第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《矩形與折疊問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，矩形中，，，點為線段上一動點，過點作，交于點，將沿折疊得．(1)若點落在邊上，__________；(2)若點到的距離為2，求的面積；(3)如圖2，若點為的中點，連接、，當為直角三角形時，請直接寫出的長．2．如圖，四邊形是矩形，分別是線段，上的點，點是與的交點．若將沿直線折疊，則點與點重合．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的值．3．將矩形紙片放在平面直角坐標系中，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，，．(1)如圖①，沿折疊矩形，點落在處，交于點，求點F的坐標；(2)如圖②，點D是中點，點E在上，求的最小值；(3)如圖③，折疊該紙片，使點C落在邊上的點為，折痕為，點M在邊上，求直線的函數解析式．4．如圖，在矩形中，，，點E為邊上一定點，且，點F、P分別是、邊上的一點，且，將沿直線翻折得到，點E的對應點為，線段與相交于點Q，設，．(1)當點與點A重合時，求的長；(2)求的值；(3)求y與x的函數關系式．5．在矩形中，，P是邊上一點，把沿直線折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作，垂足為E且在上，交于點F．(1)如圖1，若點E是的中點，求證：；(2)如圖2，當，且時，求的值；(3)如圖3，當時，求的值．6．把一張矩形紙片按如圖方式折疊，使頂點B和D重合，折痕為．(1)連接，求證：四邊形是菱形．(2)若，，求線段和的長．7．如圖，把長方形紙片沿折疊后，點D與點B重合，點C落在點的位置．(1)若，求的度數；(2)若，求四邊形的面積．8．如圖1，已知四邊形是矩形，，，是，邊上的點，以直線為對稱軸將矩形進行折疊，點，的對稱點分別是，，點落在邊上，交于點．(1)如圖2，當點與點重合時，連接，求證：四邊形是菱形：(2)當時，若，，求的長．9．在矩形中，，，在上取一點E，將沿直線折疊，得到．(1)如圖1，若點F剛好落在上時，求的長；(2)如圖2，若點E從C到D的運動過程中，的角平分線交的延長線于點M，求M到的距離．10．如圖，把一張長方形紙片折疊起來，為折痕，使其對角頂點A與C重合，點D與點E重合．若長方形的長為8，寬為4．(1)求線段的長：(2)請直接寫出的面積______．11．人教版數學八年級下冊教材的數學活動——折紙．如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如圖1，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點落在上的點處，折痕為．(1)如圖1，連接，直接寫出；(2)在圖1基礎上再次動手操作（如圖2），將延長交于點，將沿折疊，點剛好落在邊上點處，連接，把紙片再次展平．請判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)將圖1中的矩形紙片換成正方形紙片，按圖1步驟折疊，并延長交于點，連接得到圖3，，求的長．12．如圖，將一張矩形紙片沿著對角線向上折疊，頂點落到點處，交于點．(1)求證：；(2)如圖，過點作，交于點，連結交于點．①求證：四邊形是菱形；②若，，求的長．13．在長方形紙片中，，P是邊上一點，．將紙片沿折疊后，點B的對應點記為點O，的延長線恰好經過該長方形的頂點D．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求長．14．在矩形中，，點分別是邊和邊上的動點，，，連接，(1)如圖1，當的面積為3時，求的值；(2)在（1）的條件下，求的面積；(3)當時，求的度數；(4)如圖2，將沿直線翻折，當點的對稱點恰好落在邊上時，求的值.15．如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點，動點P從A出發，以每秒1個單位的速度沿射線方向移動，作關于直線的對稱，設點P的運動時間為t()．(1)如圖1．若，求的長；(2)如圖2．當，且點落在上時，求此時的坐標；(3)若直線與直線相交于點M，且時，①求點C的坐標；②當時，的大小是否發生變化，請說明理由．參考答案1．(1)3(2)的面積為3或9；(3)的長為或．【分析】（1）延長交于點，設，則，，，證明，求得，，根據，列式計算即可求解；（2）分兩種情況討論，當點在矩形內時，當點在矩形外時，利用相似三角形的判定和性質列式計算求解即可；（3）分兩種情況討論，當時，當時，同理，利用相似三角形的判定和性質列式計算求解即可．【詳解】（1）解：延長交于點，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，設，∵，∴，∴，∵，∴，由折疊的性質得，，，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，解得，∴；故答案為：3；（2）解：當點在矩形內時，如圖，延長交于點，過點作于點，交于點，則四邊形是矩形，同（1），，，，，，，同理，∴，即，∴，，即，，∵，∴，解得，∴，∴；當點在矩形外時，如圖，延長交于點，過點作交的延長線于點，交的延長線于點，則四邊形是矩形，同（1），，，，，，，同理，∴，即，∴，，即，，∵，∴，解得，∴，∴；綜上，的面積為3或9；（3）解：如圖，當時，延長交于點，∵，，∴，∴，∴，同理，，，，∴，在中，由勾股定理得，即，解得（舍去）或，則的長為；如圖，當時，延長交于點，過點作于點，記與交于點，由折疊的性質得，∵，∴，∴，∴，設，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，∴，同（1），，，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得，則的長為；綜上，的長為或．【點睛】本題考查了矩形與折疊的性質，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．2．(1)證明見解析(2)【分析】（）證明即可求證；（）由菱形的性質得，由矩形的性質得，設，則，在中，由勾股定理得，可得，最后根據即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴由折疊可知，，，，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：由（）知，四邊形是菱形，∴，∵四邊形是矩形，∴，設，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的判定和性質，折疊的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性質、菱形的判定和性質是解題的關鍵．3．(1)(2)15(3)【分析】（1）先根據平行線和折疊的性質得：，設，根據勾股定理得解出可解答；（2）作點關于的對稱點，連接，交于，此時的值最小，即的長，根據勾股定理可解答；（3）過作軸于，設，根據勾股定理列方程得求得點，然后利用待定系數法求得的解析式．【詳解】（1）解：由折疊得：，四邊形是矩形，，，，，，設，則，，在中，，由勾股定理得：，，，；（2）解：如圖②，作點關于的對稱點，連接，交于，此時的值最小，即，過作軸于，，是的中點，，，在中，由勾股定理得：，即的最小值是15；（3）解：如圖③，過作軸于，，，設，則，，在中，由勾股定理得：，，，．設的解析式為，將，代入得：，解得：，的解析式為．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了折疊的性質、矩形的性質及最短路徑的知識，綜合性較強，難度適中，注意掌握折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，本題輔助線的作法是關鍵．4．(1)(2)(3)【分析】（1）根據題意，可知，，在中，，由此列出方程即可求解；（2）過點作，交于，則四邊形是矩形，，由題意可知，進而可知，證得，得，再根據即可求解；（3）過點作，與直線交于點，過點作于點，由（2）可知，則，，同（2）可證，得，由翻折可得：，得，則，進而可知，則，即，求得，，再證，得，列出等式即可求解．【詳解】（1）解：∵點與點A重合∴，∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，在中，，即，解得：，即；（2）過點作，交于，則四邊形是矩形，∴，由題意可知，∴，則，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）過點作，與直線交于點，過點作于點，由（2）可知，則，，同（2）可證，∴，由翻折可得：，∴，則，∴，則，即，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查折疊問題，勾股定理，相似三角形的判定及性質，矩形的性質，解直角三角形，添加輔助線構造直角三角形和相似三角形是解決問題的關鍵．5．(1)見解析；(2)(3)【分析】（1）根據矩形的性質和全等三角形的判定即可證得結論；（2）利用折疊性質得出，，進而得出，得出，證明，則，設，可求出，，再證明，進而可求得PB，即可得出結論；（3）證明，得出，即可解答．【詳解】（1）解：證明：在矩形中，，，∵是的中點，∴，在和中，，∴．（2）在矩形，，∵沿折疊得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴，，由折疊得，，∴，∵，∴∴設，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，連接，∵，∴，∴，∵，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查全等三角形的判定與性質、矩形的性質、相似三角形的判定與性質、折疊的性質等知識，熟練掌握相關知識的靈活運用，會利用方程思想解決問題是解答的關鍵．6．(1)證明過程見解析；(2)，【分析】本題考查了矩形的性質、菱形的判定與性質、勾股定理以及折疊的性質，注意掌握折疊前后圖形的對應關系．（1）根據是矩形，可得，由，可得，進而可知四邊形是平行四邊形，再根據折疊的性質得，繼而可證得四邊形是菱形；（2）首先設，則，在中，利用勾股定理可求得的長，過點作，先求得的長，再在中，利用勾股定理，即可求得的長．【詳解】（1）證明：如圖，由折疊可知，垂直并平分，設與交于點，則：，，，∵四邊形是矩形，∴∴在和中：∴∴∴四邊形是平行四邊形又∵，∴四邊形是菱形．（2）設，則，則在中，由勾股定理得：解得：，∴，如圖，過點作于，∴四邊形是矩形，∴，∴在中，由勾股定理得：7．(1)(2)16【分析】本題考查的是矩形的性質，勾股定理，翻轉變換的性質，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．（1）根據平行線的性質求出，根據折疊的性質得到，根據平角的概念計算；（2）由折疊的性質得出，設，則，由勾股定理得出，解得，由梯形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是長方形，∴，∴由折疊的性質可知，∴；（2）解：∵長方形紙片沿折疊，∴，設，則，∵，∴，解得，∴，由（1）知，∴，∴．8．(1)見解析(2)【分析】（1）根據折疊得出，，，根據矩形性質得出，根據平行線的性質得出，從而得出，證明，得出，即可證明結論；（2）如圖，過作于，則四邊形為矩形，可得，，證明四邊形為正方形，而，，可得，，由對折可得：，由，可得，可得，，同理可得：，再進一步可得答案.【詳解】（1）證明：∵以直線為對稱軸將矩形進行折疊，點與點重合，，，，四邊形是矩形，點與點分別是線段，上的點，∴，，，，，四邊形是菱形．（2）解：如圖，過作于，則四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴四邊形為正方形，而，，∴，，，，∴，∴，由對折可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理可得：，∴，∴，∴，，而，∴.【點睛】本題考查的是矩形的性質，菱形的判定與性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的靈活運用，本題難度很大，選擇合適的方法解題是關鍵．9．(1)；(2)M到的距離為8．【分析】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理與折疊問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．（1）先由矩形的性質和折疊的性質得到，再利用勾股定理求出，則，設，則，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；（2）過點作于，交的延長線于，交的延長線于．證明，推出，可得結論．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，將沿直線折疊，點F剛好落在上，∴，，，，，設，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，；（2）解：如圖，過點作于，交的延長線于，交的延長線于．四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是矩形，，平分，，，，，，，，，到的距離為8．10．(1)(2)【分析】本題主要考查矩形與折疊性質、勾股定理．（1）由折疊可知，設，則，在中，根據勾股定理求出的長，再過點作于，在中，由勾股定理求出的長；（2）過點作于，根據，求出的長，根據三角形面積求出結果即可．【詳解】（1）解：過點作于，∵長方形紙片，∴，，，，由折疊可得，，，，，設，則，在中，∴，解得，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，；（2）解：過點作于，∵，∴，∴，故答案為：．11．(1)(2)菱形，見解析(3)【分析】本題考查了折疊的性質、等腰三角形的性質、矩形的性質、正方形的性質、菱形的判定與性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．理解折疊的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，垂直平分，，又再一次折疊紙片，使點落在上的點處，折痕為，，是等邊三角形，，．（2）解：由（1）得，四邊形是矩形，，，是等邊三角形，，由折疊得，，，四邊形是菱形．（3）解：四邊形是正方形，，，由折疊得，，，，，，，∵，，∴，在中，，∴，∴．【點睛】（1）依據折疊的性質可得到是等邊三角形，進而得到的度數，再根據折疊的性質即可求出的度數；（2）根據是等腰三角形，利用三線合一即可得到，再判定四邊形是平行四邊形即可；（3）利用直角三角形中“斜邊、直角邊”相等證明，得到，再根據所對的直角邊等于斜邊的一半得出，最后根據勾股定理即可求出．12．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】(1)根據兩直線平行內錯角相等及折疊特性判斷；(2)①根據矩形性質及第一問證得鄰邊相等進行證明；②根據折疊特性設未知邊，根據勾股定理列方程求解．【詳解】（1）證明：如圖，根據折疊，，又，，，；（2）①證明：四邊形是矩形，，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；解：，，．．設，．在直角中，，即，解得，即，，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了結合矩形的性質、等角對等邊及平行線的性質、菱形的判定和性質、勾股定理，翻折變換等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．13．(1)為等腰三角形．理由見解析(2)【分析】（1）由折疊的性質可得，由矩形的性質得到，進而得到，進一步證得，即可求證，（2）由折疊的性質得到，，，設，運用勾股定理列方程解答即可，本題考查了折疊問題、矩形的性質以及勾股定理等知識，靈活運用折疊和矩形的性質是解答本題的關鍵．【詳解】（1）解：為等腰三角形．理由：由翻折可得，∵四邊形是長方形，∴，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，（2）解：由翻折可知，，，設，∵，∴，在中有，∴，解得：，∴的長為．14．(1)(2)8(3)(4)【分析】（1）根據三角形的面積公式代入即可求得答案；（2）由（1）可得：，再根據，分別代入即可得到答案；（3）當時，分別求出，，的長，再分別利用勾股定理分別求出，，的長，再由勾股定理的逆定理即可得到答案；（4）過點作，易證得，從而可求得，在中，由勾股定理可得：，