§6.4數列中的構造問題重點解讀數列中的構造問題是歷年高考的一個熱點內容，主、客觀題均可出現，一般通過構造新的數列求數列的通項公式.題型一待定系數法命題點1an+1＝pan+q(p≠0，1；q≠0)例1已知數列{an}中，a1＝5且an+1＝4an+6，則an＝.命題點2an+1＝pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)例2已知數列{an}滿足a1＝2，an+1＝2an－n+1，Sn為數列{an}的前n項和，則S8＝.命題點3an+1＝pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)例3(2024·衡陽模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝an+1－2n+1，a1＝2，則an＝.思維升華形式構造方法an+1＝pan+q引入參數c，構造新的等比數列{an－c}an+1＝pan+qn+c引入參數x，y，構造新的等比數列{an+xn+y}an+1＝pan+qn兩邊同除以qn+1，構造新的數列a跟蹤訓練1(多選)已知數列{an}，下列結論正確的有()A.若a1＝2，2(n+1)an－nan+1＝0，則an＝n·2nB.在數列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1+3(n≥2，且n∈N*)，則數列{an}的通項公式為an＝2n+1－3C.若a1＝2，an＝13an－1+13n(n≥D.已知數列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+n－1，則數列{an}的通項公式為an＝2n－n+1題型二取倒數法和取對數法命題點1取倒數法例4已知數列{an}中，a1＝1，an+1＝anan+3(n∈N*)，則a命題點2取對數法例5(2025·岳陽模擬)已知數列{an}滿足a1＝10，an+1＝10an2，則an＝思維升華(1)形如an+1＝tansan+r的遞推公式，兩邊同時取倒數轉化為1an+1＝rt·1an+st(2)形如an+1＝panq的遞推公式，兩邊同取以p為底的對數，得logpan+1＝qlogpan+1，將logpan看成整體，運用待定系數法求得logpan的表達式，再得出a跟蹤訓練2(1)在數列{bn}中，b1＝－1，bn+1＝bn3bn+2，則數列{bn}的通項公式(2)設數列{an}滿足a1＝10，an>0，且an＝an?12(n≥2)，則an

答案精析例17×4n－1－2解析因為an+1＝4an+6，所以an+1+2＝4an+8＝4(an+2)，又因為a1+2＝5+2＝7≠0，所以an+1所以數列{an+2}是以7為首項，4為公比的等比數列，所以an+2＝7×4n－1?an＝7×4n－1－2.例2291解析設an+1+λ(n+1)+u＝2(an+λn+u)，所以an+1＝2an+λn+u－λ，又an+1＝2an－n+1，所以λ＝?1,所以an+1－(n+1)＝2(an－n)，又a1－1＝1，因此數列{an－n}是以1為首項，2為公比的等比數列，故an－n＝2n－1，因此an＝n+2n－1，所以S8＝(1+2+…+8)+(20+21+…+27)＝8+20×例3(n+1)2n－1解析因為Sn＝an+1－2n+1，Sn－1＝an－2n(n≥2)，兩式相減得Sn－Sn－1＝(an+1－2n+1)－(an－2n)，即an+1＝2an+2n.兩邊同除以2n+1可得an+12n+1又S1＝a2－22＝2，得a2＝6，滿足a2所以數列an2n是首項為公差為12故an2n即an＝(n+1)2n－1.跟蹤訓練1AB[∵2(n+1)an－nan+1＝0，∴an∴ann是首項為a公比為2的等比數列，∴ann＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故由an＝2an－1+3(n≥2)，得an+3＝2(an－1+3)，即an+3又a1+3＝1+3＝4，∴數列{an+3}是首項為4，公比為2的等比數列，∴an+3＝4×2n－1，即an＝2n+1－3，∴數列{an}的通項公式為an＝2n+1－3，故B正確；根據題意，an＝13an－1+?an13n－a又a113＝6，∴a公差為1的等差數列，故C錯誤；設an+1+k(n+1)+b＝2(an+kn+b)，∴an+1＝2an+kn+b－k，由an+1＝2an+n－1，得k＝1,∴an+1即{an+n}是首項為a1+1＝2，公比為2的等比數列.∴an+n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D錯誤.]例42解析因為an+1＝anan+3(n所以1an設1an+1+t所以3t－t＝1，解得t＝12所以1an+1+1又1a1+12所以數列1an+12是以32為首項，3為公比的等比數列，所以1an+12＝32例510解析由an+1＝10an2可得anlgan+1＝lg(10an2)＝2lgan故lgan+1+1＝2(lgan+1)，又lga1+1＝2，故數列{lgan+1}是首項為2，公比為2的等比數列，則lgan+1＝2n，故an＝102跟蹤訓練2(1)1解析bn+1＝bn得1bn+1＝因此1bn+1又1b1故1bn+3是以2則1bn+3＝2·2n－1＝2可得bn＝12(2)10解析∵an>0，且an＝an兩邊取對數有lgan＝lgan?12＝2lga∴lganlgan?1∴數列{lgan}是以lga1＝1為首項，2為公比的等比數列，∴lgan＝2n－1，∴an＝102

6.4數列中的構造問題重點解讀數列中的構造問題是歷年高考的一個熱點內容，主、客觀題均可出現，一般通過構造新的數列求數列的通項公式.題型一待定系數法命題點1an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)例1已知數列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，則an=.

答案7×4n-1-2解析因為an+1=4an+6，所以an+1+2=4an+8=4(an+2)，又因為a1+2=5+2=7≠0，所以an+1所以數列{an+2}是以7為首項，4為公比的等比數列，所以an+2=7×4n-1?an=7×4n-1-2.命題點2an+1=pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)例2已知數列{an}滿足a1=2，an+1=2an-n+1，Sn為數列{an}的前n項和，則S8=.

答案291解析設an+1+λ(n+1)+u=2(an+λn+u)，所以an+1=2an+λn+u-λ，又an+1=2an-n+1，所以λ=?1,u所以an+1-(n+1)=2(an-n)，又a1-1=1，因此數列{an-n}是以1為首項，2為公比的等比數列，故an-n=2n-1，因此an=n+2n-1，所以S8=(1+2+…+8)+(20+21+…+27)=8×(1+8)2命題點3an+1=pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)例3(2024·衡陽模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，則an=.

答案(n+1)2n-1解析因為Sn=an+1-2n+1，Sn-1=an-2n(n≥2)，兩式相減得Sn-Sn-1=(an+1-2n+1)-(an-2n)，即an+1=2an+2n.兩邊同除以2n+1可得an+12n+1-an2又S1=a2-22=2，得a2=6，滿足a222-a所以數列an2n是首項為a12=1，公差為12的等差數列，故即an=(n+1)2n-1.思維升華形式構造方法an+1=pan+q引入參數c，構造新的等比數列{an-c}an+1=pan+qn+c引入參數x，y，構造新的等比數列{an+xn+y}an+1=pan+qn兩邊同除以qn+1，構造新的數列a跟蹤訓練1(多選)已知數列{an}，下列結論正確的有()A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，則an=n·2nB.在數列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，則數列{an}的通項公式為an=2n+1-3C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥D.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1，則數列{an}的通項公式為an=2n-n+1答案AB解析∵2(n+1)an-nan+1=0，∴an+1n∴ann是首項為a11∴ann=2·2n-1，∴an=n·2n，故由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)，即an+3又a1+3=1+3=4，∴數列{an+3}是首項為4，公比為2的等比數列，∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3，∴數列{an}的通項公式為an=2n+1-3，故B正確；根據題意，an=13an-1+?an13n-an?1又a113=6，∴an13n設an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，∴an+1=2an+kn+b-k，由an+1=2an+n-1，得k=1,b∴an+1即{an+n}是首項為a1+1=2，公比為2的等比數列.∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D錯誤.題型二取倒數法和取對數法命題點1取倒數法例4已知數列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，則an答案2解析因為an+1=anan+3(n所以1an+1=設1an+1+t所以3t-t=1，解得t=12所以1an+1+1又1a1+12=1+1所以數列1an+12是以32為首項，3為公比的等比數列，所以1an+12所以an=23命題點2取對數法例5(2025·岳陽模擬)已知數列{an}滿足a1=10，an+1=10an2，則an=答案10解析由an+1=10an2可得anlgan+1=lg(10an2)=2lgan故lgan+1+1=2(lgan+1)，又lga1+1=2，故數列{lgan+1}是首項為2，公比為2的等比數列，則lgan+1=2n，故an=102思維升華(1)形如an+1=tansan+r的遞推公式，兩邊同時取倒數轉化為1an+1=rt·1an+st的形式，化歸為b(2)形如an+1=panq的遞推公式，兩邊同取以p為底的對數，得logpan+1=qlogpan+1，將logpan看成整體，運用待定系數法求得logpan的表達式，再得出a跟蹤訓練2(1)在數列{bn}中，b1=-1，bn+1=bn3bn+2，則數列{bn}的通項公式b答案1解析bn+1=bn得1bn+1=3bn+2因此1bn+1又1b1故1bn+3是以2則1bn+3=2·2n-1=2n，可得bn=(2)設數列{an}滿足a1=10，an>0，且an=an?12(n≥2)，則an=答案10解析∵an>0，且an=an兩邊取對數有lgan=lgan?12=2lga∴lganlgan?1∴數列{lgan}是以lga1=1為首項，2為公比的等比數列，∴lgan=2n-1，∴an=102課時精練(分值：70分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·瀘州模擬)已知數列{an}滿足an+1=2an+2，a1=1，則此數列的通項公式為()A.an=1,B.an=1,C.an=3×2n-1-2D.an=3n-2答案C解析由an+1=2an+2，有an+1+2=2(an+2)，所以an+1+2an+2=2，又a1=1，所以數列{an+2}是以3為首項，2為公比的等比數列，所以an+2=3×2n-1，即an=3×2n-1-22.在數列{an}中，a1=1，a2=13，2anan+2=anan+1+an+1an+2，若ak=135，則A.18 B.24 C.30 D.36答案A解析由2anan+2=anan+1+an+1an+2且數列不存在為0的項，得2an+1=1所以數列1an是等差數列，且首項為1a1=1，公差為1a2-1a1=2，所以1an所以an=12由ak=12k?1=13.已知數列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，則a10等于()A.49?13 B.49+23答案B解析因為當n≥2時，an+1-5an+4an-1=0，所以an+1-an=4(an-an-1)，又a1=1，a2=2，則a2-a1=1，所以{an+1-an}是以1為首項，4為公比的等比數列，所以an+1-an=4n-1，從而a10=(a10-a9)+(a9-a8)+…+(a2-a1)+a1=48+47+…+40+1=1?491?44.(2025·佛山模擬)設數列{an}的前n項之積為Tn，滿足an+2Tn=1(n∈N*)，則T2024等于()A.-16132023C.14049 D.答案C解析由an+2Tn=1(n∈N*)，可得當n=1時，a1+2T1=3a1=1，即有a1=13當n≥2時，an=TnTn?1，可得2Tn化為1Tn-1即數列1Tn是首項為3，公差為可得1Tn=3+2(n-1)=2n+1，即Tn=可得T2024=12×2024+1二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.在數列{an}中，若a1=13，an+1=aA.數列1aB.數列1an的前n項和為Tn=3C.數列{an}的通項公式為an=1D.數列{an}的最小值為1答案BC解析因為an+1=an3an+1，易知an≠0，所以1an+1=3an+1a由A知，1an=3+3(n-1)=3n，所以數列1an的前n項和為Tn=n(3+3n)由B可知1an=3n，所以an=13因為a1=13，a2=16<a1，故數列{an}的最小值不為13，故6.設首項為1的數列{an}的前n項和為Sn，若Sn+1=2Sn+n-1(n∈N*)，則下列結論正確的是()A.數列{Sn+n}為等比數列B.數列{an}的通項公式為an=2n-1-1C.數列{an+1}為等比數列D.Sn=2n-n答案AD解析∵Sn+1=2Sn+n-1，∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n)，又S1+1=2≠0，∴數列{Sn+n}是首項、公比都為2的等比數列，故選項A正確；∴Sn+n=2n，∴Sn=2n-n，故選項D正確；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，當n=1時，a1=1，不滿足上式，∴an=1,n=1,2∵an+1=2,n=1,2n?1,n≥2,∴a2+1a三、填空題(每小題5分，共10分)7.若數列{an}滿足a1=2，an+1=2an+2n+1，則數列{an}的通項公式為an=.

答案n·2n解析在數列{an}中，由an+1=2an+2n+1，得an+12n+1=an2而a1=2，a12于是數列an2n是首項為1因此an2n=1+(n-1)×1=n，即an=n·8.(2025·南京模擬)已知數列{an}滿足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為.

答案an=1解析在數列{