第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《圓的拓展探究常考熱點題型》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．【初步應用】（1）如圖1，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接．①寫出的度數是______，的度數是______，的度數是______；②點為的中點，的半徑為5，求線段的長；【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接，若平分，的半經為6，則的最大值是______．2．【問題提出】小慧同學遇到這樣一道問題，如圖①，在中，點D為邊的中點，以點D為圓心，為直徑作圓，的平分線交此圓于點P，點P在內部，連接．求證，的面積等于面積的一半．【問題解決】小慧的做法是連接并延長，交于點Q，利用形狀的特殊性解決問題，請你利用小慧的做法完成【問題提出】中的證明；【問題拓展】如圖②，在四邊形中平分．，若，則面積的最大值為．3．如圖1，四邊形內接于，是的中點，連結．【初步嘗試】（1）在弦上有一點D，且，連結，求證：；【變式應用】（2）如圖2，在（1）的條件下，若恰為的直徑，且，求弦的長；【拓展延伸】（3）如圖3，若恰為的直徑，過點E作，交的延長線于點，求的長．4．【基礎鞏固】（1）如圖1，點A，，在同一直線上，若，求證：；【嘗試應用】（2）如圖2，是半圓的直徑，弦長，，分別是，上的一點，，若設，，求出與的函數關系．【拓展提問】（3）已知是等邊邊上的一點，現將折疊，使點與重合，折痕為，點，分別在和上．如圖3，如果，求的值（用含的代數式表示）．5．閱讀材料：如圖（1），在中，，點P在邊上，于點于點F，則．（此結論不必證明，可直接應用）(1)【理解與應用】如圖（2），正方形的邊長為2，對角線相交于點O，點P在邊上，于點于點F，則______；(2)【類比與推理】如圖（3），矩形的對角線相交于點點P在邊上，交于點E，交于點F，求的值；(3)【拓展與延伸】四邊形是半徑為4的圓內接四邊形，對角線相交于點O，，點P在弦上，交BD于點E，交于點F，當時，試判斷的值是否為定值，若是請求出該定值并求出四邊形面積的最大值；若不是定值，請說明理由．6．在正方形中，、為平面上兩點．

【基礎鞏固】(1)如圖1，當點在邊上時，，且，，三點共線，求證：；【類比應用】(2)如圖2，當點在正方形外部時，，，且、、三點共線，若，，求點到直線的距離；【拓展遷移】(3)如圖3，當點E在正方形外部時，，，，且，，三點共線，與交于點，若，，求正方形的邊長．7．已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．8．閱讀材料，某個學習小組成員發現：在等腰中，AD平分，∵，，∴，他們猜想：在任意中，一個內角角平分線分對邊所成的兩條線段與這個內角的兩邊對應成比例．【證明猜想】如圖1所示，在中，AD平分，求證：．丹丹認為，可以通過構造相似三角形的方法來證明；思思認為，可以通過比較和面積的角度來證明．(1)請你從上面的方法中選擇一種進行證明．(2)【嘗試應用】如圖2，是的外接圓，點E是上一點（與B不重合，且，連結，并延長AE，BC交于點D，H為AE的中點，連結BH交AC于點G，求的值．(3)【拓展提高】如圖3，在（2）的條件下，延長交于點F，若，，求的直徑（用x的代數式表示）．9．小雯同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．【問題發現】例如：如圖1，在中，，，D是外一點，且，求的度數．若以點A為圓心，長為半徑作輔助圓，如圖2所示，則C，D兩點必在上，是的圓心角，是的圓周角，則．【初步運用】（1）如圖3，已知線段和直線l，用直尺和圓規在l上作出所有的點P，使得（不寫作法，保留作圖痕跡，你作圖過程中用到哪些數學原理？請寫出一條．【問題拓展】（2）如圖4，已知矩形，，，M為邊上的點．若滿足的點M恰好有兩個，則m的取值范圍為_________．10．【問題原型】如圖①，在⊙O中，弦BC所對的圓心角∠BOC＝90°，點A在優弧BC上運動（點A不與點B、C重合），連接AB、AC．(1)在點A運動過程中，∠A的度數是否發生變化？請通過計算說明理由．(2)若BC＝2，求弦AC的最大值．(3)【問題拓展】如圖②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分別是AB、BC的中點，則線段MN的最大值為．11．問題背景：圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，過點A作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD=∠BAC=60°；于是==；（1）遷移應用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD．求證：CD=AD+BD；（2）拓展延伸如圖圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．若AE=5，CE=2，求BF的長．12．如圖，在中，直徑長為，弦的長為8，點是上一點，過點作的垂線交直線于點．(1)求的正切值．(2)當與相似時，求的長．(3)以點為圓心，長為半徑畫，試根據線段的長度情況探究和的位置關系．13．如圖，是的直徑，點C是上一點，過點C作弦于E，點F是上一點，交于點H，過點F作一條直線交的延長線于M，交的延長線于G，．(1)求證：是的切線；(2)若，試探究之間的關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，，求的長．14．如圖，點A、E在上，與的夾角為，連結，過A點作的切線．(1)試求的度數（用含有n的代數式表示）；(2)在的延長線上取一點D，以線段為一邊作矩形，點C在射線上．①當時，在n的變化過程中，探究線段與、之間是否存在某固定的數量關系？若存在，試求出它們的數量關系；若不存在，請說明理由；②連結，當時，試求出的值．15．如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊在y軸上，邊與x軸交于點D，平分交邊于點E，經過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，與y軸相交于另一點G．

(1)求證：是的切線；(2)若點A、D的坐標分別為，求的半徑；(3)在（2）的條件下，求的長；(4)試探究線段三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．參考答案1．（1）①；②；（2）【分析】（1）①根據定義和圓周角定理求角即可；②根據垂徑定理和特殊角的三角函數值進行解答即可；（2）延長到點M，使得，連接，得到是等邊三角形，證明，則，進一步證明，當是直徑時，取最大值，即可求出答案．【詳解】解：（1）①∵四邊形是圓美四邊形，是美角，∴，∴，解得，∴，故答案為：．②連接交于點P，∵為的中點，∴，∵，∴，∴,∴，∴．（2）如圖，延長到點M，使得，連接，∵四邊形是圓美四邊形，是美角，∴，∴，解得，∴，∵平分，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∵是的一條弦，∴當是直徑時，取最大值，即的最大值是．故答案為：【點睛】本題考查了新定義問題，等邊三角形的判定和性質，圓的內接四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵．2．問題解決：見詳解；問題拓展：6【分析】本題為幾何探究題，考查圓與三角形的綜合問題，解題關鍵是熟練掌握圓與三角形的性質；問題解決：根據提示作圖，通過三角形中線將三角形面積等分證明．問題拓展：延長交于點，通過三角形三線合一得到為中點，通過中線將三角形面積平分可得面積最大時，面積最大，即為高時滿足題意．【詳解】問題解決：解：如圖，連接并延長，交邊于點．∵為的直徑，∴．∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．∵．∴點為的中點．，，∴的面積等于面積的一半．問題拓展：延長交于點，∵平分且，∴為等腰三角形，點為中點，∴，當的面積最大時，面積最大，即滿足題意，∵，∴面積的最大值為．故答案為：6．3．（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據題意得，結合同弧所對的圓周角相等得，即可證明；（2）過點E作，交于點F，則，可得，則有，結合等腰三角形的性質得，可得；（3）連結，過E作交于點M，設，利用勾股定理得，根據題意得，可證明和，則和，再次利用勾股定理即可求得x，即可求得．【詳解】（1）證明：為的中點，．又，，，（2）解：過點E作，交于點F，如圖，為的中點，為的直徑，，，，，，，．；（3）連結，過E作交于點M，如圖，設，，，．為的中點，．又，，．，∵，∴，∴，又為的直徑，，即．解得：，．【點睛】本題主要考查同弧所對的圓周角相等、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、含30度角的直角三角形的性質和勾股定理，解題的關鍵是熟悉圓的性質和全等三角形的判定和性質．4．（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）利用已知得出，進而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到和的數量關系，進而求出與的函數關系式；（3）首先證明，表示出，，，，，，再利用相似三角形的性質解決問題即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）可得，∴，即，∴；（3）解：連接，，∵與關于對稱，∴，，，∵，∵∴∴，設，，，∵，∴，∴，∴，，∵,∴，∴，由前兩項得，①，由后兩項得，，∴，∴，解得，，由（1）得，∴．【點評】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質，圓的有關知識，勾股定理以及二次函數最值等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題．5．(1)(2)(3)，四邊形面積的最大值為4【分析】（1）證：，直接運用閱讀材料中的結論即可解決問題．（2）證：，然后由條件可證，從而可得，進而求出．（3）證：四邊形是矩形，四邊形是正方形，即可求出，因而是定值．設，則，利用矩形的面積和二次函數的性值求出最值即可．【詳解】（1）解：如圖，∵四邊形是正方形，∴．∵，∴．∴．∵，∴．（2）解：如圖，∵四邊形是矩形，∴，，，，，，，，（3）解：當時，是定值．理由：連接、、、，四邊形是的圓內接四邊形，，，是四邊形的對角線，對角線相交于點O，，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形，，，設，則，四邊形是矩形，∴四邊形面積，，當時，四邊形面積有最大值，最大值為4．【點睛】本題考查了正方形的性質、矩形的判定和性質、圓的內接四邊形、相似三角形的判定與性質，二次函數的應用等知識，考查了類比聯想的能力，有一定的綜合性．要求的值，想到將相似所得的比式相加是解決本題的關鍵．6．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證明，可得結論；（2）證明，得，推出，過點作于，推出，計算即可；（3）連接，取的中點，連接，，過點作于，證，，，四點在同一個圓上，以為圓心，為半徑畫出圓，證明，算出和，根據勾股定理計算出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，如下圖，過點作于，

∴，∴，即點到直線的距離為；（3）解：如下圖，連接，取的中點，連接，，過點作于，

∵四邊形是正方形，，∴，∵，∴，∴，，，四點在同一個圓上，如下圖，以為圓心，為半徑畫出圓，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，根據勾股定理得，，∴，即正方形的邊長為．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理等知識，學會添加常用輔助線是解題的關鍵．7．(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）①根據，結合圓周角定理求的度數；②構造直角三角形；（2）只要說明點到圓上、和另一點的距離相等即可；（3）根據，構造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長交圓于點，則，

，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長線于點，連接，延長交圓于點，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個點的位置始終不變，點即為所求．【點睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于（3）構造一條線段等于是關鍵．8．(1)見解析(2)(3)的直徑為【分析】（1）選丹丹延長AD交過點C與AB平行的直線交于E，AD平分∠BAC，得出∠BAD=∠CAD，根據CE∥AB，可得AC=EC，再證△ABD∽△ECD即可；選思思過點D作，于點P，Q，根據角平分線性質得出，根據三角形高等得出，再根據即可（2）連接CE，先證∠AEC=90°，再證Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），得出，即AC為的角平分線，得出，根據H為AE的中點，可得AH=即可；（3）作交AE于點N，設BE交AC于M，先證，得出，根據AB=AE，得出BH=BE，根據，可求，得出，求得，可得根據勾股定理BN=，利用三角函數得出，在中，即可．【詳解】（1）選丹丹方法，丹丹認為，可以通過構造相似三角形的方法來證明；證明：延長AD交過點C與AB平行的直線交于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵CE∥AB，∴∠BAD=∠CED=∠CAD，∴AC=EC，∵AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴，∴；選擇思思方法：思思認為，可以通過比較和面積的角度來證明．證明：過點D作，于點P，Q，∵AD平分，，，∴，∴，又∵，∴；（2）解：連接CE，∵是的外接圓，∠ABC=90°，∴AC為的直徑，∴∠AEC=90°，在Rt△ABC和Rt△AEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），∴，即AC為的角平分線，∴，又∵H為AE的中點，∴AH=，∴；（3）作交AE于點N，設BE交AC于M，∵BE=EF，∴，∵∠BAE=∠BFE，∴∠HBE=∠BAE，∵∠HEB=∠BEA，∴，∴，∵AB=AE，∴BH=BE，又∵，由（2）知BG=2GH=2x，∴，∴，∴，∴，∴，∵BN⊥AD，BH=BE，∴HN=NE=，∠EBN=，∴BN=，在中，，在中，，即的直徑為．【點睛】本題考查角平分線定義，平行線性質，等腰三角形判定與性質，相似三角形判定與性質，三角形面積，三角形全等判定與性質，角平分線性質，線段中點，勾股定理，一元二次方程，銳角三角函數，圓的直徑，掌握以上知識是解題關鍵．9．45；（1）作圖見解析，原理為圓周角定理，即一條弧所對的圓周角是圓心角的一半；（2）【分析】（1）由圓周角定理即可得到答案；先作等邊三角形，在以點O為圓心，以OA為半徑作圓，由圓周角定理作圖即可；（2）在BC上截取BF=BA=2，連接AF，以AF為直徑作圓O，交AD于點E，連接EF，過點O作交EF于點H，交圓O于點G，，過點G作KQ⊥BC交BC于點Q，交AD于點K，故四邊形EFQK是矩形，由圖形可知，由勾股定理求出BF、BQ的長，代入計算即可．【詳解】解：，以點A為圓心，點B、C、D必在上是的圓心角，是的圓周角故答案為：45；（1）作圖如下：

數學原理：圓周角定理，即一條弧所對的圓周角是圓心角的一半；（2）如圖，在BC上截取BF=BA=2，連接AF，以AF為直徑作圓O，交AD于點E，連接EF，過點O作交EF于點H，交圓O于點G，過點G作KQ⊥BC交BC于點Q，交AD于點K，故四邊形EFQK是矩形的半徑為，即即解得故答案為：．【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、作圖、等邊三角形的判定和性質、勾股定理、矩形的判定與性質等，熟練掌握知識點是解題的關鍵．10．(1)不變，45°，理由見詳解(2)(3)【分析】（1）同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可說明；（2）AC的最大值為直徑，有直角三角形OBC求出半徑OC的長度即可；（3）與第（2）問類似，MN為的中位線，AC最大時，可知MN最大，作的外接圓，AC最大值為直徑，因此求出的外接圓的半徑即可．【詳解】（1）∠A的度數不發生變化，理由如下：∵，∠BOC＝90°，∴；（2）當AC為⊙O的直徑時，AC最大，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，根據勾股定理，得，∵OB＝OC，∴，∴，即AC的最大值為；（3）如圖，畫△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OC，ON，則ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，∴OB＝，∵M、N分別是AB、BC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∴MN＝AC，∴AC為直徑時，AC最大，此時AC＝2OB＝，∴MN最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的相關知識，有等弧或同弧的圓周角等于圓心角的一半，有動點問題，有直角三角形求直角邊，也有普通三角形求外接圓的半徑，熟練掌握同弧或等弧中的圓周角與圓心角的關系是解本題的關鍵．11．（1）見解析；（2）BF=3．【分析】（1）作AH⊥CD于H，易證△DAB≌△EAC，得BD=CE，由∠ADH=30°，得DH=AD，結合DH=HE，即可得到結論；（2）作BH⊥AE于H，連接BE，易得BC=BE=BD=BA，從而得A、D、E、C四點共圓，進而得△EFC是等邊三角形，可得FH=4.5，結合∠BFH=30°，即可求解．【詳解】（1）如圖2中，作AH⊥CD于H．∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，∴AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE，∵∠ADH=(180°-120°)÷2=30°，∴在Rt△ADH中，DH=AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD；（2）如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等邊三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C關于BM對稱，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四點共圓，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等邊三角形，∴EC=EF=2，∵AE=5，∴AH=HE=2.5，∴FH=4.5，∵在Rt△BHF中，∠BFH=30°，∴=cos30°，∴BF=4.5÷=3．【點睛】本題主要考查全等三角形，等腰三角形，菱形以及圓的基本性質的綜合，掌握含120°的等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質，菱形的性質以及圓周角定理，是解題的關鍵．12．(1)；(2)；(3)當時，內含于；當時，圓與圓內切；當或時，與相交．【分析】（1）連接，由直徑所對的圓周角是直角得到，利用勾股定理求出的長，再根據正切的定義可得答案；（2）分在的左側和在的右側兩種情況，討論求解即可；（3）如解析圖示中，求出圓與圓內切時，，再求出時，，據此分，，三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解；如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，即；（2）解：如圖：當在的左側時；過作，∴，∴，設，則與相似，，，∵，即，∴，即，∴，∵，，，即解得（已檢驗，符合題意）；如圖：當在的右側時；過作于，過過于，過作于，則，∴，∴，∴，∵，∴，∵與相似，∴，設，則，在中，，∴，∴，在中，，∴，，∴，，，綜上：；（3）解：如圖，當圓與圓內切時，則，過作于，過過于，同（2）可證明，∵，∴，∴，∴如圖，當時，在內切的基礎上，點D會更靠近點B，即此時一定有，∴，∴內含于；如圖，過點O作交于T，則，∴；如圖，當時，，則一定有，∴與相交；當時，如圖，∵，∴，∴與相交；綜上所述，當時，內含于；當時，圓與圓內切；當或時，與相交．【點睛】本題主要考查了圓與圓的位置關系，相似三角形的性質，解直角三角形，勾股定理，角平分線的性質等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接，根據，可得，再由，可得，即可求證；（2）連接，證明，可得，即可解答；（3）連接，根據題意可設，則，在中，利用勾股定理可得，從而得到，設半徑為r，則，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖：∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：，理由如下：連接，如圖：∵，∴，，∴，又，∴，∴，即，∵，∴；（3）解：連接，如