第4節(jié)空間直線、平面的垂直高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.了解空間中線線、線面、面面垂直的關(guān)系,認(rèn)識和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.直線與平面垂直

與“所有直線”是同義的,但與“無數(shù)條直線”不同(1)定義:一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的

,平面α叫做直線l的

.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足.[教材知識深化]過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條,這點與垂足間的線段叫做這個點到該平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.垂線垂面(2)判定定理與性質(zhì)定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直

“相交”是定理的關(guān)鍵詞,應(yīng)用定理時不能省略

性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線

平行a⊥α微思考空間中任意一直線m,在平面α內(nèi)是否存在無數(shù)條直線與m垂直?提示

存在,如圖.

2.平面與平面垂直(1)定義:兩個平面相交,如果它們所成的二面角是

,就說這兩個平面互相垂直.直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的

,那么這兩個平面垂直

實際應(yīng)用:找出一個平面的垂面的依據(jù)

性質(zhì)定理兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直

一定不能漏掉“平面內(nèi)”“垂直于交線”這兩個條件垂線b⊥α[教材知識深化]1.我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.2.如果兩個平面相互垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點作垂直于第二個平面的直線,該直線在第一個平面內(nèi).誤區(qū)警示

注意不能和兩個平面平行的性質(zhì)混淆.當(dāng)兩個平面垂直時,并非一個平面內(nèi)的任意直線都和另一個平面垂直.自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(

)(2)設(shè)m,n是兩條不同的直線,若m∥n,m⊥平面α,則n⊥平面α.(

)(3)設(shè)a是一條直線,α,β是兩個不同的平面,若α⊥β,a⊥β,則a∥α.(

)×√×2.(人教A版必修第二冊8.6.2節(jié)練習(xí)第4題)過△ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的

心.(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點O是AB邊的

點.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都為P,則點O是△ABC的

心.外中垂解析

(1)∵過△ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC,圖略,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴點O是△ABC的外心.(2)由(1)知,點O是△ABC的外心,又∠ACB=90°,如圖,∴點O是斜邊AB的中點.(3)連接AO并延長交BC于一點E,∵PA,PB,PC兩兩垂直,即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,∴PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴BC⊥PA.∵PO⊥平面ABC于點O,BC?平面ABC,∴PO⊥BC.又PO∩PA=P,PO,PA?平面PAE,∴BC⊥平面PAE.∵AE?平面APE,∴BC⊥AE.同理可證HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心.3.(人教B版必修第四冊習(xí)題11-4B第2題)如圖,已知AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C為圓上不同于A,B的任意一點.求證:BC⊥平面PAC.證明

∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是圓的直徑,∴AC⊥BC.∵PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.二、連線高考4.(2022·全國乙,理7)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1DA解析

如圖,對于A,∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF∥AC.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正確.對于B,連接AC1,易證AC1⊥平面A1BD.假設(shè)平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1?平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC?平面B1EF,EF?平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,顯然不成立,∴假設(shè)不成立,即平面B1EF與平面A1BD不垂直.故B錯誤.對于C,由題意知,直線AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC必相交.故C錯誤.對于D,連接AB1,CB1,易證平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF與平面AB1C相交,∴平面B1EF與平面A1C1D不平行.故D錯誤.5.(2021·全國甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(2)已知D為棱A1B1上的點,證明:BF⊥DE.

(2)證明

如圖,連接A1E,取BC中點M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC中點,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,則點A1,B1,M,E四點共面,故DE?平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.研考點?精準(zhǔn)突破考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.證明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.證明

(1)∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD,又AC⊥CD,AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,∴CD⊥平面PAC,又AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PA⊥AB,又AD⊥AB,AD∩PA=A,AD,PA?平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又PD?平面PAD,∴AB⊥PD,由PA=AB=BC,∠ABC=60°,則△ABC是正三角形.∴AC=AB,∴PA=AC.∵E是PC中點,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,又CD∩PC=C,CD,PC?平面PCD,∴AE⊥平面PCD,又PD?平面PCD,∴AE⊥PD,又AB∩AE=A,AB,AE?平面ABE,∴PD⊥平面ABE.[對點訓(xùn)練1]如圖,已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=4,AB=3,AC=5.(1)求點A到平面PBC的距離;(2)求三棱錐P-ABC的表面積.

考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2023·全國甲,文18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)設(shè)AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.(1)證明

∵A1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.

[對點訓(xùn)練2](2022·全國乙,文18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時,求三棱錐F-ABC的體積.(1)證明

∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E為AC的中點,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E為AC的中點,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC?