《熱力學記錄物理》期末復習

一、簡答題

1、寫出焰、自由能、吉布斯函數的定義式及微分表達式（只考

慮體積變化功）

答:焰的定義H=U+PV,熔的全微分dH=TdS+VdP；

自由能的定義F=U-TS,自由能的全微分dF=-SdT-PdV；

吉布斯函數的定義G=U-TS+PV,吉布斯函數的全微分dG=-

SdT+VdPo

2、什么是近獨立粒子和全同粒子？描寫近獨立子系統平衡態分

布有哪幾種？

答：近獨立子系統指的是粒子之間的互相作用很弱，互相作用

的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之

間的互相作用。全同粒子組成的系統就是由具有完全相同的屬

性（相同的質量、電荷、自旋等）的同類粒子組成的系統。描

寫近獨立子系統平衡態分布有費米-狄拉克分布、玻色-愛因斯

坦分布、玻耳茲曼分布。

3、簡述平衡態記錄物理的基本假設。

答：平衡態記錄物理的基木假設是等概率原理。等概I以率原理認

為，對于處在平衡狀態的孤立系統，系統各個也許的微觀狀態

出現的概率是相等的。它是記錄物理的基本假設，它的對的性

由它的種種推論都與客觀實際相符而得到肯定。

4、什么叫特性函數？請寫出簡樸系統的特性函數。

答：馬休在1869年證明，假如適當選擇獨立變量（稱為自然變

量），只要知道一個熱力學函數，就可以通過求偏導數而求得

均勻系統的所有熱力學函數，從而把均勻系統的平衡性質完全

擬定。這個熱力學函數稱為特性函數。簡樸系統的特性函數有

內能U=U（S、V）,焰H=H（S、P）,自由能F=F（T、

V）,吉布斯函數G=G（T、P）o

5、什么是口空間？并簡樸介紹粒子運動狀態的經典描述。

答：為了形象的描述粒子的運動狀態,用名,…,分；小…也共2r

個變量為直角坐標，構成一個2r維空間，稱為H空間。粒子在

某一時刻的力學運動狀態伉，…以；/不…,pj可用口空間的一個點

表達。

6、試說明應用經典能量均分定理求得的抱負氣體的內能和熱容

量中哪些結論與實驗不符（至少例舉三項）。

答：第一、原子內的電子對氣體的熱容量為什么沒有奉獻；第

二、雙原子分子的振動在常溫范圍內為什么對熱容量沒有奉

獻；第三、低溫下氫的熱容量所得結果與實驗不符。這些結果

都要用量子理論才干解釋。

7、寫出玻耳茲曼關系，并據此給出燧函數的記錄意義。

答：玻耳茲曼關系：S=klnQ

嫡函數的記錄意義：微觀態數的多少反映系統有序限度的

高低。微觀態數增長就是有序限度的減少或是混亂限度增長，

相應地烯增長；反之，微觀態數減少就是有序限度的增長或混

亂度減少，相應地烯減少。“烯是度量系統有序限度的量''有了

明擬定量意義。

8、簡述開系、閉系以及孤立系的定義。

答：熱力學研究的對象是由大量微觀粒子(分子或其它粒

子)組成的宏觀物質系統。與系統發生互相作用的其它物體成

為外界。根據系統與外界互相作用的情況，可以作以下區分：

與其它物體既沒有物質互換也沒有能量互換的系統稱為孤立

系；與外界有能量互換，但沒有物質互換的系統稱為閉系；與

外界極有能量互換，又有物質互換的系統稱為開系。

9、判斷孤立系統是否處在平衡態的基本原則以及燧判據。

答：基本原則：可以設想系統圍繞該狀態發生各種也許的

虛變動，而比較由此引起熱力學函數的變化，根據熱力學函數

處在平衡態時的性質來判斷系統的狀態。

燧判據：孤立系統中發生的任何宏觀過程，都朝著使系統的爆

增長的方向進行。假如孤立系統已經達成了燧為極大的狀態，

就不也許再發生任何宏觀的變化，系統就達成了平衡態。

因此孤立系統/處在穩定平衡狀態的必要和充足條件為：

△5=(^+-(J25<0O

_______2-

10、寫出烯判據的內容。

答：孤立系統的燧永不減少，過程進行時嫡增長，直到炳達

成最大值，系統處在平衡態。

11、試寫出熱力學第二定律的克氏表述和開氏表述內容.

答：克勞修斯表述：不也許把熱量從低溫物體傳到高溫物體

而不引起其他變化。

開爾文表述：不也許從單一熱源吸取熱量使之完全變為有

用功而不引起其他變化。

12、寫出等概率原理的內容。

答：處在平衡態的孤立系統，各個也許的微觀狀態出現的概

率是相等的。

13、熱力學第二定律的兩種表述及其數學表達式。

答：（開爾文表述）不也許制造出這樣一種循環工作的熱機，

它只使單一熱源冷卻來做功，而不放出熱量給其他物體，或

者說不是外界發生任何變化。

（克勞修斯表述）不也許把熱量從低溫物體自動傳到高溫物體

而不引起外界的變化。用數學式表達為：dUWTdS+dW。

14、簡述等概率原理

答：對于處在平衡狀態的孤立系統，系統各個也許的微觀狀態

出現的概率是相等的。該原理是記錄物理中一個基本的假設。

15、什么是能量均分定理？

答：對于處在溫度為T的平衡狀態的經典系統，粒子能量中的

每一個平方項的平均值等于兒丁。這是根據經典玻耳茲曼分布

..............=

導出的一個重要定理。

16、什么是微觀粒子的全同性原理？

答：該原理指出，全同粒子是不可分辨的，在具有多個全同粒

子的系統中，將任何兩個全同粒子加以對換，不改變整個系統

的微觀運動狀態。

17、寫出玻耳茲曼系統、玻色系統、費米系統這三個系統分布

｛ai｝的表達式

答：三個系統的分布｛④｝的表達式分別為：

玻耳茲曼系統：0=0-網；玻色系統：費米系統：

i_1

例

18、簡述卡諾定理的內容。

答：卡諾定理指出：所有工作于同樣高溫熱源和低溫熱源的卡

諾機，以可逆的卡諾機的效率為最大，〃可任。

19、吉布斯函數的定義及其物理意義

答：吉布斯函數定義為：G=U-TS+PVO

吉布斯函數是一個態函數，它的變化可以用可逆的等溫，等壓過

程中的除體積功以外的功來量度。

20、記錄物理基本假設是什么？

答：記錄物理基本假設是就是等概率原理，即孤立系統平衡態時

各種也許的微觀態出現的概率均等。

21、簡述熱力學平衡態

答：孤立系統，不管其初態如何復雜，通過足夠長的時間后，

將會達成各種宏觀性質長時間內不隨時間變化的狀態，這樣的

狀態叫熱力學平衡態。

22、敘述自由能的定義及其物理意義

答：自由能的定義/nU-TS。

自由能是個態函數，它的變化可以用可逆等溫過程中的功來量

度。

23、簡述等概率原理的基本內容

答：孤立系統處在平衡態時，所有也許出現的微觀態的概率均

相等。

24、玻耳茲曼關系及其物理意義

S=ZlnO,系統愈趨于平衡態，微觀態數愈多，燧越大，因此炳

是混亂度的量度。

25、寫出熱力學第二定律的開爾文表述內容。有人運用地球表

面和地球內部溫度不同，做一個熱機來發電，稱地熱發電，把

地球內部能量邊為有用的電能，這是否違反熱力學第二定律。

答：開爾文表述：不也許從單一熱源吸取熱量使之完全變為有

用功而不引起其他變化。由于地球表面和地球內部的溫度不

同，不是單一熱源，所以不違反熱力學第二定律

26、簡述玻耳茲曼系統、玻色系統和費米系統有什么區別和聯

系？

區別：由費米子組成的系統稱為費米系統，遵從泡利不相容原

理；由玻色子組成的系統稱為玻色系統，不受泡利不相容原

理的約束；把可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個

體量子態上的粒子數不受限制的系統稱為玻耳茲曼系統。

聯系：在滿足經典極限條件/>>1時、玻色（費米）系統中的

近獨立粒子在平衡態遵從玻耳茲曼分布。

27、經典能量均分定理的內容是什么？舉出不滿足經典能量均

分定理的三種情形。

對于處在溫度為T的平衡狀態的經典系統，粒子能量中每一個

平方項的平均值等于，c

2

（1）原子內的電子對氣體的熱容量沒有奉獻。（2）雙原子

分子的振動在常溫范圍內對熱容量沒有奉獻。（3）低溫下

氫的熱容量所得結果與實驗不符。

28、為什么在炳和體積不變的情況下，平衡態的內能最小？

由熱力學第二定律有：dU<TdS-pdV

可得：當S、V不變時，即dS=O,dV=Oo

所以，dU<0

由此可見，在系統由非平衡態趨向平衡態的過程中，系統

的內能一直在減少ciU<0o

當系統達成平衡時，dU=O,內能取極小值。

29、什么是焙增長原理？

答：絕熱過程中系統的燧永不減少。對于可逆絕熱過程，系統

的熠不變。對不可逆絕熱過程，系統的端增長。或孤立系統的

端永不減少，這個結論叫做燧增長原理。

二、計算題

1、已知粒子遵從經典玻耳茲曼分布分布，其能量表達式為：

￡=《（冠+P*⑻+/+以，其中“，是粒子常量，求粒子的平均能

JS-

單，0

解：應用能量均分定理求粒子的平均能量時，需要注意所給能

量表達式￡中一和公兩項都是.”的函數，不能直接將能量均分

定理應用于M項而得出U=97的結論，要通過配方將￡表達為

2

在上式中，僅第四項是1的函數，又是平方項。由能量均分定理

知

=*位+〃；+〃：)

2、系統由N個無互相作用的線性諧振子組成.

a）若其能量表達式為:

P1.->

￡=J-^x-v—kx~

7.tn2

時，求系統的內能；

b）若其能量表達式為：￡“=（〃+》方包〃=0,1,2…時，求系統的內

能。解：a）由能均分定理U=NkT

1\..-cInZ,

b)U=NE,￡=---------!

一3"”、《〃伊""=「非"

InZ,

1.N1ia)

Urr=-Nxhz①+F------

2-1

討論：高溫極限和低溫極限。

3、試求雙原子分子抱負氣體的振動熠。

解：雙原子分子抱負氣體的振動配分函數：

z;=￡/+9=苫/(I-y)

n=0

lnZ：=_^^_ln(l_e5a)

2

S'A^lnZ；-%InZ：)=Nk用//匕一爪曰

引入—o/Z,得：S=N*)HkMJn(l-i)

三、證明題

1、試證明一個均勻物體在準靜態等壓過程中焙隨體積的增減取

決干等壓下溫度隨體積的增減。

證明：等壓過程中燧隨體積的變化率為：保［溫度隨體積的

dT\

變化率為:記

方法一：由雅可比行列式可得:

dS}3(S,尸)3(S,P)0(尸)_/SS)包、

。(1)

由G=(當H乳可得:韻專(2)

將⑵式代入（1）式可得：（乎］=當舁］證畢

）pT）p

由于：Q>0,T>0,所以：（①］的增減取決于（二］的增減。

\dv）P

方法二：由S=S（P,v）=s［p,T（P,V）］可得：

（dSyJas）（叫_Cp（dT\

lavjp=（而一廟”=亦（而人

2、試證明，對于二維自由粒子，在長度萬內，在￡到￡+的的

能量范圍內，量子態數

為D⑻de=2%mds。

證明：對于二維自由粒子，在〃體積元奴仆以血內的量子態數

為：-^dxdydpxdpy,

用極坐標描述時，二維動量空間的體積元為pdpd”在面積5=尸

內，動量大小在〃到P+d〃范圍內，動量方向在0到0+加范圍內，

二維自由粒子的也許狀態數為：的

dn=^-dPdP=-4PdP&p（S—面積）

h2xvh2

因￡=g只與「有關QP〉0），故對。積分可得：

2m

入四=絆=第（為，，〃=邛*必畔,（s=C）

2PdP2

hh［2m）/Jh2

3、證明：（黑）7=7（空）y，（獨）75要小并由此導出：

dVOT-opdT2

證明：乳T乳......................⑴

認為7"狀態參量，將上式求對V的偏導數，有

(也］"(衛發〕.........⑵

2

(dV)T［dVoT)［dTdV)［dT)v

其中，第二步互換了偏導數的求導順序，第三步應用了麥氏關

系，由抱負氣體的物態方程pV=〃R7知，在V不變時，〃是r的

線性函數，即僅=0,所以(字］=0。這意味著，抱負氣體的

定容熱容量只是溫度7的函數。在恒定溫度下將式⑵積分，得

同理式(2.2.8)給

以認為r,〃狀態參量，將上式再求對〃的偏導數，有

其中，第二步互換了偏導數的求導順序，第三步應用了麥氏關

系，由抱負氣體的物態方程”=，次丁知，在〃不變時，V是7的線

性函數，即=0,所以［獨］=0o這意味著，抱負氣體的定

容熱容量只是溫度T的函數。在恒定溫度下將式⑵積分，得

C=C^T\Pdp

PoT2

4、氣柱的高度為H,處在重力場中，試證明此氣柱的內能和熱

、mgH/

容量為U=UO+NkT--,「=6+m―刈〃叫)飛__1_L

(/%7)(丁啖.1尸流

證明：假設氣體是單原子分子抱負氣體。重力場中分子的能量

為：

￡=5(〃；+〃；+〃；)+.,粒子的配分函數為:

乙，，I

4￡嗅出2mdQdzdPxdPHPz

卜贄%Ji%彳贄%人康……)

其中］。山是氣柱的截面積。氣柱的內能為:

NmgH

U=-N—\nZ.=-NkT+NkT一一野要=U°+NkT-

郎2(r％J)(個"一1)

式中Uo=刎7

、mgH/

氣體的熱容量為C”黑七—等f親

5、試求絕對零度下金屬電子氣體中電子的平均速率口

解：由外若可得7=°K時電子的分布。

f=1，€<M0)=￡)

/=0,￡>￡f

%=*其中%是費米能級，尸尸是費米動量。

2m

由于在體積V內，動量大小在P-P+"范圍內的量子態數為:

旨x2xFdP,考慮到電子自旋在動量方向的投影有兩個也

許值。

殍「PP2dpIP；鼻

因此，動量的平均值為:八工±_____=4^=2

8亞『6加4

h3°3

由：9=而可得，平均速率為：萬=也

四、推論題

1、設系統具有兩種粒子，其粒子數分別為N和少一粒子間的

互相作用很弱，可看作是近獨立的。假設粒子可分辨，處在一

個個體量子態的粒子數不受限制。試證明，在平衡態下兩種粒

子的最概然分布分別為：%=叫廠-%和W。其中匕和

/是兩種粒子的能級，助和/是能級簡并度。

解：粒子A能級，粒子數分布：Q——{〃/}——簡并度切

粒子B能級，粒子數分布：￡；——{〃/}——簡并度幼’

體系兩種粒子分布要滿足的條件為：

￡%=N,X。向+ZOE

II//

分布M},相應的微觀狀態數為

5偎。嫁

I

分布E},相應的微觀狀態數為

5M

I

則系統的微觀態數為C=C-Q2

上式表白：當第一類粒子的分布為｛〃/｝,而同時第二類粒子的分

布為｛〃/｝時系統的微觀態數。

在平衡下兩種粒子的最可幾分布是相應于在限制條件=N,

i

=Mz。聲I+=E下使InC=lnC[為極大的分布。運

///

用斯特林公式可得：

r

InQ=InQ2=NinN-工卬In由+工4Inq+N'lnNIna]Inco\

iiii

由blnQ1.%=（），得

JinQj-Q2=—In為卜;=0

而由限制條件可得：

ZM=o,ZM=O

IiII

引入拉氏不定乘子a