上海市楊思高中2024-2025學年高二數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在上的函數(shù)滿足,,則不等式的解集為()A． B． C． D．2．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A．B．C．D．3．已知橢圓的左右焦點分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．4．的展開式中，的系數(shù)為()A．-10 B．-5 C．5 D．05．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應向量（為坐標原點），設，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉的角為，則，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導出了復數(shù)乘方公式：，則（）A． B． C． D．6．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．7．從名學生志愿者中選擇名學生參加活動，若采用下面的方法選取：先用簡單隨機抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為8．準線為的拋物線標準方程是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．12．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點的的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_____．14．以橢圓的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線方程的標準方程是_______.15．正四面體的所有棱長都為2，則它的體積為________．16．=________________。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)fx（1）解不等式fx（2）若gx=3x-2m+3x-1，對?x118．（12分）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，數(shù)列的前項和為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．19．（12分）設函數(shù)，曲線在點，（1））處的切線與軸垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范圍．20．（12分）在棱長為的正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.21．（12分）盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球（Ⅰ）求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求的分布列.22．（10分）已知A，B為橢圓上的兩個動點，滿足．（1）求證：原點O到直線AB的距離為定值；（2）求的最大值；（3）求過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由已知條件構造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+lnx，求導，根據(jù)已知求得函數(shù)的單調區(qū)間，結合原函數(shù)的性質和函數(shù)值，即可的解集．【詳解】令g(x)=f(x)+lnx(x>0)，則g'(x)=，又函數(shù)滿足，∴g'(x)=，g(x)在單調遞增.∵，∴，∴當，，當，，∴當，則不等式成立.故選：B.本題主要考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用和函數(shù)綜合，一般采用構造函數(shù)法，求導后利用條件判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)特殊值解出不等式所對應的區(qū)間即可，屬于中等題.2、B【解析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，若，函數(shù)的對稱軸是，所以，故選B.3、D【解析】

利用直角三角形的邊角關系、橢圓的定義離心率計算公式即可得出．【詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．本題考查橢圓的幾何性質及其應用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).4、B【解析】

在的二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)分別等于2和1，求出r的值，得到含與的項，再與、與-1對應相乘即可求得展開式中x的系數(shù)．【詳解】要求的系數(shù)，則的展開式中項與相乘，項與-1相乘，的展開式中項為，與相乘得到，的展開式中項為，與-1相乘得到，所以的系數(shù)為.故選B.本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式及特定項的系數(shù)，屬于基礎題．5、D【解析】

將復數(shù)化為的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【詳解】本題考查復數(shù)的計算，意在考查學生的閱讀能力，解決問題的能力和計算能力.6、B【解析】

分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當平面時，三棱錐體積最大很關鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結果，屬于較難題型．7、D【解析】

根據(jù)簡單隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結合概率的意義，即可判斷出每個人入選的概率.【詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除時，則要先剔除幾個個體，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的概率相等，所以，每個個體被抽到包括兩個過程，一是不被剔除，二是選中，這兩個過程是相互獨立的，因此，每個人入選的概率為.故選：D.本題考查簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應用，也考查了概率的意義，屬于基礎題.8、A【解析】準線為的拋物線標準方程是，選A.9、A【解析】

代入特殊值對選項進行驗證排除，由此得出正確選項.【詳解】若，符合題意，由此排除C,D兩個選項.若，則不符合題意，排除B選項.故本小題選A.本小題主要考查分段函數(shù)函數(shù)值比較大小，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎題.10、A【解析】

設CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝11、A【解析】由題意，循環(huán)依次為，，所以可能取值的集合為，故選A.12、C【解析】

由，得出，轉化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖像即可．【詳解】由于，所以，函數(shù)的周期為，且函數(shù)為偶函數(shù)，由，得出，問題轉化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，，當時，，則函數(shù)與函數(shù)在上沒有交點，結合圖像可知，函數(shù)與函數(shù)圖象共有11個交點，故選C.本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉化為兩個函數(shù)的公共點個數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質，如周期性、奇偶性、對稱性等性質的體現(xiàn)，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

互為反函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以兩個陰影部分也關于直線對稱.利用面積分割和定積分求出上部分陰影面積，再乘以2得到整個陰影面積.【詳解】如圖所示，連接，易得，，.考查靈活運用函數(shù)圖象的對稱性和定積分求解幾何概型，對邏輯思維能力要求較高.本題在求陰影部分面積時，只能先求上方部分，下方部分中學階段無法直接求.14、【解析】分析：由橢圓的焦點為，頂點為，可得雙曲線的焦點與頂點，從而可得雙曲線方程.詳解：橢圓的焦點為，頂點為，雙曲線的頂點與焦點分別為，可得，所以雙曲線方程是，故答案為.點睛：本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質應用，意在考查綜合應用所學知識解決問題的能力，解題時要認真注意審題，特別注意考慮雙曲線的焦點位置.15、.【解析】試題分析:過作，則是的中心，連接,則,,在中，,所以.考點：多面體的體積.16、【解析】

利用定積分的幾何意義及其計算公式，可得結論．【詳解】由題意，可得.故答案為．本題主要考查了定積分的計算公式，以及定積分的幾何意義的應用，其中解答中熟記定積分的計算公式，合理使用定積分的幾何意義求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x|0≤x≤1；(2)-1【解析】

（1）對x分類討論，將不等式轉化為代數(shù)不等式，求解即可；（2）分別求出函數(shù)的最值，利用最值建立不等式，即可得到實數(shù)m的取值范圍．．【詳解】解：（1）不等式等價于x≤-1,-3x≤x+2,或-1<x≤1解得x∈?或0≤x≤12或12<x≤1（2）由f(x)=-3x,x≤-1,-x+2,-1<x≤12,g(x)≥|(3x-2m)-(3x-1)|=|2m-1|，當且僅當(3x-2m)(3x-1)≤0時取等號，所以|2m-1|≤32，解得-14≤m≤54本題考查方程有解問題，考查不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）將已知條件轉化為，由此求得的值，進而求得的通項公式.（II）利用求得的表達式，由此求得的表達式，利用分組求和法求的值.【詳解】（Ⅰ）設等比數(shù)列的公比即，解得：或，又的各項為正，，故（Ⅱ）設，數(shù)列前n項和為.由解得..,.本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，考查數(shù)列通項公式的求法，考查分組求和法，所以中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）求得的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，解方程可得；（2）依據(jù)的導數(shù)，討論的范圍，結合單調性可得最小值，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】（1），由題設知，解得.（2）解：的定義域為，由（1）知，，（i）若，則故當，使得的充要條件為，即，解得（ii）若，則，故當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增，所以，存在，使得的充要條件為，所以不合題意（iii）若，則時，在上單調遞減，但是，∴綜上所述，的取值范圍是本題主要考查導數(shù)的運用：利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，研究單調性和極值，意在考查學生分類討論思想、方程思想的運用能力以及數(shù)學運算能力。20、（1）（2）λ＝2【解析】分析：以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點的坐標，

（1）求出異面直線與1的方向向量用數(shù)量積公式兩線夾角的余弦值（或補角的余弦值）

（2）求出兩個平面的法向量，由于兩個平面垂直，故它們的法向量的內(nèi)積為0，由此方程求參數(shù)的值即可．詳解：(1)以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系．則A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為.（2）設平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).………8分由D1E＝λEO，則E，=.10分又設平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).12分因為平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得．點睛：本題查了異面直線所成的角以及兩個平面垂直的問題，本題采用向量法來研究線線，面面的問題，這是空間向量的一個重要運用，大大降低了求解立體幾何問題的難度．21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）可以求其反面，一個紅球都沒有，求出其概率，然后求取出的1個球中至少有一個紅球的概率，從而求解；（Ⅱ）可以記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，求出事件B和C的概率，從而求出1個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，1，分別求出其概率【詳解】解：（Ⅰ）取出的1個球中至少有一個紅球的概率：（1分）（Ⅱ）記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，則．…（6分）（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，1．…（7分），，，．…（11