《菱形的判定》學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索菱形判定定理的過(guò)程,掌握菱形的判定定理,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理與演繹推理的能力.2.通過(guò)對(duì)比平行四邊形、矩形判定的學(xué)習(xí)方法,體會(huì)證明過(guò)程中類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：菱形的判定定理.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：菱形判定定理的應(yīng)用.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)回顧復(fù)習(xí)思考:回顧平行四邊形、矩形的判定定理是怎樣研究的.平行四邊形及矩形的性質(zhì)與判定有什么聯(lián)系？菱形有哪些性質(zhì)？如何研究菱形的判定？說(shuō)一說(shuō)你的研究思路.導(dǎo)入新課思考：你知道的判定菱形的方法是什么？菱形還有其他的判定定理嗎？根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)作出猜想.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.探究新知學(xué)生活動(dòng)一【一起探究】菱形的性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；

2.菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直,并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分

一組對(duì)角.請(qǐng)寫(xiě)出上述定理的逆命題，并對(duì)菱形的判定提出猜想.探究新知1.菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等.條件

結(jié)論逆命題：四條邊相等的四邊形是菱形.條件結(jié)論探究新知猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證上述猜想.發(fā)現(xiàn):如圖,作AB=BC=CD=AD,得到的四邊形ABCD是菱形.探究新知證明:四條邊相等的四邊形是菱形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.

求證:四邊形ABCD是菱形.證明:∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵AD=AB,∴?ABCD是菱形.探究新知由此可得菱形的判定定理1:四條邊相等的四邊形是菱形.你能用三種語(yǔ)言表達(dá)這一判定定理嗎？1.文字語(yǔ)言：四條邊相等的四邊形是菱形.2.圖形語(yǔ)言：3.符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=BC=CD=AD，

∴四邊形ABCD是菱形.探究新知2.菱形的性質(zhì)2：菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直.條件

結(jié)論逆命題：兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直的（平行）四邊形是菱形.條件結(jié)論探究新知猜想：兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形.請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證上述猜想.發(fā)現(xiàn)：如圖,AC⊥BD,但四邊形ABCD不是菱形,故上述猜想錯(cuò)誤.再次猜想：兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.探究新知證明:∵在?ABCD中,AO=CO,且AC⊥DB.∴AD=CD.∴?ABCD是菱形.證明:兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在?ABCD中,AC,DB是它的兩條對(duì)角線(xiàn),

AC⊥DB.求證:?ABCD是菱形.探究新知由此可得菱形的判定定理2:對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.你能用三種語(yǔ)言表達(dá)這一判定定理嗎？1.文字語(yǔ)言：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.2.圖形語(yǔ)言：3.符號(hào)語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形且AC⊥BD，

∴?ABCD是菱形.

探究新知3.菱形的性質(zhì)3：菱形的每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.條件

結(jié)論逆命題：每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的（平行）四邊形是菱形.條件結(jié)論探究新知猜想：1.一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形.2.每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的四邊形是菱形.請(qǐng)獨(dú)立證明上述猜想？探究新知證明：1.一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在?ABCD中,AC平分∠DAB和∠DCB.求證:?ABCD是菱形.證明:如圖,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC.∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=CD.∴?ABCD是菱形.探究新知證明：2.每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的四邊形是菱形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AC,DB是它的兩條對(duì)角線(xiàn),AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.求證:四邊形ABCD是菱形.

探究新知思考：上述猜想是真命題，為什么沒(méi)有作為判定定理？“一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形”用來(lái)證明菱形可以通過(guò)角平分線(xiàn)+平行證鄰邊相等,從而轉(zhuǎn)化成為有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,于是沒(méi)有出現(xiàn)這個(gè)定理的必要;而“每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的四邊形是菱形”證明時(shí)需要4對(duì)角相等,用起來(lái)不方便,所以沒(méi)有作為定理出現(xiàn).探究新知?dú)w納判定菱形的方法：1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2.四條邊相等的四邊形是菱形；3.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.探究新知學(xué)生活動(dòng)二【應(yīng)用判定】例

如圖,?ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,且AB=5,AO=4,BO=3.求證:?ABCD是菱形.證明:∵AB=5,AO=4,

BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形.∴AC⊥BD.∴?ABCD是菱形.拓展應(yīng)用1.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O,且點(diǎn)O是BD的中點(diǎn),若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,則四邊形ABCD的面積為(

)

A.40B.24

C.20

D.15B拓展應(yīng)用2.已知:如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線(xiàn),DE∥AC交AB于點(diǎn)E,DF∥AB交AC于點(diǎn)F.求證:四邊形AEDF是菱形.證明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四邊形AEDF是平行四邊形.∴∠1=∠3.又∵AD是∠BAC的平分線(xiàn),∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四邊形AEDF是菱形.拓展應(yīng)用3.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形．證明:∵AB∥CD,∴∠CAB=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠CAB=∠DAC.∴∠DCA=∠DAC.∴CD=AD=AB.

∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AD=AB,∴四邊形ABCD是菱形.拓展應(yīng)用

回顧反思1.在探尋菱形的判定定理時(shí)，你經(jīng)歷了怎樣的研究過(guò)程？這個(gè)過(guò)程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法？積累了哪些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？2.矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形是平行四邊形角特殊的情況，菱形是平行四邊形邊特殊的情況，那么還需要考慮平行四邊形對(duì)角線(xiàn)特殊的情況嗎？為什么？平行四邊形能否存在邊和角同時(shí)特殊的情況呢？將要怎樣研究呢？當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD互相垂直,則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是(

)A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CDB當(dāng)堂訓(xùn)練2.如圖,將?ABCD沿AE翻折,使點(diǎn)B恰好落在A(yíng)D上的點(diǎn)F處,則下列結(jié)論不一定成立的是(

)A.AF=EFB.AB=EF

C.AE=AFD.AF=BEC當(dāng)堂訓(xùn)練3.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B,C兩點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是(

)A.若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形D當(dāng)堂訓(xùn)練4.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在線(xiàn)段AD及其延長(zhǎng)線(xiàn)上,且DE=DF.給出下列條件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.從中選擇一個(gè)條件使四邊形BECF是菱形,你認(rèn)為這個(gè)條件是________(只填寫(xiě)序號(hào)).③當(dāng)堂訓(xùn)練5.如圖,在矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分線(xiàn)BE,DF分別交邊AD,BC于點(diǎn)E,F.(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形；

當(dāng)堂訓(xùn)練(2)當(dāng)∠ABE為多少度時(shí),四邊形BEDF是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．解:當(dāng)∠ABE=30°時(shí),四邊形BEDF是菱形．理由:∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=30°.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∴∠EDB=90°-∠ABD=30°.∴∠EDB=∠EBD=30°.∴EB=ED.又∵四邊形BEDF是平行四邊形,∴四邊形BEDF是菱形．定義法1.問(wèn)題背景:如圖,AD是△ABC的中線(xiàn),四邊形ADCE是平行四邊形.討論交流:小明說(shuō):“若AB=AC,則四邊形ADCE是矩形.”小強(qiáng)說(shuō):“若∠BAC=90°,則四邊形ADCE是菱形.”下列說(shuō)法正確的是 (

)

A.小明不對(duì),小強(qiáng)對(duì) B.小明對(duì),小強(qiáng)不對(duì)C.小明和小強(qiáng)都對(duì) D.小明和小強(qiáng)都不對(duì)C基礎(chǔ)通關(guān)654321

菱12654321對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形3.在數(shù)學(xué)課上,老師提出問(wèn)題:如圖1,將銳角三角形紙片ABC(BC>AC)經(jīng)過(guò)兩次折疊,得到邊AB,BC,CA上的點(diǎn)D,E,F,使得四邊形DECF恰好為菱形.小明給出的折疊方法:如圖2,①AC邊向BC邊折疊,使AC邊落在BC邊上,得到折痕CD交AB于點(diǎn)D;②C點(diǎn)向AB邊折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,得到折痕EF交BC邊于點(diǎn)E,交AC邊于點(diǎn)F.老師說(shuō):“小明的作法正確.”請(qǐng)回答:小明這樣折疊的依據(jù)是①

是平行四邊形;②

是菱形.

對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形6543214.[湖南懷化中考]如圖,在矩形ABCD中,過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O作BD的垂線(xiàn)EF,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F.(1)證明:△BOF≌△DOE;

654321(2)連接BE,DF,證明:四邊形EBFD是菱形.證明:∵△BOF≌△DOE,∴ED=BF.又∵ED∥BF,∴四邊形EBFD是平行四邊形.∵EF⊥BD,∴四邊形EBFD是菱形.654321

D∠B=60°6543217.如圖,將兩張寬為2,長(zhǎng)為8的矩形紙片交叉疊放在一起,得到四邊形ABCD,則下列判斷正確的是 (

)結(jié)論Ⅰ:四邊形ABCD是菱形;結(jié)論Ⅱ:四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最大值與最小值的差為9.A.結(jié)論Ⅰ,Ⅱ都對(duì) B.結(jié)論Ⅰ,Ⅱ都不對(duì)C.只有結(jié)論Ⅰ對(duì) D.只有結(jié)論Ⅱ?qū)δ芰ν黄艫8798.

【原創(chuàng)題】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E,F分別是AD,BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā),沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),則點(diǎn)E,F停止運(yùn)動(dòng),連接BE,DF,

秒后,四邊形BEDF是菱形.

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證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,DO=BO.∴∠EDO=∠FBO.又∵∠DOE=∠FOB,∴△BOF≌△DOE(ASA).879(2)求證:四邊形EBFD是菱形;(3)若∠ABE=30°,EF=4,直接寫(xiě)出矩形ABCD的周長(zhǎng)和面積.證明:∵△BOF≌△DOE,∴BF=DE.∵四邊形ABCD是矩形,∴BF∥DE.∴四邊形