高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省豫西北教研聯(lián)盟（平許濟(jì)洛）2025屆高三下學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）．A. B. C. D.M【答案】A【解析】由題設(shè)，則.故選：A2.已知非零向量，滿足，若，則與的夾角為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋遥裕裕裕郑?故選：B3.若復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以復(fù)平面的原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，由表示上述圓上點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)，易知.故選：D4.已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，則該圓錐的外接球的表面積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】若圓錐底面半徑為，則，可得，故圓錐的高，若圓錐外接球的半徑為，則球心到圓錐底面距離，所以，即，可得，故外接球的表面積為.故選：A5.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線交C于另一點(diǎn)B，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)P，若|，則橢圓C的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，如下示意圖，是內(nèi)切圓與的切點(diǎn)，因?yàn)樽蟆⒂医裹c(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，（橢圓參數(shù)關(guān)系），由，結(jié)合對(duì)稱性、圓的切線性質(zhì)，令，且，所以，所以，可得，故，故選：C6.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極大值點(diǎn)，則，解得，因?yàn)椋收麛?shù)最大值為.故選：D.7.函數(shù)滿足：，，且，則（）．A4900 B.4950 C.5000 D.5050【答案】B【解析】令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，，則，可得，當(dāng)時(shí)，則，顯然也滿足上式，所以，故.故選：B8.若，都有，則a的取值范圍為（）．A B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，，即，令且，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，此時(shí)，則，不合題設(shè)，故，所以，而在上單調(diào)遞增，則，問(wèn)題化為，在上恒成立，令且，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，且為奇函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）．A.，B.當(dāng)時(shí)，C.直線是曲線的一條切線D.若在區(qū)間上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】由題設(shè)，即，所以，即恒成立，所以，，A對(duì)；故，所以，或時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，故，B錯(cuò)；由上分析，極大值，極小值，顯然是曲線的一條切線，C對(duì)；若在區(qū)間上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，故，D對(duì).故選：ACD10.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，取正方形各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去．若把正方形的面積記為數(shù)列的首項(xiàng)，后繼各正方形的面積依次為，，…，，…，則下列結(jié)論正確的為（）．A.B.前10個(gè)正方形的面積之和為C.數(shù)列的前100項(xiàng)之和為D.若這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，則所有這些正方形的面積之和將趨近于8【答案】BD【解析】由題設(shè)，第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則對(duì)角線長(zhǎng)為，如下圖示，所以，即，又，即是首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，故，所以，A錯(cuò)；前10項(xiàng)和，B對(duì)；由，則其前100項(xiàng)之和，C錯(cuò)；由項(xiàng)和恒成立，D對(duì).故選：BD11.已知曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（）．A. B.的面積的最大值為2C.的最大值為4 D.的周長(zhǎng)的取值范圍為【答案】ABD【解析】令，則且，由于曲線過(guò)原點(diǎn)，則，A對(duì)；所以，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，且均在曲線上，則曲線關(guān)于軸及原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，只需分析從的變化過(guò)程，此時(shí)從，又，僅當(dāng)取等號(hào)，所以的面積的最大值為2，B對(duì)；由，整理得，所以，則，C錯(cuò)；由，而，根據(jù)對(duì)稱性，只需分析從的變化過(guò)程，對(duì)于在上單調(diào)遞增，即，所以，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，D對(duì).故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】聯(lián)立直線與拋物線得，可得，解得或，不妨令，，則，，所以.故答案為：13.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋瑢?duì)于，當(dāng)，則，而，此時(shí)最多有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)的大致圖象如下，由在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合上圖，當(dāng)，即時(shí)，，恰有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，，恰有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；綜上，.故答案為：14.甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戲，第一次由甲踢出，每次踢出時(shí)，踢出者都等可能地將毽子踢給另外三個(gè)人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢給乙，則此毽子是由丙踢出的概率為_(kāi)_________，第次踢出后，毽子恰好踢給乙的概率為_(kāi)_________．【答案】①.②.【解析】由已知條件可知，前兩次踢出的毽子被接到的情況有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共種，設(shè)事件：第二次踢出后恰好踢給乙，事件：第二次的毽子由丙踢出，乙接到，則事件包含：（丙，乙），（丁，乙）兩種情況；事件包含（丙，乙）一種情況，則，，則；設(shè)第次踢出后，毽子恰好踢給乙的概率為，易知若第次踢出后，毽子恰好踢給乙，則第次踢出后，毽子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，則，且，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求證：；（2）若，，求的面積．（1）證明：因?yàn)椋深}和正弦定理得，所以，所以，由正弦定理得；（2）解：由余弦定理且可知，，因?yàn)椋裕裕芍裕裕裕缘拿娣e.16.為豐富學(xué)生的課余生活，某地舉辦了2025年數(shù)學(xué)文化知識(shí)挑戰(zhàn)賽，舉辦方從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，現(xiàn)將成績(jī)（滿分100分）劃分為四個(gè)分?jǐn)?shù)段：，，，．已知，各分?jǐn)?shù)段人數(shù)的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)1030mn（1）求m，n的值；（2）按成績(jī)進(jìn)行分層，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100人中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽到的4人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列與期望；（3）由以往比賽成績(jī)的數(shù)據(jù)分析可知，學(xué)生成績(jī)．已知今年該地共有20000名學(xué)生參加比賽，估計(jì)成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．解：（1）已知抽取的學(xué)生總數(shù)為100名，即各分?jǐn)?shù)段頻數(shù)之和為100，可得到方程，化簡(jiǎn)得.又因?yàn)椋瑢⑵浯耄傻茫矗獾?把代入，可得.（2）計(jì)算分層抽樣后成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)：成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻數(shù)為人.從100人中抽取10人，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，抽取的10人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為人，那么成績(jī)不在內(nèi)的人數(shù)為人.表示抽到的人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)，所以的可能取值為，，，，.計(jì)算取各個(gè)值的概率：.....列出的分布列：可得.（3）已知，則，.，.今年該地共20000名學(xué)生參加比賽，所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)約為人.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，且．（1）求證：平面；（2）求平面和平面的夾角的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)G在線段上，且，判斷直線是否在平面內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，又，都在平面內(nèi)，所以平面；（2）解：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，平面，平面，則，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取則，平面的一個(gè)法向量為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值；（3）解：直線在平面內(nèi)，理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，，所以，，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，所以，所以直線在平面內(nèi).18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)Q，記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．（1）求C方程；（2）已知點(diǎn)，若垂直于x軸的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線和C的另外一個(gè)交點(diǎn)為D．（ⅰ）求證：直線過(guò)定點(diǎn)E；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)E作直線l交C于M，N兩點(diǎn)（M，N在y軸右側(cè)），求的面積的最小值．解：（1）由在線段的垂直平分線上，則，點(diǎn)是圓上任意點(diǎn)，則，，所以，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線，對(duì)應(yīng)雙曲線參數(shù)為，則軌跡方程為；（2）（i）設(shè)，則，直線，聯(lián)立雙曲線，得，，且，，由，則，整理得，又，，所以，顯然直線過(guò)定點(diǎn)，得證；（ii）由直線過(guò)點(diǎn)，與雙曲線右支交于，故斜率必不為0，所以，可設(shè)，，聯(lián)立雙曲線，整理得，，則，則，，，令，則，又在上單調(diào)遞減，則，此時(shí)，即，所以最小.19.若存在正實(shí)數(shù)a，對(duì)任意，使得，則稱函數(shù)在D上是一個(gè)“函數(shù)”．（1）已知函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，求a；（2）當(dāng)時(shí)，．證明：函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”；（3）證明：．（1）解：由在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，所以任意，恒