上海市普通高中2024-2025學年數學高二第二學期期末質量跟蹤監視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間中，設α，表示平面，m，n表示直線.則下列命題正確的是（）A．若m∥n，n⊥α，則m⊥α B．若m上有無數個點不在α內，則m∥αC．若，則 D．若m∥α，那么m與α內的任何直線平行2．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，如果函數f(x)的圖象恰好通過n（）個整點，則稱函數f(x)為n階整點函數．有下列函數:①②③④其中是一階整點的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④3．等差數列的前項和，若，則()A．8 B．10 C．12 D．144．在一次獨立性檢驗中，其把握性超過99％但不超過99.5％，則的可能值為（）參考數據：獨立性檢驗臨界值表0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．5.424 B．6.765 C．7.897 D．11.8975．已知雙曲線my2－x2＝1(m∈R)與橢圓＋x2＝1有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x6．設曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A． B． C．-2 D．27．某市踐行“干部村村行”活動，現有3名干部甲、乙、丙可供選派，下鄉到5個村蹲點指導工作，每個村至少有1名干部，每個干部至多住3個村，則干部甲住3個村的概率為()A． B． C． D．8．函數y=12A．(0,1) B．(0,1)∪(-∞,-1) C．(-∞,1) D．(-∞,+∞)9．設方程的兩個根為，則（）A． B． C． D．10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，1AC＝AA1＝BC＝1．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為（）A．2B．3C．1D．211．一個球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，則右邊程序框圖輸出的S表示的是（）A．小球第10次著地時向下的運動共經過的路程B．小球第10次著地時一共經過的路程C．小球第11次著地時向下的運動共經過的路程D．小球第11次著地時一共經過的路程12．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是拋物線上的一點，過點的切線方程的斜率可通過如下方式求得在兩邊同時求導，得：，則，所以過的切線的斜率.試用上述方法求出雙曲線在處的切線方程為_________.14．設，.已知矩陣，其中，，那么B=________.15．若的展開式中常數項為96，則實數等于__________．16．已知函數對任意的都有，那么不等式的解集為_________。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（為自然對數的底數），.（1）當時，求函數的極小值；（2）當時，關于的方程有且只有一個實數解，求實數的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的離心率為，一個焦點在直線上，直線與橢圓交于兩點，其中直線的斜率為，直線的斜率為。（1）求橢圓方程；（2）若，試問⊿的面積是否為定值，若是求出這個定值，若不是請說明理由。19．（12分）已知函數．（1）若函數在處取得極值，求的值和函數的單調區間；（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．20．（12分）某地區舉辦知識競答比賽，比賽共有四道題，規則如下：答題過程中不論何時，若選手出現兩題答錯，則該選手被淘汰分數記為，其它情況下，選手每答對一題得分，此外若選手存在恰連續3次答對題目，則額外加分，若次全答對，則額外加分.已知某選手每次答題的正確率都是，且每次答題結果互不影響.求該選手恰答對道題的概率；記為該選手參加比賽的最終得分，求的分布列與數學期望.21．（12分）已知曲線的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是（為參數）.（Ⅰ）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）若直線與曲線相交于，兩點，且，求直線的傾斜角的值.22．（10分）設函數的定義域為集合，集合，（1）若，求；（2）若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據線面位置關系的判定定理與性質定理，逐一判定，即可求解，得到答案.【詳解】對于A中，若，則，根據線面垂直的判定定理，可知是正確的；對于B中，若直線與平面相交，則除了交點以外的無數個點都不在平面內，所以不正確；對于C中，若，則或或與相交，所以不正確；對于D中，若，則與平面內的直線平行或異面，所以不正確，故選A.本題主要考查了線面位置關系的判定與證明，其中解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

根據新定義的“一階整點函數”的要求，對于四個函數一一加以分析，它們的圖象是否通過一個整點，從而選出答案即可．【詳解】對于函數，它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數；

對于函數，當x∈Z時，一定有g（x）=x3∈Z，即函數g（x）=x3通過無數個整點，它不是一階整點函數；

對于函數，當x=0，-1，-2，時，h（x）都是整數，故函數h（x）通過無數個整點，它不是一階整點函數；

對于函數，它只通過一個整點（1，0），故它是一階整點函數．

故選D．本題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題，解決本題的關鍵是對于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點函數”．3、C【解析】試題分析：假設公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數列的性質.4、B【解析】

根據獨立性檢驗表解題【詳解】把握性超過99％但不超過99.5％，，選B本題考查獨立性檢驗表，屬于簡單題．5、A【解析】試題分析：由于的焦點為.雙曲線可化為.由題意可得.依題意得.所以雙曲線方程為.所以漸近線方程為.故選A.考點：1.橢圓的性質.2.雙曲線的性質.3.雙曲線的標準方程.6、A【解析】

根據函數的求導運算得到導函數，根據題干所給的垂直關系，得到方程，進而求解.【詳解】由題意得，，∵在點處的切線與直線垂直，∴，解得，故選：A．這個題目考查了函數的求導法則，涉及到導數的幾何意義的應用，屬于基礎題.7、A【解析】

先利用排列組合思想求出甲干部住個村的排法種數以及將三名可供選派的干部下鄉到個村蹲點的排法種數，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【詳解】三名干部全部選派下鄉到個村蹲點，三名干部所住的村的數目可以分別是、、或、、，排法種數為，甲住個村，則乙、丙各住一個村，排法種數為，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：A。本題考查排列組合應用問題以及古典概型概率的計算，解決本題的關鍵在于將所有的基本事件數利用排列組合思想求出來，合理利用分類計數和分步計算原理，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題。8、A【解析】

試題分析：令f'x=x-考點：函數的單調區間.9、D【解析】

畫出方程左右兩邊所對應的函數圖像，結合圖像可知答案。【詳解】畫出函數與的圖像，如圖結合圖像容易知道這兩個函數的圖像有兩個交點，交點的橫坐標即為方程的兩個根，結合圖像可知，，根據是減函數可得，所以有圖像可知所以即，則，所以，而所以故選D本題考查對數函數與指數函數的圖像與性質，解題的關鍵是畫出圖像，利用圖像解答，屬于一般題。10、A【解析】如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，設AD＝a，則D點坐標為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB設平面B1CD的一個法向量為m＝(x，y，z)．則CB1?m=0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)，則由cos60°＝m?n|m|?|n|，得1a2+2＝1211、C【解析】結合題意閱讀流程圖可知，每次循環記錄一次向下運動經過的路程，上下的路程相等，則表示小球第11次著地時向下的運動共經過的路程.本題選擇C選項.12、A【解析】

根據三視圖得出幾何體為一個圓柱和一個長方體組合而成，由此求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體由圓柱和長方體組合而成，故體積為，故選A.本小題主要考查三視圖還原原圖，考查圓柱、長方體體積計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：結合題中的方法類比求解切線方程即可.詳解：用類比的方法對兩邊同時求導得，，∴切線方程為，整理為一般式即：.點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.14、【解析】

根據條件列方程組，解得結果.【詳解】由定義得，所以故答案為：本題考查矩陣運算，考查基本分析求解能力，屬基礎題.15、【解析】的展開式的通項是，令，的展開式中常數項為可得故答案為.【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.16、【解析】

首先構造函數,根據函數的單調性和特殊值解得答案.【詳解】構造函數,則在R單調減,本題考查了利用函數單調性解不等式的知識,根據等式特點熟練構造出函數是本題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)見解析【解析】

(1)由題意，當時，然后求導函數，分析單調性求得極值；(2)先將原方程化簡，然后換元轉化成只有一個零點，再對函數進行求導，討論單調性，利用零點存在性定理求得a的取值.【詳解】（1）當時，令解得遞減極小值遞增（2）設，令，，，設，，由得，，在單調遞增，即在單調遞增，，①當，即時，時，，在單調遞增,又，此時在當時，關于的方程有且只有一個實數解.②當，即時，，又故，當時，，單調遞減，又，故當時，，在內，關于的方程有一個實數解.又時，，單調遞增，且，令，,,故在單調遞增，又故在單調遞增，故，故，又，由零點存在定理可知，.故當時，的方程有兩個解為和綜上所述：當時的方程有且只有一個實數解本題主要考查了導函數的應用，討論單調性和零點的存在性定理是解題的關鍵點，屬于難題.如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a).f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.18、（1）；（2）是定值.【解析】

(1)根據離心率公式和焦點公式計算得到答案.(2)設點和直線，聯立方程，根據韋達定理得到根與系數關系，計算PQ和點到直線距離，表示出面積，根據化簡得到答案.【詳解】解：（1）由題意可知橢圓的一個焦點為即而所以橢圓方程為（2）設當直線的斜率存在時，設其方程為，聯立橢圓方程得，則，點到直線的距離所以由化簡得代入上式得若直線斜率不存在易算得綜合得，三角形的面積是定值本題考查了橢圓的方程的計算，面積的表示和定值問題，計算量較大，意在考查學生的計算能力.19、(1)，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是;(2).【解析】試題分析：（1）由，解得令得減區間，得增區間;(2)關于的不等式在上恒成立，等價于函數的最小值大于等于零..試題解析：（Ⅰ）由題意知，，且，解得.此時，令，解得或，令，解得，則函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是（Ⅱ），當時，在上恒成立，則函數在區間上單調遞增，∴當時，；當時，令，解得，令，解得，則函數在區間（）上單調遞減，在上單調遞增，，即，解得；綜上所述，實數的取值范圍為.20、；.【解析】

(1)通過二項分布公式即可得到概率；（2）可能的取值為，分別求出所求概率，于是得到分布列和數學期望.【詳解】該選手每次答題的正確率都是，四道題答對的情況有種恰答對道題的概率由題可能的取值為，，的分布列如下.本題主要考查二項分布的運用，數學期望與分布列的相關計算，意在考查學生的分析能力，轉化能力，計算能力，難度中等.21、（1）；（2）或【解析】

（1）利用三種方程的轉化方法，將曲線C的極坐標方程和直線l的參數方程轉化為普通方程；（2）先將直