上海市普陀區上海師大附中2025屆數學高二下期末達標檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在底面為正方形的四棱錐中，平面，，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．2．在上可導的函數的圖像如圖所示，則關于的不等式的解集為（）A． B． C． D．3．已知函數是上的奇函數，且的圖象關于對稱，當時，，則的值為A． B． C．0 D．14．如圖所示，函數的圖象在點P處的切線方程是，則（）A． B．1 C．2 D．05．展開式中項的系數是A．4 B．5C．8 D．126．函數是周期為4的偶函數,當時，,則不等式在上的解集是()A． B． C． D．7．已知變量x，y滿足約束條件則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）A．96 B．84 C．60 D．489．知是定義在上的偶函數，那么（）A． B． C． D．10．下列有關統計知識的四個命題正確的是（）A．衡量兩變量之間線性相關關系的相關系數越接近，說明兩變量間線性關系越密切B．在回歸分析中，可以用卡方來刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差C．線性回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點中的一個點D．線性回歸方程中，變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位11．已知雙曲線的實軸長為16，左焦點分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點，且，為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．條件，條件，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是______________．14．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門學科（3門理科，3門文科）中選擇3門學科參加等級考試，小李同學受理想中的大學專業所限，決定至少選擇一門理科學科，那么小李同學的選科方案有________種.15．已知實數滿足，則的最大值為____．16．已知隨機變量服從正態分布，若，，則．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且.分別為的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知橢圓E：的離心率為分別是它的左、右焦點，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E的上頂點A作斜率為的兩條直線AB，AC，兩直線分別與橢圓交于B，C兩點，當時，直線BC是否過定點？若是求出該定點，若不是請說明理由.19．（12分）在中，內角所對的邊分別是，已知．（Ⅰ）求證：為等腰三角形；（Ⅱ）若是鈍角三角形，且面積為，求的值．20．（12分）已知函數.（1）若曲線與直線相切，求實數的值；（2）若函數有兩個零點，，證明.21．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），已知直線的方程為.（1）設是曲線上的一個動點，當時，求點到直線的距離的最小值；（2）若曲線上的所有點均在直線的右下方，求的取值范圍.22．（10分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復平面上的四個點,且向量對應的復數分別為z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2為實數,求a,b的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因為PB∥CM，所以就是異面直線PB與AC所成的角.【詳解】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四邊形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等邊三角形.

所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：B.本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法.屬于基礎題.2、B【解析】

分別討論三種情況，然后求并集得到答案.【詳解】當時：函數單調遞增，根據圖形知：或當時：不成立當時：函數單調遞減根據圖形知：綜上所述：故答案選B本題考查了根據圖像判斷函數的單調性，意在考查學生的讀圖能力.3、C【解析】

先根據函數的圖象關于對稱且是上的奇函數，可求出函數的最小正周期，再由時，，即可求出結果.【詳解】根據題意，函數的圖象關于對稱，則，又由函數是上的奇函數，則，則有，變形可得，即函數是周期為4的周期函數，則，又由函數是上的奇函數，則，故.故選C本題主要考查函數的基本性質，周期性、奇偶性、對稱性等，熟記相關性質即可求解，屬于常考題型.4、B【解析】分析：由切線方程確定切點坐標，然后結合導數的幾何意義整理計算即可求得最終結果.詳解：由切線方程可知，當時，，切點坐標為，即，函數在處切線的斜率為，即，據此可知：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查切線的幾何意義及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、B【解析】

把（1+x）5按照二項式定理展開，可得（1﹣x）（1+x）5展開式中x2項的系數．【詳解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出現的有1*10x2和﹣x*5x，其它的項相乘不能出現平方項，故展開式中x2項的系數是10﹣5=5，故選B．這個題目考查的是二項式中的特定項的系數問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數還是系數，還要注意在求系數和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等．6、C【解析】若，則此時是偶函數，即若，則∵函數的周期是4，

即，作出函數在上圖象如圖，

若，則不等式等價為，此時

若，則不等式等價為，此時，

綜上不等式在上的解集為故選C.【點睛】本題主要考查不等式的求解，利用函數奇偶性和周期性求出對應的解析式，利用數形結合是解決本題的關鍵．7、B【解析】畫出二元一次不等式所示的可行域，目標函數為截距型，，可知截距越大值越大，根據圖象得出最優解為，則的最大值為2，選B.【點睛】本題主要考查線性規劃問題，首先由不等式組作出相應的可行域，作圖時，可將不等式轉化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍．8、B【解析】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=1．故選B9、A【解析】分析：偶函數的定義域滿足關于原點對稱，且由此列方程解詳解：是定義在上的偶函數，所以，解得，故選A點睛：偶函數的定義域滿足關于原點對稱，且，二次函數為偶函數對稱軸為軸。10、A【解析】分析：利用“卡方”的意義、相關指數的意義及回歸分析的適用范圍，逐一分析四個答案的真假，可得答案．詳解：A.衡量兩變量之間線性相關關系的相關系數越接近，說明兩變量間線性關系越密切，正確；B.在回歸分析中，可以用卡方來刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差，錯誤對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越大，“與有關系”可信程度越大;故B錯誤；C.線性回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點中的一個點，錯誤，回歸直線可能不經過其樣本數據點中的任何一個點；D.線性回歸方程中，變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位，錯誤，由回歸方程可知變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位.故選A.點睛：本題考查回歸分析的意義以及注意的問題．是對回歸分析的思想、方法小結．要結合實例進行掌握.11、A【解析】由于焦點到漸近線的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的位置關系,考查雙曲線漸近線的幾何性質,考查三角形的面積公式和雙曲線離心率的求法.設雙曲線的焦點為,雙曲線的漸近線為,故雙曲線焦點到漸近線的距離為,故焦點到漸近線的距離為.12、C【解析】

由題意得到關于a,c的齊次式，然后求解雙曲線的離心率即可.【詳解】由雙曲線的通徑公式可得，由結合雙曲線的對稱性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性質有：，即：，據此有：，，解得：，雙曲線中，故的離心率為.本題選擇C選項.雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：是的充分而不必要條件，，等價于，的解為，或，，故答案為：．14、19【解析】

6門學科（3門理科，3門文科）中選擇3門學科可以分為全為理科，有理科有文科，全為文科，決定至少選擇一門理科學科包括前兩種，考慮起來比較麻煩，故用間接法：用總數減去全為文科的數量.【詳解】根據題意，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門學科任選3門，有種選取方法，其中全部為文科科目，沒有理科科目的選法有種，所以至少選擇一門理科學科的選法有20－1＝19種；故答案為：19，本題考查排列組合.方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時；2、間接考慮，當直接考慮情況較多時，可以用此法.15、2【解析】

根據約束條件得到可行域，令，則取最大值時，在軸截距最大；通過平移可知過時即可，代入求得最大值.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則取最大值時，在軸截距最大通過平移可知當過時，在軸截距最大本題正確結果：本題考查線性規劃求解最值的問題，關鍵是將問題轉化為截距最值的求解問題，屬于常考題型.16、0.8【解析】分析：先根據正態分布曲線對稱性求，再根據求結果.詳解：因為正態分布曲線關于對稱，所以,因此點睛：利用正態分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角的余弦值為.【解析】試題分析：（1）由已知條件可以為坐標原點建立空間坐標系，用坐標表示出，由向量的數量積運算得，根據線面垂直的判定定理得平面；（2）先分別求出平面和平面的法向量，，再根據公式求出二面角的余弦即可.試題解析：（1）如圖建立空間直角坐標系，令，則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).，，平面.平面的法向量為，設平面的法向量為令則,∴二面角的大小的余弦為.考點：1、線面垂直的判定定理；2、二面角．18、（1）；（2）【解析】

（1）由題意，，結合的關系即可求解．（2）設直線,，，聯立方程可得，又，結合韋達定理可得，化簡計算即可求解．【詳解】（1）因為，所以，又，所以，橢圓的方程為；（2）因為，所以直線斜率存在設直線,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直線定點本題考查橢圓標準方程的求法，直線恒過定點問題，意在考查學生對這些基礎知識的理解程度和掌握水平，屬中檔題．19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）將正切化弦，結合兩角和差正弦公式可求得，根據三角形內角和可整理為，則由正弦定理可得到結論；（Ⅱ）利用三角形面積公式可求得；根據三角形為鈍角三角形且（Ⅰ）中的，可知為鈍角，求得；利用余弦定理可構造方程求得之間關系，從而得到所求結果.【詳解】（Ⅰ）由得：則：由正弦定理可知：為等腰三角形（Ⅱ）由題意得：，解得：為鈍角三角形，且為鈍角由余弦定理得：本題考查三角形形狀的求解、利用余弦定理、三角形面積公式求解三角形邊之間的關系問題，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內角和、誘導公式、同角三角函數值的求解等知識.20、(1)0.(2)證明見解析.【解析】

分析：求出導函數，可設切點為，由此可得切線方程，與已知切線方程比較可求得．（2）由可把用表示（注意是，不是它們中的單獨一個），這樣中的可用代換，不妨設，設，可表示為的函數，然后求得此函數的單調性與最值后可得證．詳解：（1）由，得，設切點橫坐標為，依題意得，解得．（2）不妨設，由，得，即，所以，設，則，，設，則，即函數在上遞減，所以，從而，即點睛：本題考查導數的幾何意義，考查用導數研究函數的單調性與最值．函數存在零點且證明與零點有關的問題，可利用零點的定義把參數用零點表示，這樣要證明的式子就可表示的代數