山西省太原市迎澤區太原五中2024-2025學年高二數學第二學期期末調研模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明不等式：，則從到時，左邊應添加的項為（）A． B．C． D．2．在等差數列{an}中，，角α頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點（a2，a1+a3），則cos2α＝（）A． B． C． D．3．“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖是由正方體與三棱錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．28+43 B．36+43 C．28+5．有一段“三段論”，其推理是這樣的：對于可導函數，若，則是函數的極值點,因為函數滿足，所以是函數的極值點”，結論以上推理A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．沒有錯誤6．給出定義：若函數在D上可導，即存在，且導函數在D上也可導，則稱在D上存在二階導函數，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數．以下四個函數在上不是凸函數的是（）A． B．C． D．7．設，則（）A． B． C． D．8．多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點到平面的距離為A． B． C． D．9．定義在上的函數，當時，，則函數（）的所有零點之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．810．祖暅是南北朝時代的偉大科學家，公元五世紀末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．設A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．根據祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為1，則輸出的值為（）A． B．2 C．0 D．無法判斷12．在二項式的展開式中，含的項的系數是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則過原點且與曲線相切的直線方程為____________.14．從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成___________個沒有重復數字的四位數.(用數字作答)15．設是定義在上、以1為周期的函數，若在上的值域為，則在區間上的值域為．16．若雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121；(1)求n的值；(2)求展開式中系數最大的項；18．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），（），圓C的參數方程（θ為參數）．（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；（Ⅱ）判斷直線l與圓C的位置關系．19．（12分）（1）若展開式中的常數項為60，求展開式中除常數項外其余各項系數之和；（2）已知二項式（是虛數單位，）的展開的展開式中有四項的系數為實數，求的值.20．（12分）已知函數(1)求函數的解析式;(2)解關于的不等式．21．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，若存在，使不等式成立，求的最小值.22．（10分）如圖，圓的半徑為2，點是圓的一條半徑的中點，是圓過點的動弦.(1)當是的中點時，求的值;(2)若，,,且.①,的值;②求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

將和式子表示出來，相減得到答案.【詳解】時：時：觀察知：應添加的項為答案選D本題考查了數學歸納法，寫出式子觀察對應項是解題的關鍵.2、A【解析】

利用等差數列的知識可求的值，然后利用的公式可求.【詳解】由等差數列{an}的性質可知，所以，所以.故選：A.本題主要考查等差數列的性質和三角函數求值，注意齊次式的轉化，側重考查數學運算的核心素養.3、B【解析】，，，∴“”是“”的充分不必要條件．故選：．4、C【解析】

由三視圖可知，正方體的棱長為2，直三棱錐的底面是兩直角邊長都為2的直角三角形,高為3,由此可求得幾何體的表面積.【詳解】由三視圖可知，正方體的棱長為2，直三棱錐的底面是兩直角邊長都為2的直角三角形，高為3，故該幾何體的表面積為S=2×2×5+本題主要考查三視圖的還原，幾何體的表面積的計算，難度一般，意在考查學生的轉化能力，空間想象能力，計算能力.5、A【解析】

在使用三段論推理證明中，如果命題是錯誤的，則可能是“大前提”錯誤，也可能是“小前提”錯誤，也可能是推理形式錯誤，我們分析其大前提的形式：“對于可導函數f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函數f（x）的極值點”，不難得到結論．【詳解】對于可導函數f（x），如果f'（x0）＝0，且滿足當x＞x0時和當x＜x0時的導函數值異號時，那么x＝x0是函數f（x）的極值點，而大前提是：“對于可導函數f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函數f（x）的極值點”，不是真命題，∴大前提錯誤，故選A．本題考查的知識點是演繹推理的基本方法，演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結論之間有蘊涵關系．因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結論必定是真實的，但錯誤的前提可能導致錯誤的結論．6、D【解析】

對A，B，C，D四個選項逐個進行二次求導，判斷其在上的符號即可得選項.【詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則.在上，恒有，故選D.本題主要考查函數的求導公式，充分理解凸函數的概念是解題的關鍵，屬基礎題．7、B【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比較的大小關系得解.詳解：由題得＜ln1=0,>.所以ab<0..所以，所以.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查實數大小的比較和對數函數的性質，考查對數的運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.(2)解答本題的關鍵是對數的運算.8、D【解析】

利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面的法向量，結合，利用空間向量夾角余弦公式求出與所求法向量的夾角余弦，進而可得結果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，為平行四邊形，由得，，，，設為平面的法向量，顯然不垂直于平面，故可設，，即，，所以，又，設與的夾角為，則，到平面的距離為，故選D.本題主要考查利用空間向量求點面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.9、D【解析】分析：首先根據得到函數關于對稱，再根據對稱性畫出函數在區間上的圖像，再根據函數與函數圖像的交點來求得函數的零點的和.詳解：因為故函數關于對稱，令，即，畫出函數與函數圖像如下圖所示，由于可知，兩個函數圖像都關于對稱，兩個函數圖像一共有個交點，對稱的兩個交點的橫坐標的和為，故函數的個零點的和為.故選D.點睛：本小題主要考查函數的對稱性，考查函數的零點的轉化方法，考查數形結合的數學思想方法.解決函數的零點問題有兩個方法，一個是利用零點的存在性定理，即二分法來解決，這種方法用在判斷零點所在的區間很方便.二個是令函數等于零，變為兩個函數，利用兩個函數圖像的交點來得到函數的零點.10、A【解析】分析：利用祖暅原理分析判斷即可.詳解：設A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，根據祖暅原理可知，p是q的充分不必要條件.故選：A.點睛：本題考查滿足祖暅原理的幾何體的判斷，是基礎題，解題時要認真審查，注意空間思維能力的培養.11、B【解析】

由條件結構，輸入的x值小于0，執行y＝﹣x，輸出y，等于0，執行y＝0，輸出y，大于0，執行y＝1x，輸出y，由x＝1＞0，執行y＝1x得解．【詳解】因為輸入的x值為1大于0，所以執行y＝1x＝1，輸出1．故選：B．本題考查了程序框圖中的條件結構，條件結構的特點是，算法的流程根據條件是否成立有不同的流向，算法不循環執行．12、C【解析】

利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為4求得．【詳解】解：對于，對于10﹣3r＝4，∴r＝2，則x4的項的系數是C52（﹣1）2＝10故選．點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設切點坐標為，利用導數求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【詳解】設切點坐標為，，，，則曲線在點處的切線方程為，由于該直線過原點，則，得，因此，則過原點且與曲線相切的直線方程為，故答案為．本題考查導數的幾何意義，考查過點作函數圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設切點坐標，并利用導數求出切線方程；（2）將所過點的坐標代入切線方程，求出參數的值，可得出切點的坐標；（3）將參數的值代入切線方程，可得出切線的方程．14、1260.【解析】分析:按是否取零分類討論，若取零，則先排首位，最后根據分類與分步計數原理計數.詳解：若不取零，則排列數為若取零，則排列數為因此一共有個沒有重復數字的四位數.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.15、【解析】略16、【解析】

求解出雙曲線漸近線和拋物線準線的交點，利用三角形面積構造方程可求得，利用雙曲線的關系和即可求得離心率.【詳解】由雙曲線方程可得漸近線方程為：由拋物線方程可得準線方程為：可解得漸近線和準線的交點坐標為：，解得：本題正確結果：本題考查雙曲線離心率的求解問題，關鍵是能夠利用三角形面積構造方程，得到之間關系，進而得到之間的關系.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)或【解析】

（1）由末三項二項式系數和構造方程，解方程求得結果；（2）列出展開式通項，設第項為系數最大的項，得到不等式組，從而求得的取值，代入得到結果.【詳解】（1）展開式末三項的二項式系數分別為：，，則：，即：，解得：（舍）或（2）由（1）知：展開式通項為：設第項即為系數最大的項，解得：系數最大的項為：或本題考查二項式定理的綜合應用，涉及到二項式系數的問題、求解二項展開式中系數最大的項的問題，屬于常規題型.18、見解析【解析】

（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；（Ⅱ）求出圓的圓心與半徑，判斷圓心與直線的距離與半徑的關系，即可判斷直線l與圓C的位置關系．【詳解】解：（Ⅰ）M，N的極坐標分別為（2，1），（），所以M、N的直角坐標分別為：M（2，1），N（1，），P為線段MN的中點（1，），直線OP的平面直角坐標方程y；（Ⅱ）圓C的參數方程（θ為參數）．它的直角坐標方程為：（x﹣2）2+（y）2＝4，圓的圓心坐標為（2，），半徑為2，直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，1），（），方程為y（x﹣2）（x﹣2），即x+3y﹣21．圓心到直線的距離為：2，所以，直線l與圓C相交．本題考查圓的參數方程，極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線與圓的位置關系，考查計算能力．19、（1）（2）或1【解析】

（1）求展開式的通項，根據常數項為60解得a的值，然后在原解析式中代入x=1求得各項系數之和，進而求出結果.（2）求出展開式的通項，因為展開式中有四項的系數為實數，所以r的取值為0,2,4,6，則可得出n的所有的可能的取值.【詳解】解：（1）展開式的通項為，常數項為，由，，得．令，得各項系數之和為．所以除常數項外其余各項系數之和為．（2）展開式的通項為，因為展開式中有四項的系數為實數，且，，所以或1．本題考查二項式展開式的通項，考查求二項式特定項的系數，以及虛數單位的周期性，屬于基礎題.20、(1)(2)【解析】

（1）令，得，求出的范圍，得出的范圍，再將代入題中函數解析式即可得出函數的解析式與定義域；（2）將所求不等式轉化為，然后解出該不等式組即可得出答案．【詳解】（1）令，則，，由題意知，即，則．所以，故．（2）由，得．由，得，因為，所以，由，得，即，，解得或.又，，所以或.故不等式的解集為.本題第（1）問考查函數解析式的求解，對于簡單復合函數解析式的求解，常用換元法，但要注意新元的取值范圍作為定義域，第（2）問考查對數不等式的解法，一般要轉化為同底數對數來處理，借助對數函數的單調性求解，同時也要注意真數大于零這個隱含條件．21、（1）見解析；（2）2【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）問題等價于，令，問題轉化為求出，利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性求出的最小值，從而求出的最小值即可.詳解：（1）解：∵∴∴當即時，對恒成立此時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間當，即時，由，得，由，得此時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為綜上所述，當時，的單調遞增區