浙江省之江教育評價2025屆高二數學第二學期期末監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知樣本數據點集合為，樣本中心點為，且其回歸直線方程為，則當時，的估計值為（）A． B． C． D．2．若均為單位向量，且，則的最小值為（）A． B．1 C． D．3．若函數為奇函數，且在上為減函數，則的一個值為（）A． B． C． D．4．若6名男生和9名女生身高（單位：）的莖葉圖如圖，則男生平均身高與女生身高的中位數分別為()A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，1685．若均為非負整數，在做的加法時各位均不進位（例如，），則稱為“簡單的”有序對，而稱為有序數對的值，那么值為2964的“簡單的”有序對的個數是（）A．525 B．1050 C．432 D．8646．設全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，則實數a的值為()A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或87．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．8．設直線與圓交于A，B兩點，圓心為C，若為直角三角形，則（）A．0 B．2 C．4 D．0或49．某公司的班車在7:30，8:00，8:30發車，小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是A． B． C． D．10．等比數列{}的前n項和為，若則=A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或1011．若函數，對任意實數都有，則實數的值為（）A．和 B．和 C． D．12．在市高二下學期期中考試中，理科學生的數學成績，已知，則從全市理科生中任選一名學生，他的數學成績小于110分的概率為（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.85二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為______.14．在的展開式中，的系數為__________（用數字作答）．15．已知直線的一個法向量，則直線的傾斜角是_________（結果用反三角函數表示）；16．已知復數,其中是虛數單位,則的值是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數.（Ⅰ）當時，求函數的定義域；（Ⅱ）若關于的不等式的解集是，求的取值范圍.18．（12分）已知二項式的展開式中各項的系數和為.（1）求；（2）求展開式中的常數項．19．（12分）一輛汽車前往目的地需要經過個有紅綠燈的路口.汽車在每個路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過），遇到紅燈的概率為（必須停車）.假設汽車只有遇到紅燈或到達目的地才停止前進，用隨機變量表示前往目的地途中遇到紅燈數和綠燈數之差的絕對值.（1）求汽車在第個路口首次停車的概率；（2）求的概率分布和數學期望.20．（12分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日銷量（單位：千克）與銷售價格（單位：元千克）滿足關系式，其中，為常數，已知銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克.（1）求的值：（2）若該商品的成本為元千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.21．（12分）設函數．（1）證明：在單調遞減，在單調遞增；（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍．22．（10分）如圖所示是豎直平面內的一個“通道游戲”，圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點處相遇．若有一條豎直線段的為第一層，第二條豎直線段的為第二層，以此類推，現有一顆小球從第一層的通道向下運動，在通道的交叉處，小球可以落入左右兩個通道中的任意一個，記小球落入第層的第個豎直通道（從左向右計）的不同路徑數為．（1）求，，的值；（2）猜想的表達式（不必證明），并求不等式的解集．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據線性回歸直線過樣本中心點，可得，然后代值計算，可得結果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當當時，故選：D本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數的求法以及回歸直線必過樣本中心點，屬基礎題.2、A【解析】

∴則當與同向時最大，最小，此時=，所以=-1，所以的最小值為，故選A點睛：本題考查平面向量數量積的性質及其運算律，考查向量模的求解，考查學生分析問題解決問題的能力，求出，表示出，由表達式可判斷當與同向時，最小.3、D【解析】由題意得，∵函數為奇函數，∴，故．當時，，在上為增函數，不合題意．當時，，在上為減函數，符合題意．選D．4、C【解析】

根據平均數和中位數的定義即可得出結果.【詳解】6名男生的平均身高為,9名女生的身高按由低到高的順序排列為162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位數為168.故選:C.本題考查由莖葉圖求平均數和中位數,難度容易.5、B【解析】分析：由題意知本題是一個分步計數原理，第一位取法兩種為0，1，2，第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有7種，0，1，2，3，4，5，6第四為有5種，0，1，2，3，4根據分步計數原理得到結果．詳解：由題意知本題是一個分步計數原理，第一位取法兩種為0，12第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有7種，0，1，2，3，4，5，6第四為有5種，0，1，23，4根據分步計數原理知共有3×10×7×5=1050個故答案為：B.點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．6、D【解析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.詳解：由，且，又集合，實數的值為或，故選D.點睛：本題考查補集的定義與應用，屬于簡單題.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系.7、B【解析】分析：利用乘法分步計數原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計數原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點睛：(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成．8、D【解析】

是等腰三角形，若為直角三角形，則，求出圓心到直線的距離，則．【詳解】圓心為，半徑為，，∵為直角三角形，∴，而，∴，即，或4.故選：D.本題考查直線與圓的位置關系．在直線與圓相交問題中垂徑定理常常要用到．9、B【解析】試題分析：由題意，這是幾何概型問題，班車每30分鐘發出一輛，到達發車站的時間總長度為40，等車不超過10分鐘的時間長度為20，故所求概率為，選B.【考點】幾何概型【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關鍵是確定“測度”,常見的測度有長度、面積、體積等.10、B【解析】

由等比數列的性質可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數列即（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20），代入可求．【詳解】由等比數列的性質可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數列，且公比為∴（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）即解=20或-10（舍去）故選B．本題主要考查了等比數列的性質（若Sn為等比數列的前n項和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不為0，則其成等比數列）的應用，注意隱含條件的運用11、A【解析】由得函數一條對稱軸為,因此,由得,選A.點睛：求函數解析式方法：(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.（4）由求對稱軸12、D【解析】

根據正態密度曲線的對稱性得出，于是可計算出，于此可得出結果．【詳解】由于，由正態密度曲線的對稱性可得，因此，，故選D.本題考查正態分布在指定區間上的概率的計算，解題的關鍵在于利用正態密度曲線的對稱性將所求概率轉化為已知區間概率進行計算，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240.【解析】

先把5本書取出兩本看做一個元素，這一元素和其他的三個元素分給四個同學，相當于在四個位置全排列，根據分步乘法計數原理即可得出結果.【詳解】從5本書中取出兩本看做一個元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個元素分給四個同學共有種不同的分法，根據分步乘法計數原理，共有種不同的分法.故答案為：240本題主要考查了排列組合的綜合應用，分步乘法計數原理，屬于中檔題.14、60【解析】，它展開式中的第項為，令，則，的系數為，故答案為.15、【解析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線的斜率，從而得傾斜角。【詳解】直線的一個法向量，則直線的一個方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：。本題考查求直線的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關系可求得直線斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數值域是。16、5【解析】分析：先將復數z右邊化為形式，然后根據復數模的公式計算詳解：因為所以=5點睛：復數計算時要把復數化為形式，以防止出錯.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）.【解析】試題分析：（1）函數去絕對值號化為分段函數即可求解；（2）分離參數得：在上恒成立，利用絕對值性質即可得到m范圍內.試題解析：（1）由題意，令解得或，∴函數的定義域為或（2），∴，即.由題意，不等式的解集是，則在上恒成立.而，故.點睛：恒成立問題是常見數學問題，一般可考慮分離參數處理，分離參數后問題轉化為求最值，可考慮均值不等式、函數最值，絕對值的性質、三角函數等方法來處理.18、（1）8；（2）.【解析】

⑴觀察可知，展開式中各項系數的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開式中的第項，即通項公式，將第一問的代入，并整理，令的次數為，解出，得到答案【詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項展開式中的第項為Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此時，常數項為＝28.本題主要考的是利用賦值法解決展開式的系數和問題，考查了利用二次展開式的通項公式解決二次展開式的特定項問題。19、（1）;（2）分布列見解析，數學期望.【解析】

（1）汽車在第3個路口首次停車是指汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3個路口遇到綠燈，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出汽車在第3個路口首次停車的概率．（2）設前往目的地途中遇到綠燈數為，則，用隨機變量表示前往目的地途中遇到紅燈數和綠燈數之差的絕對值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數學期望．【詳解】解：（1）由題意知汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3個路口遇到綠燈，汽車在第3個路口首次停車的概率為：．（2）設前往目的地途中遇到綠燈數為，則，用隨機變量表示前往目的地途中遇到紅燈數和綠燈數之差的絕對值．則的可能取值為0，2，4，則，，，，的概率分布列為：024數學期望．本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、二項分布的性質等基礎知識，考查運算求解能力.20、(1)(2)當元/千克時，商場每日銷售該商品所獲最大利潤【解析】

（1）銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克代入函數解得.（2）求出利潤的表達式，求導，根據單調性計算函數的最值.【詳解】解：（1）當元/千克時，解得（2）設商場每日銷售該商品的利潤為，則，因為當時，，單調遞增，當時，，單調遞減所以當元/千克時，商場每日銷售該商品所獲最大利潤本題考查了函數的應用，求函數的最值，意在考查學生的計算能力和應用能力.21、（1）在單調遞減，在單調遞增；（2）.【解析】（Ⅰ）．若，則當時，，；當時，，．若，則當時，，；當時，，．所以，在單調遞減，在單調遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調遞減，在單調遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設函數，則．當時