2022年1月浙江省普通高中學業水平考試數學仿真卷A滿分100分，考試時間80分鐘一、選擇題(本大題共18小題，每小題3分，共54分。每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分。)1．已知集合，那么（）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用交集的定義即可求得.【詳解】因為集合，所以.故選：D2．函數的定義域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據解析式有意義可得關于的不等式組，其解集為函數的定義域.【詳解】由解析式有意義可得，故，故函數的定義域為故選：D.3．下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據對數的運算法則逐一判斷可得選項.【詳解】對于A：，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：∵,∴，故C正確，對于D：，故D不正確，故選：C.4．直線截圓所得的弦長是（）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】先求出圓心到直線的距離，進而利用勾股定理求出弦長.【詳解】圓心（0,0）到直線的距離，因為圓的半徑為1，則弦長為.故選：C.5．某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三視圖可知該幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐，由此可算出體積．【詳解】解：根據三視圖可知該幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐，∴其體積為，故答案為：．6．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】移項、通分，再根據符號即可得結果.【詳解】所以故選：A【點睛】本題考查解分式不等式，考查基本求解能力，屬基礎題.7．已知實數，滿足約束條件，則（）A．有最小值，無最大值 B．有最小值，也有最大值C．有最大值，無最小值 D．無最大值，也無最小值【答案】C【分析】由題設畫出線性可行域，結合的幾何意義判斷是否有最值.【詳解】由題設，可得如下可行域，∴表示直線與可行域有交點時，與x軸的截距，故當目標函數與x-y+1=0交于x軸時，有最大值，而無最小值.故選：C8．若直線與直線垂直，則（）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】由兩直線垂直的等價條件列方程即可求解.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，解得：，故選：B.9．在中，角，，的對邊分別是，，．已知，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據，，，利用正弦定理求解.【詳解】在中，因為，，，由正弦定理得：，所以，故選：B10．已知平面，直線，m，且有，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則．其中命題正確的有（）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用直線與平面、平面與平面的位置關系即可判斷.【詳解】對于①由，，得不出，故錯誤；對于②，得不出，故錯誤；對于③，，得不出，故錯誤，故選：A11．已知命題，命題，則是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合基本不等式即可得出結論．【詳解】解：，則，，，，由，但，時，命題成立，如時，，由推不出，是成立充分不必要條件，故選：A．12．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，先判斷函數的奇偶性，排除，再求出、的值，排除，即可得答案．【詳解】解：根據題意，，其定義域為，有，即函數為奇函數，排除，又由，，所以，有，函數在不會是減函數，排除，故選：．13．已知數列的首項為，，且，若數列單調遞增，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用遞推公式再推出一個遞推公式，兩個遞推公式相減，結合函數單調性的性質進行求解即可.【詳解】當時，，因此有，得：，說明該數列從第2項起，偶數項和奇數項都成等差數列，且它們的公差都是2，由可得：，因為數列單調遞增，所以有，即，解得：，故選：C14．在長方體中，底面是邊長為1的正方形，異面直線與所成角的大小為，則該長方體的表面積與體積的比值是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據異面直線所成的角，求長方體的高，再求體積和表面積.【詳解】設，連結，則，，，異面直線與所成角是，，解得：，所以長方體的表面積，體積,所以該長方體的表面積與體積的比值.故選：D15．若平面上有A，B，C，D四點，且滿足任意三點不共線，現已知，則=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由向量的線性關系，結合平行四邊形圖像，由和同底，高之必就是面積之比，即可得解.【詳解】令，，根據向量的加法的平行四邊形法則，作出如圖所示平行四邊形，作于，于，由，所以，所以，故選：D16．已知函數，函數與的圖像關于直線對稱，令，則方程解的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先利用圖象關于對稱,求出解析式，可化為，求函數與的圖象的交點個數，然后分、、分別討論即可求解.【詳解】因為函數與的圖象關于直線對稱，，所以，所以的圖象如圖所示：方程可化為，即求函數與的圖象的交點個數.當時，的圖象恒過點，此時有兩個交點；當時，與的圖象有一個交點；當時，設斜率為的直線與的切點為，由斜率，所以，所以切點為，此時直線方程為，即，所以直線與恰好相切，有一個交點，如圖所示：綜上，此方程有4個解.故選：C.17．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現以為圓心作一個圓恰好經過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由切線的性質，可得，，再結合橢圓定義，即得解【詳解】因為過點的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A18．如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內，且，設異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設線段的中點為，連接，過點在平面內作，垂足為點，證明出平面，然后以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內，可設，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當的空間直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.二、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分。)19．在等差數列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，則a1＝________，n＝________.【答案】23【分析】根據所給條件，代入等差數列的通項公式和求和公式，解方程即可得解.【詳解】由得n2－13n＋30＝0，∴n＝3或n＝10.又當n＝3時，a1＝2>0；當n＝10時，a1＝<0，不合題意，舍去，故a1＝2，n＝3.故答案為：2；3.20．已知非零向量滿足，則與的夾角為__________.【答案】【分析】直接把兩邊同時平方化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以.所以與的夾角為.故答案為：21．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左右兩支分別交于點，，若是以為直角的等腰直角三角形，則的離心率為____________.【答案】【分析】設，根據是以為直角的等腰直角三角形，結合雙曲線的定義，由，求得t，過作的垂線，垂足為，然后在中利用勾股定理求解.【詳解】如圖：設直線的斜率大于0，，則.由雙曲線的定義知，，所以，所以.過作的垂線，垂足為，則，則.在中，，整理得，所以.故答案為：22．已知函數，，若對，，使得，則實數的取值范圍為______.【答案】【分析】根據題意可轉化為，利用單調性求解即可.【詳解】因為若對，，使得，所以，因為的對稱軸為，所以，因為，，所以所以，即所以【點睛】本題主要考查了存在性問題與任意性問題，考查了轉化思想，屬于中檔題.三、解答題(本大題共3小題，共31分。)23．(本題10分)已知函數（1）求函數的單調遞增區間；（2）若，求函數的值域.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用三角函數恒等變換公式化簡變形得，然后由可求出函數的遞增區間，（2）由（1）可得，由得，從而可求得函數的值域【詳解】（1），，由，得，所以的單調遞增區間為，（2）由（1）得，由，得，所以，即，所以，所以的值域為24．(本題10分)如圖，已知拋物線上一點到焦點的距離為，直線與拋物線交于兩點，且(為坐標原點)，記，的面積分別為.（1）求拋物線的方程;（2）求證直線過定點;（3）求的最小值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）20.【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式求解即可.（2）首先設直線方程為，，與拋物線聯立得到，根據得到，從而得到直線過定點.（3）首先根據圖形得到，從而得到，再利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】（1）由題意可得拋物線方程為（2）設直線方程為，，如圖所示：代入拋物線方程中，消去得，，.解得或（舍去）直線方程為，直線過定點.（3）當時等號成立.的最小值為.25．(本題11分)設函數（），方程有三個不同的實數根，，，且．（1）當時，求實數的取值范圍；（2）當時，求正數的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）化簡，根據函數的單調性即可求解；（2）對進行分類討論，方程有三個不同的實數根以及函數的單調性即可求解；（3）分析出，可得出，對分類討論即可求解.【詳解】（1），，在單調遞增，在單調遞減，在單調