高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南部分高中2025屆高三下學(xué)期4月青桐鳴大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故選：B.2.已知為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】易得函數(shù)的定義域?yàn)椋墒桥己瘮?shù)，得恒成立，可得，故.故選：C3.已知為平面，為兩條不同的直線，且，設(shè)命題甲：；命題乙：，則（）A.甲是乙充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】D【解析】，，或，充分性不成立；，，和相交、平行或異面，必要性不成立.故選：D.4.已知隨機(jī)事件滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，；，，.故選：A.5.記拋物線的焦點(diǎn)為上一點(diǎn)滿足，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由拋物線的定義可得，解得，代入的方程可得，故直線的斜率為.故選：D6.已知，且，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】因?yàn)椋裕睿瑒t，解得或，即或（舍去），所以.故選：C.7.已知變量與變量的關(guān)系可以用模型（，為常數(shù)）擬合，設(shè)，變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：234561.021.201.421.621.84由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.0.206 B. C.0.596 D.【答案】D【解析】由表格中數(shù)據(jù)得，，代入方程得，，解得，因此.由兩邊取對(duì)數(shù)，得.又，所以，，即.故選：D8.函數(shù)在上的零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為（）A.5，3 B.5，4 C.3，4 D.3，2【答案】B【解析】令，所以或，又，所以，即在上有5個(gè)零點(diǎn)；，令，解得或，又，所以在區(qū)間上有2個(gè)解，在區(qū)間上有2個(gè)解，故在上有4個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在上有4個(gè)極值點(diǎn).故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，為虛數(shù)單位，，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若為純虛數(shù)，則B.若在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則C.的最小值為D.為定值【答案】AC【解析】；對(duì)于A，為純虛數(shù)，，解得：，A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，，解得：，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，不是定值，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若，則C.和的面積之和的最大值為1D.若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：由題意得，，故A正確；對(duì)于B：若，則，又因?yàn)椋曰颍簦瑒t，此時(shí)，若，則，此時(shí)，故B正確；對(duì)于C：，，，所以，整理得，所以和的面積之和的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，注意到在單位圓上，當(dāng)且僅當(dāng)與單位圓相切時(shí)，取最大值，此時(shí)恰為，故為以為斜邊的等腰直角三角形，所以，故D正確.故選：ABD.11.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.存在正整數(shù)，對(duì)于任意的正整數(shù)，均有C.對(duì)于任意的正整數(shù)，均有D.存正整數(shù)，使得【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，取前3項(xiàng)知成等差數(shù)列，即.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，取前3項(xiàng)知成等比數(shù)列，即，代入，得，即，也即，所以或.若，那么，所以，但不為等比數(shù)列，所以假設(shè)不成立，則，得，檢驗(yàn)得為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，故A正確.對(duì)于B，也就是驗(yàn)證數(shù)列是否存在唯一的最大項(xiàng)，令，即解得，令，解得，又，所以，即最大項(xiàng)不唯一?因此不存在符合題意的正整數(shù)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，D，因?yàn)?記，注意到，所以，于是，因此對(duì)于任意的正整數(shù)，均有，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為橢圓上一點(diǎn)，且直線與有且僅由一個(gè)交點(diǎn)，則的焦距為_(kāi)_________.【答案】【解析】將代入橢圓方程，得到，又因?yàn)橹本€與僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，進(jìn)而解得，所以的焦距為.故答案為：.13.設(shè)函數(shù)，若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，__________.【答案】【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，則，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），.故答案為：.14.已知是函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，函數(shù)滿足，則坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線在點(diǎn)處的切線的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】，因，所以，解得，故，故在處的切線方程為，故坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線在點(diǎn)處的切線的距離為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在壓力日益增大的當(dāng)下，越來(lái)越多的人每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)無(wú)法滿足緩解壓力的需要.某研究小組隨機(jī)調(diào)查了某地100名工作人員每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)，這100名工作人員平均每天睡眠時(shí)長(zhǎng)如下表所示，實(shí)際數(shù)據(jù)處理及分析中，認(rèn)為工作日與周末無(wú)差異.睡眠時(shí)長(zhǎng)/小時(shí)人數(shù)5122836172（1）估計(jì)該地所有工作人員平均每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（2）在被調(diào)查的100名工作人員中，有40名表示“近期壓力過(guò)大”，由頻率估計(jì)概率，在該地的所有工作人員中隨機(jī)調(diào)查3名，設(shè)“近期壓力過(guò)大”的人數(shù)為.（i）求的值；（ii）求的分布列和期望.解：（1）這100名工作人員平均每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，則（小時(shí)），故估計(jì)該地所有工作人員平均每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)為7.27小時(shí).（2）（i）被調(diào)查的100名工作人員中有40名表示“近期壓力過(guò)大”，則表示“近期壓力過(guò)大”的頻率為，由頻率估計(jì)概率，在該地的所有工作人員中隨機(jī)調(diào)查1名工作人員，表示“近期壓力過(guò)大”的概率為，故，則，，故.（ii）因，則，，故其分布列如下表所示：0123故期望.16.如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，，.點(diǎn)滿足，，.（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，平面，平面平面.（2）解：上一點(diǎn)滿足，連接，，，且，四邊形為平行四邊形，，，又，，平面平面，平面平面，平面，平面.，，平面，，平面.則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，由可知：，解得：，，（3）解：由（2）得：，，，記平面的法向量為，則，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.（1）求的面積.（2）若.（i）求的值；（ii）求內(nèi)切圓的半徑.解：（1）由正弦定理得：，，，.（2）（i），，，，，，，解得：；（ii）由（i）得：，，，，內(nèi)切圓半徑.18.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，是上的兩點(diǎn)，在中，邊的中點(diǎn)為.當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，有.（1）求的離心率；（2）若直線不與軸平行，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).（1）解：設(shè)，則，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，，所以，故的橫坐標(biāo)為，代入方程，得，則，則，因，則，即，解得（負(fù)值舍去），故的離心率為.（2）證明：由（1）可知，，因直線不與軸平行，故設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立，得，則，因?yàn)椋沂蔷€段的中點(diǎn)，則，所以，即，因，，所以，即，即即，得，解得或，若，則直線，過(guò)點(diǎn)，不符合題意；若，則直線，滿足，則過(guò)定點(diǎn)，則直線過(guò)定點(diǎn).19.若，則稱是和的減比中項(xiàng).（1）若是和的減比中項(xiàng)，求的取值范圍.（2）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，存在正