§2.5函數性質的綜合應用(分值：52分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知f(x)是R上的偶函數，且f(x)+f(x+2)=0，當0≤x≤1時，f(x)=1-x2，則f(2025.5)等于()A.-0.75 B.-0.25C.0.25 D.0.752.已知函數f(x)滿足f(1-x)=f(x+3)，且f(x)在(0，2)上單調遞增，則f(1)，f52，f7A.f(1)<f52<fB.f72<f(1)<fC.f52<f72<D.f72<f52<3.定義在R上的函數f(x)是偶函數，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在區間[1，2]上單調遞減，則函數f(x)()A.在區間[0，1]上單調遞增，在區間[-2，-1]上單調遞減B.在區間[0，1]上單調遞增，在區間[-2，-1]上單調遞增C.在區間[0，1]上單調遞減，在區間[-2，-1]上單調遞減D.在區間[0，1]上單調遞減，在區間[-2，-1]上單調遞增4.(2025·西安模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)=f(x+2)，則下列說法錯誤的是()A.f(0)=0B.f(x)是周期函數，且2是其一個周期C.f(2025)=1D.f(3)=f(4)+f(5)5.已知定義域為R的函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，且f(x+2)為奇函數，若f(1)=2，則f(2026)+f(2027)等于()A.-1 B.0 C.2 D.-26.(2024·濟寧檢測)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，若?a，b∈[0，+∞)，且a≠b，都有af(a)?bf(b)a?b<0成立，則不等式f1A.(-1，0)∪1B.?12，0∪C.(-∞，-1)∪1D.?∞，?12二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.若定義域為R的函數f(x)滿足f(x+1)為奇函數，且對任意x1，x2∈[1，+∞)，且x1≠x2，都有f(A.f(x)的圖象關于點(-1，0)對稱B.f(x)是R上的增函數C.f(x)+f(2-x)=2D.關于x的不等式f(x)<0的解集為(-∞，1)8.(2025·開封模擬)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，則()A.f(0)=2B.f(3-x)=f(3+x)C.f(x)是周期函數D.f(x)的解析式可能為f(x)=2sinπ6三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·杭州模擬)已知f(x)為定義在R上的奇函數，且是最小正周期為T的周期函數，則sinπ3+fT10.(2025·鄭州聯考)已知函數f(x)的定義域為R，且f(2x-1)為奇函數，f(x+1)為偶函數，當x∈?1，1時，f(x)=ax+1，則f(2025)=.

答案精析1.A[由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，則f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一個周期，故f(2025.5)＝f(1.5)＝－f(－0.5)＝－f(0.5)＝－(1－0.52)＝－0.75.]2.B[由函數f(x)滿足f(1－x)＝f(x＋3)，得函數f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，顯然f

52＝f

32，f

72＝f

12，而12<1<32，f(x)在(0，2)上單調遞增，因此f

12<f所以f

72<f(1)<f

523.B[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，∵f(x)在區間[1，2]上單調遞減，∴f(x)在區間[0，1]上單調遞增，又∵f(x)是偶函數，∴f(x)＝f(－x)，∴f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)是周期為2的函數，∴f(x)在區間[－2，－1]上也單調遞增.]4.C[選項A，因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0，選項A正確；選項B，由f(x)＝f(x＋2)，知f(x)是周期函數，且2是其一個周期，選項B正確；選項C，因為f(2025)＝f(1＋2×1012)＝f(1)，又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，所以f(2025)＝0，選項C錯誤；選項D，f(3)＝f(1)＝0，f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0，選項D正確.]5.D[函數f(x＋2)為奇函數，所以函數f(x＋2)的圖象關于點(0，0)對稱，所以函數f(x)的圖象關于點(2，0)對稱，又函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故函數f(x)的一個周期為4，因為函數f(x)的圖象關于點(2，0)對稱，故f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－2，所以f(2026)＋f(2027)＝f(2)＋f(3)＝－2.]6.D[令g(x)＝xf(x)，由題意知g(x)在[0，＋∞)上單調遞減，又f(x)為R上的偶函數，所以g(x)為R上的奇函數，所以g(x)在R上單調遞減，①當t>0時，原不等式等價于1tf

1t>(2t－1)f(2t即g1t>g(2t－1所以1t<2t－1所以1<2t2－t，解得t>1；②當t<0時，原不等式等價于1tf

1t<(2t－1)f(2t即g1t<g(2t－1所以1t>2t－1所以1<2t2－t，解得t<－12所以t<－12或t7.BD[由定義域為R的函數f(x)滿足f(x＋1)為奇函數，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，因此函數f(x)關于點(1，0)對稱，由對任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有f(x得f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，由函數的對稱性知，f(x)在(－∞，1]上單調遞增，又f(1)＝0，因此f(x)是R上的增函數，B正確；顯然f(－1)<f(1)＝0，則f(x)的圖象不關于點(－1，0)對稱，A錯誤；由f(x)關于點(1，0)對稱，得f(x)＋f(2－x)＝0，C錯誤；顯然f(1)＝0，又f(x)在R上單調遞增，則由f(x)<0，得x<1，D正確.]8.ABC[由f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，有f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，可得f(0)＝2，故A正確；令x＝0，則f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，則f(y)＝f(－y)，函數f(x)是偶函數，而f(x)＝2sinπ6x為奇函數，故Df(1)＝1，令y＝1，則f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，則f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝[f(x－1)－f(x－2)]－f(x－1)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－3)＝f(x－6)，則f(x)的一個周期為6，C正確；由于f(x)為偶函數且周期為6，故f(3－x)＝f(x－3)＝f(3＋x)，B正確.]9.3解析因為f(x)的最小正周期為T，故f

T2＝f

T2?T又f(x)為奇函數，故f

?T2＝－f

故f

T2＝－f

T即2f

T2＝0，解得f

T2故sinπ3＋fT10.2解析因為f(2x－1)為奇函