浙江省寧波市東恩中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)的期望為（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．22．袋中有大小和形狀都相同的個白球、個黑球，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（）A． B． C． D．3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．65．函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示．則函數(shù)在內(nèi)有幾個極小值點（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知某隨機變量的概率密度函數(shù)為則隨機變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．7．已知則的最小值是()A． B．4 C． D．58．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知離散型隨機變量的分布列為表格所示，則隨機變量的均值為（）0123A． B． C． D．10．若曲線在點處的切線方程為，則()A．-1 B． C． D．111．函數(shù)導(dǎo)數(shù)是()A． B． C． D．12．直線是圓的一條對稱軸，過點作斜率為1的直線，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題：，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為__________．14．一個正方體的個頂點可以組成__________個非等邊三角形.15．在平面直角坐標系xOy中，曲線y=mx+1(m>0)在x=1處的切線為l，則以點(2,-1)為圓心且與直線l16．?dāng)?shù)列{an}滿足，若{an}單調(diào)遞增，則首項a1的范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）我國是枇把生產(chǎn)大國，在對枇杷的長期栽培和選育中，形成了眾多的品種．成熟的枇杷味道甜美，營養(yǎng)頗豐，而且中醫(yī)認為枇杷有潤肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜愛．某果農(nóng)調(diào)查了枇杷上市時間與賣出數(shù)量的關(guān)系，統(tǒng)計如表所示：結(jié)合散點圖可知，線性相關(guān)．（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程＝（其中，用假分數(shù)表示）；（Ⅱ）計算相關(guān)系數(shù)，并說明（I）中線性回歸模型的擬合效果．參考數(shù)據(jù)：；參考公式：回歸直線方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：；相關(guān)系數(shù)18．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且，E為PD中點.（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列，求的前項和．20．（12分）已知函數(shù)．（1）若在處的切線過點，求的值；（2）若在上存在零點，求a的取值范圍．21．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號成立的條件.22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

寫出分布列，然后利用期望公式求解即可．【詳解】拋擲骰子所得點數(shù)的分布列為123456所以．故選：．本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

分別計算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據(jù)條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“第一次取到白球”為事件，則記“第一次取到白球且第二次取到白球”為事件，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：本題正確選項：本題考查條件概率的求解問題，易錯點是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯誤的認為每次抽到白球均為等可能事件.3、C【解析】

首先利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，之后應(yīng)用余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到所求單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】因為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，令，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選C.該題考查的是有關(guān)余弦型函數(shù)的單調(diào)怎區(qū)間的求解問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，余弦型函數(shù)的性質(zhì)，注意整體角思維的運用.4、C【解析】

由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.5、A【解析】

直接利用極小值點兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負后正，再結(jié)合圖像即可得出結(jié)論.【詳解】因為極小值點兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負后正，由圖得：導(dǎo)函數(shù)值先負后正的點只有一個，故函數(shù)在內(nèi)極小值點的個數(shù)是1.故選：A本題考查了極小值點的概念，需熟記極小值點的定義，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【詳解】由隨機變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．隨機變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機變量在這一區(qū)間上概率．7、C【解析】

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即的最小值是.故選：C.在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．8、C【解析】

先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進行綜合分析．9、C【解析】分析：利用離散型隨機變量分布列的性質(zhì)求得到，進而得到隨機變量的均值詳解：由已知得，解得：∴E（X）=故選：C點睛：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機變量的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.10、B【解析】分析：求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得，即可得到答案.詳解：的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點處的切線方程為，有，解得.故選：B.點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求切線的斜率，注意運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則求導(dǎo)即可．【詳解】，故選：A．本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】由是圓的一條對稱軸知，其必過圓心，因此，則過點斜率為1的直線的方程為，圓心到其距離，所以弦長等于，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：：，為真命題，則詳解：已知命題：，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為.即答案為點睛：本題考查當(dāng)特稱命題為真時參數(shù)的取值范圍，屬基礎(chǔ)題.14、48【解析】分析：從正方體的個頂點中人取三個點共有種取法，其中等邊三角形共有個，作差即可得結(jié)果.詳解：從正方體的個頂點中人取三個點共有種取法，其中等邊三角形共有個，所以非等邊三角形共有個，故答案為.點睛：本題主要考查組合數(shù)的應(yīng)用，屬于簡單題.15、(x-2)【解析】

由題意先求出切線為l的直線方程，可得直線恒過定點，在滿足題意與直線l相切的所有圓中計算出圓半徑，即得圓的標準方程【詳解】因為y=mx+1，所以當(dāng)x=1時，y=m2，y'=-m則l的方程為y-m2=-所以直線l恒過定點A(3,0).又直線l與以點C(2,-1)為圓心的圓相切，則圓的半徑r等于圓心C到直線l的距離d，又當(dāng)AC⊥l時，d最大，所以rmax故所求圓的標準方程為(x-2)2本題考查了求與直線相切的圓的標準方程，需先求出切線方程，解題關(guān)鍵是理解題意中半徑最大的圓，即圓心與定點之間的距離，需要具有轉(zhuǎn)化的能力16、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解析】

先表示出，結(jié)合{an}單調(diào)遞增可求首項a1的范圍.【詳解】因為，所以，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性一般通過相鄰兩項差的符號來確定，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），因為，所以擬合效果較好?！窘馕觥?/p>

（Ⅰ）利用最小二乘法求線性回歸方程；（Ⅱ）直接依據(jù)公式計算相關(guān)系數(shù)，比較即可?！驹斀狻浚?），，，，所以＝，則，故所求線性回歸方程為；（II），故＝,故（I）中線性回歸模型的擬合效果較好.本題主要考查線性回歸方程的求法以及相關(guān)系數(shù)的計算與應(yīng)用。18、（I）見解析（II）【解析】

（I）根據(jù)題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出平面PAB以及平面，進而得到和，從而推得線面垂直．（II）根據(jù)已知條件，以A為原點，AB為軸，AD為軸，AP為軸建立直角坐標系，分別求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值．【詳解】解：（I）證明：∵底面ABCD為正方形，∴，又，，∴平面PAB，∴．同理，∴平面ABCD（II）建立如圖的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則，，，，易知設(shè)為平面ABE的一個法向量，又，，∴令，，得.設(shè)為平面AEC的一個法向量，又∴令，得.∴二面角B-AE-C的正弦值為.本題主要考查了通過證明直線與平面垂直來推出直線與直線垂直，以及利用向量法求二面角的問題，解題時要注意根據(jù)圖形特征或者已知要求確定二面角是銳角或鈍角，從而得出問題的結(jié)果．19、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項和公差表示，通過解方程組可得到基本量的值，從而求得通項公式；（2）借助于（1）可求得的通項公式，結(jié)合特點利用列項求和法求和試題解析：（1）由已知有，則（2），則考點：數(shù)列求通項公式就和20、（1）；（2）．【解析】

（1）求出，然后求出和，然后表示出切線方程，把點代入方程即可取出（2）由得，然后求出，的值域即可.【詳解】解：（1）∵．∴，又∵，∴在點處的切線方程為，即．由過點得：，．（2）由，得，令，．∴，令，解得，或．易知，，，，由在上存在零點，得的取值范圍為．若方程有根，則的范圍即為函數(shù)的值域.21、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】

(Ⅰ)利用零點分類法，進行分類討論，求出不等式的解集；(Ⅱ)法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，再根據(jù)三角絕對值不等式，可以證明出，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最后可以證明出，以及等號成立的條件；法二：利用零點法把函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)形式，求出函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的最小值，以及此時的的值.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，無實數(shù)解原不等式的解集為(Ⅱ)證明:法一:，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號成立的條件是法二:在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，等號成立的條件是本題考查了絕對值不等式的解法以及證明絕對值不等式，利用零點法，分類討論是解題的關(guān)鍵.22、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題意知為，利用等腰三角形三線合一的思想得出，由平面可得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平