則，B正確；對于C，由兩個正態分布密度曲線知，則，C錯誤；對于D，對于任意的正數t，由圖象可知，表示的面積始終小于表示的面積，則恒有，D錯誤.故選：AB11.法國天文學家喬凡尼?多美尼科?卡西尼在研究土星及其衛星的運動規律時，發現了平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡，并稱之為卡西尼卵形線（CassiniOval）．已知在平面直角坐標系中，，，動點滿足，其軌跡為．下列結論中，正確的是（）A.曲線關于軸對稱B.原點始終在曲線的內部C.當時，面積的最大值為D.在第一象限的點的縱坐標的最大值為【答案】ACD【解析】設，由，得．將代入上式，等式仍成立，知曲線關于軸對稱，所以選項A正確；當時，將代入等式成立，知原點在曲線上，所以選項B錯誤；當時，方程整理得．令，則，若方程有兩個負根，則，推出無解，故方程至少有一個正根，由得，面積的最大值為，所以選項C正確．由，得．令，得，所以．所以．所以．所以選項D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若曲線的切線為，則______．【答案】1【解析】設切點為，由，得，則由題意得所以，．所以．所以．故答案為：1.13.已知直線交雙曲線于點，點，若的重心恰好落在雙曲線的左焦點上，則直線的斜率為______．【答案】【解析】設，，因為，，由重心坐標公式得，，所以弦的中點坐標為，，即．又，在雙曲線上，由題意知直線的斜率存在，則，故，作差得，將中點坐標代入得．故答案為：14.已知數列的各項均不為零，且，若表示事件“，”，則________.【答案】【解析】依題意可知事件A為與同號，與異號，則，，的符號有2種情況，剩下的，，，任意選有，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，已知．（1）若，求的值；（2）若，，的中點為，求的長．解：（1）因，由正弦定理，得，所以．所以．又因為為的內角，所以，所以，從而．又因為，則，所以．（2）由題意，，所以．又，所以．所以．因為，所以，從而．在中，由余弦定理得，所以．16.在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，右焦點為，右頂點為，．（1）求橢圓的標準方程；（2）若過的直線交橢圓于點（其中點在軸上方），為橢圓的左頂點．若與的面積分別為，，求的取值范圍．解：（1）設橢圓的半焦距為，由題意，得，解得，故橢圓方程為．（2）①當斜率不存在時，易知；②當斜率存在時，可設，，，由，得，顯然，所以，．因為，，所以．因為，又，設，則，，解得且，所以．綜上所述，取值范圍為．17.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）求證：平面；（2）若，，，求二面角的余弦值．（1）證明：如圖，取為內一點，作，交于點，作，交于點．因為平面平面且平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以，同理得．因為，且平面，所以平面．（2）解：因為，，兩兩垂直，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示．由題意，得，，，，則，，，．設平面的法向量為，則令，則，，所以．設平面的法向量為，則令，則，，所以．設二面角的平面角為，則由圖可得．故二面角的余弦值為．18.已知有限集合（，），若，則稱A為“完美集”.（1）已知，，，，成等差數列，若集合A為“完美集”，求；（2）已知，是否存在首項為3的等比數列，使得集合A為“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，說明理由；（3）已知，且集合A為“完美集”，求A.解：（1）依題意，，，解得；（2）設數列的公比為q，依題意，，，因為集合A為“完美集”，所以，整理得，解得，不符題意，所以不存在首項為3等比數列，使得集合A為“完美集”；（3）設，若集合A為“完美集”，則，易知，，，當時，，當時，顯然不符題意；當時，不妨設，，故，所以；當時，因為，所以，符合題意；當時，，不符題意；綜上，或.19.已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）若，討論方程的根的個數.解：（1）的定義域為，則，因，由，解得，當時，恒成立，所以的無遞增區間，遞減區間為；②當時，，令，得；令，得，所以的遞增區間為，遞減區間為；③當時，，令，得；令，得，所以的遞增