課時規范練24兩角和與差的正弦、余弦和正切公式基礎鞏固練1.(2024·山東臨沂期中)sin81°cos51°-cos81°sin51°=()A.-32 B.3C.-12 D.2.(2024·江蘇鹽城期末)若cosα+sinαcosα=3,則tan(α-πA.-1 B.13C.1 D.33.(2024·江蘇南京期中)若cosα=-23,α∈(0,π),則cosα2的值為(A.66 B.-C.±66 D.4.(2024·江蘇鎮江三模)已知角α,β滿足tanα=2,2sinβ=cos(α+β)sinα,則tanβ=()A.13 B.C.16 5.(多選題)(2024·湖北武漢期中)下列等式成立的是()A.sin26°-cos26°=cos12°B.sin600°=-3C.sin6°-cos6°=-2sin39°D.36.(多選題)(2024·海南高三學業水平診斷)已知α∈(π2,π),且cos2α-cos2α=15,則(A.tanα=-12 B.sin2α=C.cos2α=35 D.tan2α=-7.(2025·河北張家口開學考試)若sinα-cosα=223,則sin2α=8.(2025·福建模擬)已知tan(α+β)=4,tan(α-β)=-3,則tan2β=.9.(2024·山東淄博模擬)若sin(θ+π6)=13,θ∈(0,π),則cosθ=10.(13分)(2024·北京模擬)已知α,β∈(0,π2),且(1)求α+β的值;(2)證明:0<α-β<π4,并求sin(α-β)的值綜合提升練11.(2025·安徽開學考試)已知tan2θ=43,θ∈(0,π4),若cos(π4-θ)=mcos(π4+θ),則實數A.-3 B.-2C.3 D.212.(2024·江蘇徐州期末)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,則(A.sin(β-α)=1B.sin(β+α)=1C.α-γ=2βD.α+γ=2β13.(多選題)(2025·山西開學考試)已知0<β<α<π4,且sin(α-β)=13,tanα=5tanβ,則(A.sinαcosβ=5B.sinβcosα=1C.sin2αsin2β=5D.α+β=π14.(多選題)(2025·江蘇常州開學考試)已知角α是銳角,角β是第四象限角,且3cosα+10cosβ=175,3sinα-10sinβ=245,tanα=34A.cos(α+β)=13B.sin(α+β)=-9C.tan(2α+β)=9D.tanβ=-315.(2024·江蘇南京模擬)若tanαtanβtanα2tanβ2=1,則cosα+cosβ=16.(13分)(2024·北京模擬)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=25(1)求cos(α-β)的值;(2)若-π2<β<0<α<π2,且sinβ=-513,求sin創新應用練17.(2024·江蘇南京期末)若sin(α+β)=cos2αsin(α-β),則tan(α+β)的最大值為()A.62 B.6C.22 D.答案：1.D解析sin81°cos51°-cos81°sin51°=sin(81°-51°)=sin30°=12.故選2.B解析因為cosα+sinαcosα=3,所以1+tanα=3,即tanα=2,所以tan(α-π43.A解析∵cosα=-23,∴cos2α∵α∈(0,π),∴α2∈(0,π2),∴cosα4.B解析因為sinβ=sin(α+β-α)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα,2sinβ=cos(α+β)sinα,所以2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα=cos(α+β)sinα,即2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα,則2tan(α+β)=3tanα,因為tanα=2,所以tan(α+β)=3,其中tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=2+tanβ1-2tanβ=3,故2+tanβ5.BC解析sin26°-cos26°=-cos12°,故A錯誤;sin600°=sin(3×180°+60°)=-sin60°=-32,故B正確;sin6°-cos6°=2(sin6°cos45°-cos6°sin45°)=2sin(6°-45°)=-2sin39°,故C正確;3-tan15°1+3tan15°=tan60°-tan15°6.AC解析cos2α-cos2α=cos2α-(cos2α-sin2α)=sin2α=15,因為α∈(π2,π),所以sinα=55,cosα=-1-sin2α=-255,所以tanα=sinαcosα=-12,sin2α=2sinαcosα=-45,cos2α=1-2sin7.19解析∵sinα-cosα=∴(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-sin2α=89,解得sin2α=8.-711解析由題可得tan2β=tan[α+β-(α-β)]=tan(9.1-266解析∵θ∈(0,π),∴θ+π6∈(π6,7π6).又sin(θ+π6)=13,若θ+π6∈(π6,π2),則sin(θ+π6)>sinπ6=12,與sin(θ+π6)=13矛盾,∴θ+π6∈[π2,π),∴cos(θ+π6)=-1-sin10.解(1)因為α,β∈(0,π2),所以cosα>0,cosβ>0,由3cosα=22cosβ,cosαcosβ=325,解得cosα=255,cosβ=31010,所以sinα=1-cos2α=55因為α+β∈(0,π),所以α+β=π(2)因為α+β=π4,sinπ4=22>sinα=55>sinβ=1010,且函數y=sinx在(0,π2)上單調遞增,所以0<β<α<π4,所以0<α-β<π4,所以sin(α-β)=sinαcos11.C解析cosπ4cosθ+sinπ4sinθ=m(cosπ4cosθ-sinπ4sinθ),即22cosθ+22sinθ=m(22cosθ-22sinθ),cosθ+sinθ=m(cosθ-sinθ),故(1+m)sinθ=(m-1)cosθ,則tanθ=m-1m+1,由于tan2θ=2tanθ1-tan2θ=4因為θ∈(0,π4),所以tanθ>0,故tanθ=12,即m-1m+1=112.C解析由sinβ+sinγ=sinα得sinγ=sinα-sinβ,兩邊平方得sin2γ=sin2α+sin2β-2sinαsinβ,①由cosα+cosγ=cosβ得cosγ=cosβ-cosα,兩邊平方得cos2γ=cos2α+cos2β-2cosαcosβ,②①+②得1=2-2cos(α-β)?cos(α-β)=1因為α,β,γ∈(0,π2),所以α-β∈(-π2,π2),由sinγ=sinα-sinβ>0可得sinα>sinβ,即α-β>0,所以α-β∈(0,π2),又cos(α-β)=12,所以α-β=π3,所以sin(β-α由sinβ+sinγ=sinα,兩邊平方得sin2α=sin2β+sin2γ+2sinβsinγ,③由cosα+cosγ=cosβ得cosα=cosβ-cosγ,兩邊平方得cos2α=cos2β+cos2γ-2cosβcosγ,④③+④得1=2-2cos(β+γ)?cos(β+γ)=1因為α,β,γ∈(0,π2),所以β+γ∈(0,π),故β+γ=π3,由α-β=π3,β+γ=π3,可得α-γ=2β,故C綜上,sin(α+β)不是定值,故B錯誤.故選C.13.BC解析因為sin(α-β)=13,tanα=5tanβ,故sinαcosβ-cosαsinβ=13,所以sinαcosβ=512,sinβcosα=112,A錯誤,B所以sin2αsin2β=4sinαcosβcosαsinβ=536,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=512+112=12,又因為0<β<α<π4,所以α+β=π614.ABD解析因為tanα=34,所以sinαcosα=34,因為角α是銳角,角β是第四象限角,sinα>0,cosα>0,sinβ<0,cosβ>0,因為sin2α+cos2α=1,解得sinα因為3sinα-10sinβ=245,所以95?10sinβ=245,解得sinβ=-31010,因為3cosα+10cosβ=175,所以125+10cosβ=175,解得cosβ=1010,由兩角和的余弦公式得cos(α+β)由兩角和的正弦公式得sin(α+β)=35×1010+45×(-3因為sinβ=-31010,cosβ=1010,所以tanβ=-3,故由二倍角公式得tan2α=2tanα1-tan2α=2×341-916=15.1解析由tanαtanβtanα2tanβ2=1,可得sinαsinβsinα2sinβ2=cosαcosβ·cosα2cosβ2,又由正弦的倍角公式,可得4sin2α2cosα2sin2β2cosβ2=cosαcosβcosα2cosβ2,即4sin2α2sin2β2=cosαcosβ=(1-2sin2α2)(1-2sin2β2),令x=sin2α2,y=sin2β2,則4xy=(1-2x)(1-2y)=1-2x-2y+4xy,解得x+y=12,所以cosα+cosβ=116.解(1)因為向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2cos(α(2)因為0<α<π2,-π2<β<0,所以0<α-β<π,因為cos(α-β)=35,且sinβ=-513,所以sin(α-β)=45,cosβ=1213,所以sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=417.D解析若sin(α+β)=cos2αsin(α-β),則sin[2α-(α-β)]=cos2αsin(α-β),所以sin2αcos(α-β)-sin(α-β)cos2α=cos2αsin(α-β),所以sin2αcos