上海財大北郊高級中學2025屆高二下數學期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設命題，，則為（）．A．， B．，C．， D．，2．等差數列的前9項的和等于前4項的和，若，則k=（）A．10 B．7 C．4 D．33．某醫院擬派2名內科醫生、3名外科醫生和3名護士共8人組成兩個醫療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內科醫生、外科醫生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種4．已知點P是雙曲線上一點，若，則△的面積為（）A． B． C．5 D．105．已知函數的圖象如圖，則與的關系是：（）A． B．C． D．不能確定6．已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則（）A．50 B．2 C．0 D．-20187．已知是虛數單位，是的共軛復數，若，則的虛部為（）A． B． C． D．8．設命題，則為（）A． B．C． D．9．由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．10．已知高一（1）班有48名學生，班主任將學生隨機編號為01，02，……，48，用系統抽樣方法，從中抽8人，若05號被抽到了，則下列編號的學生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．3311．定義語句“”表示把正整數除以所得的余數賦值給，如表示7除以3的余數為1，若輸入，，則執行框圖后輸出的結果為（）A．6 B．4 C．2 D．112．的展開式中的常數項為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正項等比數列中，，則公比__________．14．函數的圖象在點處的切線方程是_____________.15．已知，若在(0,2)上有兩個不同的,則k的取值范圍是_____.16．已知定義在上的函數滿足，當時，，則函數在區間上的零點個數是____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研:項目:通信設備.根據調研,投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為；項目:新能源汽車.根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、虧損，且這兩種情況發生的概率分別為.經測算，當投入兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即數學期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬元全部投到其中的一個項目，請你從投資回報穩定性考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.18．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的參數方程為為參數)．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線經過橢圓的右焦點．（1）求實數的值；（2）設直線與橢圓相交于兩點，求的值．19．（12分）在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）若，且的面積為，求.20．（12分）袋中裝有黑色球和白色球共個，從中任取個球都是白色球的概率為，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸出個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個人摸到白色球后終止，每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的，用表示摸球終止時所需摸球的次數.（1）求隨機變量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.21．（12分）已知數列滿足（且），且，設，，數列滿足.（1）求證：是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）求數列的前項和.22．（10分）如圖，在四棱錐中，已知底面為菱形，，，為對角線與的交點，底面且（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據含有一個量詞的命題的否定，可直接得出結果.【詳解】解：表示對命題的否定，“，”的否定是“，”．故選．本題主要考查命題的否定，只需改寫量詞與結論即可，屬于常考題型.2、A【解析】

由等差數列的性質可得，然后再次利用等差數列的性質確定k的值即可.【詳解】由等差數列的性質可知：,故，則，結合題意可知：.本題選擇A選項.本題主要考查等差數列的性質及其應用，屬于中等題.3、B【解析】

根據條件2名內科醫生，每個村一名，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，根據排列組合進行計算即可．【詳解】2名內科醫生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.4、C【解析】設，則：，則：，由勾股定理可得：，綜上可得：則△的面積為：.本題選擇C選項.點睛：(1)雙曲線定義的集合語言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解決與焦點三角形有關的計算問題的關鍵，切記對所求結果進行必要的檢驗．(2)利用定義解決雙曲線上的點與焦點的距離有關問題時，弄清點在雙曲線的哪支上．5、B【解析】

通過導數的幾何意義結合圖像即得答案.【詳解】由于導數表示的幾何意義是切線斜率，而由圖可知，在A處的切線傾斜角小于在B處切線傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.本題主要考查導數的幾何意義，比較基礎.6、B【解析】

由題意可得，為周期為4的函數，分別求得一個周期內的函數值，計算可得所求和．【詳解】解：是定義域為的奇函數，可得，即有，即，進而得到，為周期為4的函數，若，可得，，，則，可得.故選：B．本題考查抽象函數的函數值的求和，注意運用函數的周期性，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．7、A【解析】由題意可得：，則，據此可得，的虛部為.本題選擇A選項.8、D【解析】分析：根據全稱命題的否定解答.詳解：由全稱命題的否定得為：，故答案為D.點睛：（1）本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)全稱命題：,全稱命題的否定（）：.9、C【解析】

由，解得，解得，解得，所圍成的平面圖形的面積為，則，，故選C.10、C【解析】

根據系統抽樣的定義求出樣本間隔即可.【詳解】樣本間隔為48÷18=6，則抽到的號碼為5+6（k﹣1）=6k﹣1，當k=2時，號碼為11，當k=3時，號碼為17，當k=4時，號碼為23，當k=5時，號碼為29，故選：C．本題主要考查系統抽樣的定義和方法，屬于簡單題．11、C【解析】

模擬執行程序框圖，只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可得到輸出的的值.【詳解】第一次進入循環，因為56除以18的余數為2，所以，，，判斷不等于0，返回循環；第二次進入循環，因為18除以2的余數為0，所以，，，判斷等于0，跳出循環，輸出的值為2.故選C.本題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.12、C【解析】

化簡二項式的展開式，令的指數為零，求得常數項.【詳解】二項式展開式的通項為，令，故常數項為，故選C.本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查二項式展開式中的常數項，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：利用等比數列的通項公式把等式改寫成含有和的式子，聯立方程組求解即可.詳解：由題意得：，兩式相除消去并求解得：，，.故答案為：.點睛：等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．14、【解析】

首先求出在1處的導數，再求出在1處的函數值，然后用點斜式求出方程即可.【詳解】，∴且，切線方程是，即．本題考查利用導數求函數在點處的切線方程，屬于基礎題.15、【解析】分析：先將含有絕對值的函數轉化為一元一次函數和二元一次函數的分段函數的形式，再利用一元一次函數與二元一次函數的單調性加以解決詳解：不妨設在是單調函數，故在上至多一個解若則，故不符合題意，由可得，由可得，故答案為點睛：本題主要考查的知識點是函數零點問題，求參量的取值范圍，在解答含有絕對值的題目時要先去絕對值，分類討論，然后再分析問題，注意函數單調性與奇偶性和零點之間的關系，適當注意函數的圖像，本題有一定難度16、9【解析】

令，先求出當時的零點個數，然后利用周期性和奇偶性判斷在區間上零點的個數。【詳解】由于定義在上的函數滿足，函數為奇函數，則在上必有，當，由得，即，可得：，故，，函數為周期為3的奇函數，，此時有3個零點，又,，，此時有1，2，4，5四個零點；當，故，即，此時有兩個零點綜上所述：函數在區間上的零點個數是9.本題主要考查函數零點的判斷，利用函數的周期性和奇偶性，分別判斷零點的個數，做到不重不漏，綜合性較強，屬于中檔題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，；(2)從風險控制角度，建議該投資公司選擇項目.【解析】

（1）根據概率和為1列方程求得的值，再利用分布列和數學期望列方程組求得、的值；（2）計算均值與方差，比較即可得出結論．【詳解】（1）依題意，，，設投入到項目的資金都為萬元，變量和分別表示投資項目和所獲得的利潤，則和的分布列分別為由分布列得，，因為所以，即，又，解得，；，，（2）當投入萬元資金時，由（1）知，所以，，，因為，說明雖然項目和項目的平均收益相等，但項目更穩妥，所以，從風險控制角度，建議該投資公司選擇項目.本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望和方差的計算問題，是中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）利用消參，可得橢圓的普通方程，以及利用可得直線的直角坐標方程，然后利用直線過點，可得結果.（2）寫出直線的參數方程，根據參數的幾何意義，以及聯立橢圓的普通方程，得到關于的一元二次方程，使用韋達定理，可得結果.【詳解】（1）將曲線的參數方程(為參數)，可得曲線的普通方程為，∴橢圓的右焦點直線的極坐標方程為，由，得∵直線過點，∴；（2）設點對應的參數分別為，將直線的參數方程(為參數)代入，化簡得，則本題考查極坐標方程，直角坐標方程以及參數方程的互化，重點在于對直線參數方程的幾何意義的理解，難點在于計算，屬中檔題.19、（1）見解析（2）2【解析】試題分析：（1）由，根據正弦定理可得，利用兩角和的正弦公式展開化簡后可得，所以，；（2）由，根據余弦定理可得，結合（1）的結論可得三角形為等腰三角形，于是可得，由，解得.試題解析：（1）根據正弦定理，由已知得：，展開得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.20、(1)分布列見解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解析】分析：（1）由已知先出白子個數，進而可得隨機變量X的概率分布列和數學期望；（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.詳解：設袋中白色球共有x個，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個球，3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.隨機變量X的分布列為X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”．依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋