高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1、答題前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上并將考生的條形碼貼在答題卡指定位置上2、回答選擇題時(shí)選出每小題答案之后用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3、考試結(jié)束之后，將本卷和答題卡一并收回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（）1234560.210.200.100.10A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65【答案】B【解析】由題意得，解得，，解得，故.故選：B2.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且成等差數(shù)列，則（）A.3 B.6 C.9 D.18【答案】C【解析】若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以公比，且成等差數(shù)列，可得,即得可得，.故選：C.3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則直線與的位置關(guān)系是（）A.異面 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直【答案】B【解析】由，，，，得，，則，即，而，顯然向量不共線，即點(diǎn)不在直線上，所以直線與平行．故選：B4.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠峰計(jì)劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)術(shù)大師．已知浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地，某班級(jí)有5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，則每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法數(shù)共有（）A.120種 B.180種 C.240種 D.300種【答案】C【解析】將5位同學(xué)分為2，1，1，1的分組，再分配到4所學(xué)校，共有種方法.故選：C5.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.240 C. D.180【答案】C【解析】因?yàn)椋终归_式的通項(xiàng)為，，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C6.如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，，，，其大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得到橢圓①，②的b值相同，a值①比②小，則，可以知道，；根據(jù)雙曲線的開口越大離心率越大，則．所以，故選：A．7.若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線漸近線為，且與圓沒有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．故選：B．8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即；又，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，即，綜上可得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.三棱錐中，平面與平面的法向量分別為,,則二面角的大小可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，所以二面角的大小可能為或．故選：BC.10.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．已知橢圓，其蒙日?qǐng)A為圓，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.圓的方程為 B.四邊形面積的最小值為4C.的最小值為 D.當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線的方程為【答案】BD【解析】當(dāng)切線的切點(diǎn)分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，可以得到兩切線的交點(diǎn)為，所以蒙日?qǐng)A的方程為，故A不正確；四邊形面積為：，只需求出最小值，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；設(shè),則，故，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，而的最小值，故的最小值8，故等號(hào)取不到，故C不正確；當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共以為直徑圓上，所以這個(gè)圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋沂堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.方程的判別式B.C.若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若且，則是的極小值點(diǎn)【答案】ABD【解析】因?yàn)椋瑒t，依題意是關(guān)于方程的一個(gè)變號(hào)正實(shí)數(shù)根，所以方程的判別式，故A正確；因?yàn)椋@然，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋院瘮?shù)的開口向下，且與軸的正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；當(dāng)且，將代入，整理得，所以方程有兩個(gè)不相等正實(shí)數(shù)根與，又，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足．且，若，則________．【答案】2024【解析】因?yàn)椋裕郑瑒t，所以，故，則，所以，則的各項(xiàng)分別為，所以.故答案為：202413.已知函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在此區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題可知，當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增，故只有極小值點(diǎn)2.若在區(qū)間上有定義且有極值點(diǎn)，則，解得.故答案為:14.某校課外學(xué)習(xí)社對(duì)“學(xué)生性別和喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中有的學(xué)生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲，女生中有的學(xué)生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲，若有超過的把握但沒有的把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，則被調(diào)查的學(xué)生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635解：設(shè)男生有人，則由題意可得列聯(lián)表如下喜歡不喜歡合計(jì)男生女生合計(jì)則，因?yàn)橛谐^的把握但沒有的把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，所以，得，因?yàn)闉?的整數(shù)倍，所以可能取值為45，50，55，60，65，即被調(diào)查的學(xué)生中男生可能有45，或50，或55，或60，或65人，故答案為：45，或50，或55，或60，或65四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極值36．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．解：（1）由題意知．∵，，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，∴，由，即，解得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．16.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，，，.（1）證明：平面；（2）若，M為棱上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）在四棱錐中，連接交于，連接，如圖，因?yàn)榈酌媸橇庑危瑒t，又是的中點(diǎn)，，則，而平面，所以平面.（2）連接，由平面，平面，則，而，平面，因此平面，又是邊長(zhǎng)為6的菱形，，則，面積，過作交于，而，且，則，顯然，于是，面積，令點(diǎn)到平面的距離為，又平面，由，即，得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.17.某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，準(zhǔn)備了甲?乙兩個(gè)箱子，甲箱內(nèi)有2個(gè)黑球?4個(gè)白球，乙箱內(nèi)有4個(gè)紅球?6個(gè)黃球.每位顧客可參與一次抽獎(jiǎng)，先從甲箱中摸出一個(gè)球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出兩個(gè)球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一個(gè)球.摸出一個(gè)紅球可獲得90元獎(jiǎng)金，摸出兩個(gè)紅球可獲得180元獎(jiǎng)金.（1）求某顧客摸出紅球的概率；（2）設(shè)某家庭四人均參與了抽獎(jiǎng)，他們獲得的獎(jiǎng)金總數(shù)為元，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)“從甲箱中摸出黑球”，“從甲箱中摸出白球”，“從乙箱中摸出紅球”，“某顧客摸出紅球”，則.因?yàn)椋?（2）設(shè)該家庭每個(gè)人獲得的獎(jiǎng)金為元，則的取值可能為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為090180（元）.又因?yàn)椋裕ㄔ?18.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)和．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)（異于點(diǎn)）是上不同的兩點(diǎn)，且，證明直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題意得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)椋灾本€的斜率為，同理可得點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有，解得，直線的方程為．當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則直線的方程為，即，即，直線過定點(diǎn)．又當(dāng)時(shí)，直線也過點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)．（方法二）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，，即．設(shè)，則，．因?yàn)椋裕矗?jiǎn)得，解得或，所以直線的方程為或（過點(diǎn)A,不合題意，舍去），所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，設(shè)它的方程為，因?yàn)椋裕郑獾没颍ㄟ^點(diǎn)A,不合題意，舍去），所以此時(shí)直線的方程為，也過點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)．19.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，設(shè)為中的最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列.例如數(shù)列3，5，4，7的控制數(shù)列是3，5，5，7.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是2，3，4，6，6，寫出所有的；（2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，）.證明：.（3）考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列.是否存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由題意，，，，，所以數(shù)列有六種可能：；；；；；．（2）因?yàn)椋裕钥刂茢?shù)列是不減的數(shù)