第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《二次函數綜合壓軸題》專項測試卷(帶答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、二次函數與面積問題1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，是拋物線上不與，重合的一動點，設點的橫坐標為．(1)求拋物線的函數解析式；(2)如圖，當點在第一象限時，若，求的值；(3)點在拋物線上且不與點重合，點的橫坐標為．分別過，兩點作軸的平行線，與直線分別交于，兩點，將四邊形的周長記為．直接寫出關于的函數解析式；當隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．2．如圖，已知二次函數的圖像與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C，作直線．(1)求直線的函數表達式；(2)P是第一象限內拋物線上一動點，過點P作于點Q，當線段取得最大值時，求點P的坐標．3．如圖，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，P是第二象限內拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，設對稱軸交線段于點N，點Q在對稱軸上，且在點N的下方，是否存在以P，Q，N為頂點的三角形與相似，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，連接，交于點E，交y軸于點F，令，求k的最大值．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，，與軸的交點為．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸交于點．點、點是直線上的動點，滿足點在點的左側且．當線段最大時，求的周長的最小值．(3)點為拋物線上的一個動點，點、點為第（2）問周長取得最小值時的點，當時，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的過程．5．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，為的中點，連接．直線交拋物線于另一點，拋物線的對稱軸與交于點．(1)求拋物線的解析式及點的坐標．(2)在拋物線上兩點之間的部分（不包含兩點）是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)笛卡爾愛心曲線是由法國數學家笛卡爾于17世紀提出的，因此得名．這條曲線在數學中有著重要的地位，不僅在理論上具有重要意義，還在實際應用中有所體現．例如，心形線的幾何構造可以通過平面幾何的方法得到，這種方法有助于更好地理解心形線的數學定義，并鍛煉幾何直覺．智慧學習小組探索發現，拋物線可以通過變化得到心形線．如圖2，將拋物線在上方的圖象沿折疊后就會得到心形線，若心形線與軸交于點，判斷點的橫坐標與的大小關系，并說明理由．二、二次函數與特殊四邊形問題6．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點E，其頂點為C，D是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當時，若的面積是面積的兩倍，求點D的坐標；(3)延長交x軸于點F，，試探究直線是否經過某一定點．若是，請求出定點的坐標；若不是，請說明理由．7．拋物線，與x軸交于點和，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，P是線段上方拋物線上一點，連接，交線段于點D，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，在（2）的條件下，當點P在對稱軸右側時，動點M從點A出發，以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點N從點B出發，以每秒3個單位的速度向點C運動，其中一個點到達終點時另一個點隨之停止，將線段繞點N逆時針旋轉得到線段，連接，設運動時間為t秒，直接寫出當一邊與平行時t的值．8．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（）經過點，與軸交于，兩點（點在點的右側），與軸交于點．連接，作射線，且．(1)求拋物線（）的表達式；(2)點是射線下方拋物線上的一動點，過點作軸于點，交線段于點．點是線段上一動點，軸于點，點為線段的中點，連接，．當線段長度取得最大值時，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經過（）中線段長度取得最大值時的點，且與射線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．9．如圖1，已知拋物線經過點，C，與y軸交于點A，頂點為D．(1)求該拋物線的表達式，并寫出其頂點坐標；(2)如圖2，連接，若點P為直線上方拋物線上的一個動點，且，求點P的橫坐標；(3)當時，y的取值范圍是，且，求a的值．10．已知拋物線與直線在第一象限交于點，且．(1)求點的坐標及的值；(2)如圖1，為拋物線上一點，軸交線段于點．若為等腰三角形，直接寫出點的橫坐標；(3)如圖2，直線交拋物線于，兩點，若平分，求的面積．三、二次函數與線段周長問題11．已知，二次函數的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，函數圖象的對稱軸經過點．(1)求這個二次函數的表達式；(2)連接，若點為直線下方的函數圖象上一動點，過點作軸，垂足為點，交于點．①點為線段上一動點，軸，垂足為點，點為線段上一動點，連接．當的面積最大時，求的最小值；②在軸上是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．12．綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式；(2)設拋物線的頂點為，則四邊形的面積是_____；（直接寫出結果）(3)第一象限內的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當的值最大時，求點的坐標．13．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)如圖，點在第四象限的拋物線上運動，過點作于點，過點作軸交于點，點的橫坐標為．①用含的代數式表示的長；②求的最大值及此時點的坐標；(3)將該拋物線在間的部分記為圖象，將圖象在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到一個新的函數的圖象，記這個函數的最大值為，最小值為，若，請直接寫出的取值范圍．14．在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線交軸的負半軸于點，交軸的正半軸于點，交軸于點，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點在第一象限的拋物線上，其橫坐標為，點、分別在線段、上，若,求與之間的函數關系式；(3)如圖2，在（2）的條件下，點在第一象限點左側的拋物線上，線段、交于點，于點，點在線段的延長線上，連接、、，若，，，求的值及點、的坐標．15．如圖，拋物線經過點，并交軸于另一點，點在第一象限的拋物線上，交直線于點．

(1)求該拋物線的函數表達式；(2)如圖1，若點為拋物線的頂點，求四邊形的面積；(3)當的值最大時，求點的坐標．參考答案1．(1)(2)(3)；或或．【分析】把點，的坐標代入，利用待定系數法求出拋物線的解析式即可；根據拋物線的解析式求出點的坐標，可知，過點作軸，過點作軸交軸于點，根據平行線的性質可知，從而可知，利用銳角三角函數可知，解方程求出的值即可；利用待定系數法求出直線的解析式，設點的坐標是，則點的坐標是，根據過，兩點作軸的平行線，與直線分別交于，兩點，把，兩點的坐標分別用含的代數式表示出來，可得：，根據的取值范圍分三種情況分別求出關于的函數解析式；根據拋物線的圖象與性質，在不同的取值范圍內分別求出當隨的增大而增大時，的取值范圍即可．【詳解】（1）解：把點，的坐標代入，可得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：如下圖所示，過點作軸，過點作軸交軸于點，設點的坐標為，當時，可得：，點的坐標是，，，，，，，軸，，，點的坐標是，點的坐標是，，，，點的坐標為，，，，整理得：，解得：；（3）解：設直線的解析式為，把點點的坐標代入解析式，可得：，解得：，直線的解析式為，此時點的坐標是，點的坐標是，則點的縱坐標為，則點的坐標為，點的縱坐標為，點的坐標為，，，，，四邊形的周長為，整理得：，當點在點右側時，如下圖所示，則有，解得：，當時，則有，，；當點在點的左側，點的右側時，如下圖所示，則有，解得：，則有，；當點在點左側時，，即，如下圖所示，則有，，綜上所述，；當時，，二次函數的圖象開口向下，對稱軸是，，當時，隨的增大而增大；當時，，二次函數的圖象開口向下，對稱軸是，，時，隨的增大而增大；當時，，二次函數圖象開口向上，對稱軸為，當時，隨的增大而增大．綜上所述，當隨的增大而增大時，的取值范圍是或或．【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何的綜合、平面直角坐標系中兩點之間的距離公式、二次函數的圖象與性質、銳角三角函數，解決本題的關鍵利用分類討論的思想分情況求解．2．(1)(2)【分析】（1）利用待定系數法先求解拋物線為，再求解，，再求解一次函數的解析式即可；（2）如圖，過作軸交于，連接，，設，則，，再利用二次函數的性質可得答案．【詳解】（1）解：∵二次函數的圖像與x軸交于，∴，∴，∴，令，則，解得：，，∴，令時，，∴，設直線為，∴，解得：，∴直線為；（2）解：如圖，過作軸交于，連接，，設，則，∴，∴，當時，面積最大，而為定值，∴此時最大，∴．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數，二次函數的解析式，二次函數與面積問題，線段問題，熟練的利用二次函數的性質解題是關鍵．3．(1)(2)存在，P的坐標為(3)的最大值為【分析】本題主要考查了函數的解析式的求法、二次函數與幾何的綜合等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．（1）將點和點代入求得a、b的值即可解答；（2）以點P、Q、N為頂點的三角形與相似，則為等腰直角三角形，，故當和為直角時，點Q和點A重合，不符合題意；當為直角時，則，即，解方程即可求解；（3）先求得直線的表達式為易得，再根據計算，然后根據二次函數的性質求最值即可。【詳解】（1）解：將點和點代入可得：，解得：，故拋物線的表達式為．（2）解：∵拋物線的表達式為，∴當時，，即∴，即為等腰直角三角形，∵以點P、Q、N為頂點的三角形與相似，∴為等腰直角三角形，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的表達式為，∵拋物線解析式為，∴該拋物線的對稱軸為：，當時，，即點，∵，故當和為直角時，點P和點A重合，不符合題意；當為直角時，則，當時，解得：或（舍去），∴點．（3）解：如圖：連接，設點，設直線的表達式為，則有，解得：，∴直線的表達式為，∴，∴，∴，．∴的最大值為．4．(1)(2)的周長的最小值為(3)點的坐標為或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）求出，從而可求直線的解析式為，設，則，表示出，結合二次函數的性質可得當時，取得最大值為，求出，過點作交軸于點，求出直線的解析式為，從而可得，證明四邊形為平行四邊形，得出，連接并延長，使得，連接，證明為等腰直角三角形，得出，求出點、關于直線對稱，得到，即的周長，連接交于，當、、在同一直線上時（即、重合時），最小，為，求出，最后由勾股定理計算即可得解；（3）求出，，過點軸，作軸交軸于，作交于，則，求出，證明，得出，設，則，求出，解得，此時；作點關于的對稱點，作直線，由軸對稱的性質可得，從而得出，即點為直線與拋物線的交點，，求出直線的解析式為，聯立求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，，∴，解得：，∴拋物線的表達式為；（2）解：在中，當時，，即，設直線的解析式為，將，代入直線的解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，設，∵軸交于點，∴，∴，∵，∴當時，取得最大值，為，此時，∴，如圖，過點作交軸于點，，設直線的解析式為，將代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，即，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，連接并延長，使得，連接，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，即，∵，∴，∵，∴點、關于直線對稱，∴，∴的周長，連接交于，當、、在同一直線上時（即、重合時），最小，為，設，則，解得：，即，∴，∴的周長的最小值為；（3）解：如圖，，設直線的解析式為，將，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，聯立，解得，即，設，則，解得：或（不符合題意，舍去），∴，如圖，過點軸，作軸交軸于，作交于，，則，∴，，∴，∵直線的解析式為，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，，∴，解得：或（不符合題意，舍去），∴，此時，∴；作點關于的對稱點，作直線，由軸對稱的性質可得：，∴，∴點為直線與拋物線的交點，，設直線的解析式為，將代入解析式可得，∴直線的解析式為，∴設直線的解析式為，將代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，聯立可得：，解得：或（不符合題意，舍去），∴，此時，∴；綜上所述，點的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數綜合—線段周長問題、二次函數綜合—角度問題、解直角三角形、求一次函數解析式等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．5．(1)，；(2)存在，；(3)，理由見解析．【分析】（1）把、分別代入拋物線，確定一次函數的解析式，兩個解析式聯立解答即可；（2）過點作拋物線的對稱軸于點軸交直線于點．設點的坐標為，則點．，分別表示所求兩個三角形的面積，根據題意建立方程，解答即可．（3）如圖2，設點為點，作點關于直線的對稱點，點關于直線的對稱點，連接，交于點，連接，過點作軸于點．利用勾股定理，三角形全等的判定和性質，對稱性解答即可．【詳解】（1）解：拋物線過點，解得拋物線的解析式為.當時，點的坐標為（0，6）．為的中點，點的坐標為（0，3）．設直線的解析式為．將點和點代入，得解得直線的解析式為.聯立拋物線，得．整理、得．解得（舍去），．點的坐標為.（2）存在．．拋物線頂點的坐標為，對稱軸為直線．拋物線的對稱軸與交于點把代入，得．點的坐標為．.如圖1，過點作拋物線的對稱軸于點軸交直線于點．設點的坐標為，則點．．，．解得或（舍去）．當時，．點的坐標為.（3）解：．理由如下：如圖2，設點為點，作點關于直線的對稱點，點關于直線的對稱點，連接，交于點，連接，過點作軸于點．由軸對稱的性質，得，點在直線上．在中，，由勾股定理，得．.．故，．在中．點的坐標為.設直線的解析式為，故解得，故直線的解析式為．聯立拋物線，得．整理，得．解得（不合題意，舍去；）．點的橫坐標為．，故，故，故點P在點K的左側，.【點睛】本題考查了待定系數法，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數的應用，兩點間距離公式的應用，構造法求面積，熟練掌握待定系數法，勾股定理，三角函數的應用是解題的關鍵．6．(1)(2)(3)直線恒過定點【分析】（1）令，則，從而可得，求解得出、的坐標，即可得解；（2）求出，連接、、、，作軸于，軸交于，設點的坐標為，則，求出，表示出，求出直線的解析式為，從而可得，求出，表示出，結合題意得出，解方程即可得解；（3）求出，，作軸于，設，則，求出，，由等腰三角形的性質可得，得出，從而可得，求出直線的解析式為，進而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直線的解析式為，即可得解．【詳解】（1）解：在中，令，則，∴，解得：，，∴，，∴；（2）解：當時，，∴，如圖，連接、、、，作軸于，軸交于，，設點的坐標為，則，∴，∴，設直線的解析式為，將，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，∴，∴，∵的面積是面積的兩倍，∴，整理得：，解得：或，∵，∴，此時，∴；（3）解：∵，∴，在中，當時，，故，如圖：作軸于，，設，則，∴，，∵，∴，∴，∴，設直線的解析式為，將，，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，令，則，解得：，∴，∴，解得：或，∵，∴，∴，設直線的解析式為，將，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，解得：，∴直線恒過定點．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、一次函數的應用、等腰三角形的性質、三角形面積公式等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．7．(1)(2)或．(3)或或【分析】（1）直接利用待定系數法求解即可；（2）過點P作PF∥y軸交直線BC于點F，過點A作軸交直線BC于點E，則，設，則，可得，即可求解；（3）如圖，先確定，再求解直線解析式為過N作垂直于x軸交x軸于L，過G作于K，證明，可得，由題意可得：再表示M，N，G三點坐標，再分三種情況討論即可．當時，設直線解析式為當時，設直線解析式為當時，設直線解析式為再利用待定系數法列方程組求解時間t即可．【詳解】（1）解：過點和，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖所示，過點P作軸交直線于點F，過點A作軸交直線于點E，在中，當時，，∴;設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，在中，當時，，∴，∴，設，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴解得或，∵P是線段上方拋物線上一點，∴，∴和都符合題意，當時，，當時，，∴或；（3）解：∵拋物線的對稱軸為直線∴當P在對稱軸的右側時，點P的坐標為，設的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，過N作垂直于x軸交x軸于L，過G作交直線于K，由旋轉的性質可得，∴，∵，∴，∴，∴，由題意可得：則，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，，當時，設直線的解析式為，解得：當時，設直線的解析式為解得：當時，設直線的解析式為解得：又∴經檢驗以上3個答案都符合題意，綜上：或或【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數與幾何綜合，相似三角形的判定與性質，利用待定系數法求解一次函數的解析式，旋轉的性質，銳角三角函數的應用，熟練的利用兩直線平行，一次項系數相同是解決第3問的關鍵．8．(1)(2)(3)點T的坐標為或【分析】（1）利用正切函數求得，得到，再利用待定系數法即可求解；（2）求得，利用待定系數法求得直線的解析式，設（），則，當時，最大，此時，將線段向左平移個單位得到，則，當三點共線時最小，即最小，最小值為的長度，則的最小值為；（3）根據（2）可得，再利用平移的性質得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，則，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：令，則，解得或，∵，則設直線的解析式為，代入，得，解得，∴直線的解析式為，設（），則，∴，∵，∴當時，最大，此時，∵點是線段上一動點，軸于點，∴當線段長度取得最大值時，∵，，點為線段的中點，∴將線段向左平移個單位得到，則當三點共線時最小，即最小，最小值為的長度；∴的最小值為；（3）解：由（2）得，∴新拋物線由向左平移個單位，向上平移個單位得到，∴，過點作交拋物線于點，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴設直線的解析式為，代入∴解得：∴直線的解析式為聯立得，解得，，當時，，∴，聯立直線和拋物線解析式可得解得：，當時，，∴∴軸，又∵∴∴作關于直線的對稱點，連接交于點∴∵∴∵，，∴將點向左平移個單位再向下平移個單位，得同理直線的解析式為，聯立，解得或，當時，，∴，綜上，符合條件的點T的坐標為或．【點睛】本題是二次函數綜合問題，考查二次函數的圖象及性質，待定系數法確定函數關系式，熟練掌握二次函數的圖象及性質，軸對稱的性質，平移的性質，數形結合是解題的關鍵．9．(1)，；(2)(3)或【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求解是解題的關鍵：（1）兩點式寫出函數解析式，轉化為頂點式，求出頂點坐標即可；（2）取的中點，連接，過點作的平行線，交軸于點，求出的坐標，將直線向上平移個距離，平移后的直線與拋物線的交點即為點，進行求解即可；（3）根據二次函數值的增減性，分2種情況進行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，C，∴，∵，∴頂點坐標為：；（2）∵，∴當時，，∴，∵，∴設直線的解析式為：，把代入，得：，∴，取的中點，連接，過點作的平行線，交軸于點，則：，∵，∴，∴點到的距離等于點到的距離，由（1）知：，∴，∴設直線的解析式為：，把代入，得：，解得：，∴，當時，，∴，∴，∴將直線向上平移2個單位得到，點即為直線與拋物線的交點，令，解得：或；故點的橫坐標為：；（3）∵，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，當時，有最小值為，∵，∴當時，，當時，，∵，∴當時，，解得：或（舍去）；當時，則：，解得：（舍去）或；綜上：或．10．(1)點的坐標為，(2)點的橫坐標為3或4或(3)【分析】（1）根據題意設，過點作軸，則，由勾股定理可得，可求得點的坐標為，再利用待定系數法可求得的值；（2）由（1）可知拋物線為，設，由題意得，且，則，，，分三種情況：當時，即，當時，即，當時，即，分別列出方程即可求解；（3）過點作軸，由（1）可知，，令直線與軸，軸分別交于點，點，與交于點，則，則平分，先證明，得，過點作軸，過點作軸，則，得證，可知，，而直線交拋物線于，兩點，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，則，再根據即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與直線在第一象限交于點，∴設，過點作軸，則，由勾股定理可得，∵，∴，即點的坐標為，將代入，得，解得：；（2）由（1）可知拋物線為，設，∵軸交線段于點，∴，且，則，，當時，即，∴，解得：（或5不符題意，應舍去）當時，即，∴，解得：（不符題意，應舍去）當時，即，∴，解得：（或不符題意，應舍去）綜上，點的橫坐標為3或4或；（3）過點作軸，由（1）可知，∴，令直線與軸，軸分別交于點，點，與交于點，則，則平分，∴，，則，∵平分，∴，則∴，∵，∴，∴，過點作軸，過點作軸，則，∴，∴，，而直線交拋物線于，兩點，∴，整理得，解得：，即，，∴，，∵，∴，即解得，∴，直線的解析式為，當時，，當時，，∴，∴．【點睛】本題考查利用待定系數法求函數解析，圖形與坐標，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性質等知識點，理解題意，分類討論，添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．11．(1)(2)①；②存在，【分析】（1）二次函數的圖象經過，對稱軸經過點，運用待定系數法求解即可；（2）①根據二次函數與坐標軸的關系得到，，，直線的解析式為，設，則，則，根據二次函數最最值的方法得到當時，的面積最大，最大值為，如圖所示，可得是定值，四邊形是平行四邊形，，此時，根據點到直線垂線段最短得到，當時，的值最小，可證，得到，設，則，在中，，即，則，由此即可求解；②如圖所示，點在點上方，四邊形是菱形，得，即；如圖所示，點在點下方，四邊形是菱形，，即；由此即可求解．【詳解】（1）解：二次函數的圖象經過，對稱軸經過點，∴，解得，，∴二次函數解析式為；（2）解：①二次函數中，令時，，則，令時，，解得，，∴，，設直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵點為直線下方的函數圖象上一動點，過點作軸，垂足為點，交于點，∴設，則，∴，∴，∵，∴當時，的面積最大，最大值為，如圖所示，∴，，，且，∵點為線段上一動點，軸，∴，，∴是定值，如圖所示，將連接，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，此時，根據點到直線垂線段最短得到，當且三點共線時，的值最小，∵，∴，且，∴，∴，∴，即，設，則，在中，，即，解得，，∴，∴的最小值為，∴的最小值為；②存在，理由如下，如圖所示，點在點上方，四邊形是菱形，∴，且，則，，∴，，∴，整理得，，解得，（不符合題意，舍去），，∴，即，則，∴軸，∵，∴軸，∴；如圖所示，點在點下方，四邊形是菱形，∴，且，，∴，整理得，，解得，（不符合題意，舍去），，∴，∴，∴；綜上所述，在軸上存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形，點的坐標為或．【點睛】本題主要考查二次函數圖象與線段，特殊四邊形的綜合，掌握待定系數法求解析式，二次函數求圖形面積，線段最小值的計算，相似三角形的判定和性質，二次函數與特殊四邊形的綜合，勾股定理等知識的綜合運用，數形結合分析，分類討論思想是關鍵．12．(1)(2)(3)補全圖形見解析，【分析】（1）根據拋物線的對稱性，求出點A的坐標，再利用待定系數法進行求解即可；（2）設拋物線對稱軸與x軸交于點E，先求出點坐標，C點坐標，利用四邊形的面積為即可求解；（3）根據題意，補全圖形，設，得到，，將的最大值轉化為二次函數求最值，即可得解．【詳解】（1）解：∵點關于對稱軸的對稱點為點，對稱軸為直線，∴，則，解得：，∴拋物線的表達式為：；（2）解：設拋物線對稱軸與x軸交于點E，則，將代入，則，∴，∴，將代入，則，∴，∴，∵，，∴，，∴四邊形的面積為，；故答案為：；（3）解：過點作軸，垂足為，連接交于點，如圖所示，∵拋物線解析式為，設，則：，設直線的解析式為：，∴，解得，∴直線的解析式為：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當時，有最大值，此時．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．正確的求出函數解析式，利用拋物線的對稱性以及數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．13．(1)(2)①；②，；(3)【分析】（1）將，代入，解方程組即可求解；（2）①設直線為，代入點，用表示兩點的坐標，再將縱坐標相減即可求解；②證明，得，進而得，可得，利用二次函數的性質即可求解；（3）結合圖象，分兩種情況：①當新的函數的圖象的最高點是點B時，最低點是，②當新的函數的圖象的最高點是點時，最低點是，分別求解即可得出取值范圍．【詳解】（1）解：將，代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：①設直線為，代入，得，，解得，，，點的橫坐標為，軸，，，；②，，，，，，軸，，，，，，，，時，，，；（3）解：當時，，當時，，在間的部分記為圖象，如圖所示：圖象的最低點為頂點，最高點為，，將點沿直線向上翻折，對應點，①當新的函數的圖象的最高點是點B時，最低點是，如圖所示：這個函數的最大值為，最小值為，，，，②當新的函數的圖象的最高點是點時，最低點是，如圖所示：這個函數的最大值為，最小值為，，，，綜上所述，當時，．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，掌握二次函數解析式的求法，利