上海市2025屆數學高二第二學期期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一個棱長為的正方體的表面涂上顏色，將其適當分割成棱長為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個，取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色的概率是（）A． B． C． D．2．已知在R上是奇函數，且A．-2 B．2 C．-98 D．983．某校從6名學生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學校的匯演活動，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．4．如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，若輸入的，分別為63，98，則輸出的（）A．9 B．3 C．7 D．145．下列函數中，在定義域內單調的是（）A． B．C． D．6．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥n，m∥β，則n∥β；④若m⊥α，m⊥β，則α⊥β.其中真命題的個數為()A．1B．2C．3D．47．已知定義在上的連續奇函數的導函數為，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．8．中，，則的值是（）A． B． C． D．或9．已知二次函數在區間內有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．下列關于“頻率”和“概率”的說法中正確的是（）（1）在大量隨機試驗中，事件出現的頻率與其概率很接近；（2）概率可以作為當實驗次數無限增大時頻率的極限；（3）計算頻率通常是為了估計概率．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）12．已知是虛數單位，，則復數的共軛復數為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式展開式中含項的系數是__________．14．設直線l：x+y﹣2＝0的傾斜角為α，則α的大小為_____．15．設隨機變量的概率分布列如下圖，則___________．123416．棱長為的正四面體的高為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）當時，求關于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.18．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點），在小河另一側有一集鎮（集鎮視為點），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當地政府為方便村民出行，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點，且垂直河岸，在的左側），建橋要求：兩村所有人到集鎮所走距離之和最短，已知兩村的人口數分別是人、人，假設一年中每人去集鎮的次數均為次．設．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．19．（12分）已知：已知函數（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線的斜率為﹣6，求實數a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的極值；20．（12分）交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統一為a元，在下一年續保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發生道路交通事故的情況相聯系，發生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率上一年度未發生有責任道路交通事故下浮10%上兩年度未發生有責任道路交通事故下浮上三年度未發生有責任道路交通事故下浮30%上一個年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個年度發生兩次及兩次以上有責任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一個年度發生有責任交通死亡事故上浮30%某機構為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況，統計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（1）按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規定，，記為某同學家的一輛該品牌車在第四年續保時的費用，求的分布列與數學期望；（數學期望值保留到個位數字）（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元:①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.21．（12分）已知函數（為常數）．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，若函數在上單調遞增，求的取值范圍．22．（10分）已知函數.(1)判斷的奇偶性并證明你的結論;(2)解不等式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結果，根據古典概型及其概率的計算公式，即可求解．【詳解】由題意，在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，可得試驗發生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結果，所以所求概率為．故選：C．本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中解答根據幾何體的結構特征，得出基本事件的總數和所求事件所包含基本事件的個數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．2、A【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數，∴f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2019)＝－2.故選A3、B【解析】

先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數為，結合條件概率的計算方法，可得.【詳解】女生甲被選中的情況下，基本事件總數，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數為，則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為.故選B.本題考查了條件概率的求法，考查了學生的計算求解能力，屬于基礎題.4、C【解析】由，不滿足，則變為，由，則變為，由，則，由，則，由，則，由，則，由，退出循環，則輸出的值為，故選C.5、A【解析】

指數函數是單調遞減，再判斷其它選項錯誤,得到答案.【詳解】A.，指數函數是單調遞減函數,正確\B.反比例函數，在單調遞減，在單調遞減，但在上不單調，錯誤C.，在定義域內先減后增，錯誤D.，雙勾函數，時先減后增，錯誤故答案選A本題考查了函數的單調性，屬于簡單題.6、A【解析】對于①，由直線與平面垂直的判定定理易知其正確；對于②，平面α與β可能平行或相交，故②錯誤；對于③，直線n可能平行于平面β，也可能在平面β內，故③錯誤；對于④，由兩平面平行的判定定理易得平面α與β平行，故④錯誤．綜上所述，正確命題的個數為1，故選A.7、C【解析】

根據時可得：；令可得函數在上單調遞增；利用奇偶性的定義可證得為偶函數，則在上單調遞減；將已知不等式變為，根據單調性可得自變量的大小關系，解不等式求得結果.【詳解】當時，令，則在上單調遞增為奇函數為偶函數則在上單調遞減等價于可得：，解得：本題正確選項：本題考查函數奇偶性和單調性的綜合應用問題，關鍵是能夠構造函數，根據導函數的符號確定所構造函數的單調性，并且根據奇偶性的定義得到所構造函數的奇偶性，從而將函數值的大小關系轉變為自變量之間的比較.8、B【解析】

根據正弦定理求解.【詳解】由正弦定理得，選B.本題考查正弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎題.9、A【解析】

先求出二次函數在區間內有兩個零點，所需要的條件，然后再平面直角坐標系內，畫出可行解域，然后分析得出的取值范圍.【詳解】因為二次函數在區間內有兩個零點，所以有：，對應的平面區域為下圖所示：則令，則的取值范圍為，故本題選A.本題考查了一元二次方程零點分布問題，正確畫出可行解域是解題的關鍵.10、C【解析】

先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數單增，當函數單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．本題考查分段函數的最值問題，關鍵利用求導的方法研究函數的單調性，進行綜合分析．11、D【解析】

利用頻率和概率的定義分析判斷得解.【詳解】（1）在大量隨機試驗中，事件出現的頻率與其他概率很接近，所以該命題是真命題；（2）概率可以作為當實驗次數無限增大時頻率的極限，所以該命題是真命題；（3）計算頻率通常是為了估計概率，所以該命題是真命題.故選D本題主要考查頻率和概率的關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、A【解析】

先由復數的除法，化簡z，再由共軛復數的概念，即可得出結果.【詳解】因為，所以.故選A本題主要考查復數的運算，以共軛復數的概念，熟記運算法則與概念即可，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、210.【解析】分析：先根據二項展開式通項公式得含項的項數，再代入得系數詳解：因為，所以因此含項的系數是.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.14、【解析】

根據直線方程可得斜率，由斜率可得傾斜角.【詳解】由直線方程可得斜率為，所以，又，所以.故答案為：本題考查了由直線方程求傾斜角，屬于基礎題.15、【解析】

依題意可知，根據分布列計算可得；【詳解】解：依題意可得故答案為：本題考查離散型隨機變量的分布列與和概率公式的應用，屬于基礎題.16、【解析】

利用正弦定理計算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【詳解】設正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.本題考查正四面體高的計算，解題時要充分分析幾何體的結構，結合勾股定理進行計算，考查空間想象能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）根據絕對值的意義，取到絕對值號，得到分段函數，進而可求解不等式的解集；（2）因為，得，再利用絕對值的定義，去掉絕對值號，即可求解。【詳解】（1）因為，所以的解集為.（2）因為，所以，即，則，所以.本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．18、（1），；（2）當時，符合建橋要求.【解析】

（1）利用正切值之比可求得，；根據可表示出和，代入整理可得結果；（2）根據（1）的結論可得，利用導數可求得時，取得最小值，得到結論.【詳解】（1）與的正切值之比為則，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且當時，，；當時，，函數在上單調遞減；在上單調遞增；時，函數取最小值，即當時，符合建橋要求本題考查函數解析式和最值的求解問題，關鍵是能夠通過根據題意建立起所求函數和變量之間的關系，利用導數來研究函數的最值.19、(1)-2；(2)極小值為，極大值為.【解析】分析：（1）求出曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的導數值等于切線的斜率為﹣6，即可求出；（2）通過a=1時，利用導函數為0，判斷導數符號，即可求f（x）的極值.詳解：（Ⅰ）因為f′（x）=﹣x2+x+2a，曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線的斜率k=f′（2）=2a﹣2，2a﹣2=﹣6，a=﹣2（Ⅱ）當a=1時，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，2）2（2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調減

單調增

單調減所以f（x）的極大值為，f（x）的極小值為．點睛：本題考查導數的綜合應用，切線方程以及極值的求法，注意導函數的零點并不一定就是原函數的極值點．所以在求出導函數的零點后一定要注意分析這個零點是不是原函數的極值點．20、（1）分布列見解析，（2）①，②萬元【解析】

（1）由題意列出X的可能取值為，，，，，，結合表格寫出概率及分布列，再求解期望（2）①建立二項分布求解三輛車中至多有一輛事故車的概率②先求出一輛二手車利潤的期望，再乘以100即可【詳解】（1）由題意可知：X的可能取值為，，，，，由統計數據可知：，，，，，.所以的分布列為：.（2）①由統計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為：.②設Y為給銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為所以Y的分布列為：YP所以.所以該銷售商一次購進輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為萬元.本題考查離散型隨機變量及分布列，考查二項分布，考查計算能力，是基礎題21、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）當時