第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《二次函數的圖象與性質》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．已知拋物線經過點．(1)求此拋物線的解析式；(2)判斷點是否在此拋物線上；(3)若此拋物線經過點和則與的大小關系是______；2．已知拋物線的對稱軸為直線，且過點．(1)求該拋物線的解析式；(2)該拋物線是由拋物線經過怎樣的平移得到的？(3)當在什么范圍內時，隨的增大而減小？3．如圖，直線與拋線交于兩點（點在點的左側）．(1)求兩點的坐標；(2)記拋物線的頂點為，求的面積．4．商貿公司購進某種水果的成本為元，經過市場調研發現，這種水果在未來天的銷售單價（元）與時間（天）之間的函數關系式為，為整數，且其日銷售量與時間（天）的關系如表：時間（天）1361020日銷售量11811410810080(1)已知與之間的變化規律符合一次函數關系，試求在第天的日銷售量是多少？(2)問未來天中哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？5．當自變量時，二次函數有最小值，且它的圖象與x軸的一個交點的橫坐標為1．求：(1)這個二次函數的表達式；(2)這個函數的圖象與x軸另一個交點的橫坐標．6．已知二次函數的圖象經過和兩點，如圖所示．(1)求這個二次函數的解析式和它的圖象的頂點坐標；(2)求該二次函數在范圍內的最大值與最小值；(3)請直接寫出不等式的解集．7．如圖，二次函數的圖象經過點，頂點坐標為．(1)求這個二次函數的表達式；(2)當時，的取值范圍為______．8．如圖，已知拋物線經過點，．(1)求拋物線的函數表達式；(2)求拋物線的頂點坐標和對稱軸；(3)求當時，直接寫出函數值的取值范圍．9．已知拋物線與x軸交于點，且過點．(1)求指物線的解析式和頂點坐標；(2)請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線上，并寫出平移后相應的拋物線解析式．10．如圖，將二次函數位于軸下方的圖象沿軸翻折，再得到一個新函數的圖象（圖中的實線）．

(1)當時，新函數值為______，當時，新函數值為______；(2)當______時，新函數有最小值；(3)當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是______；(4)若關于的方程有且只有兩個解，則的取值范圍_______．11．設二次函數（，是實數），已知函數值和自變量的部分對應取值如表所示：024522(1)若，求二次函數的表達式．(2)在（1）的條件下，寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而增大．(3)若在，，這三個實數中，只有一個是負數，求的取值范圍．12．如圖，已知點在拋物線上，過點A且平行于x軸的直線交拋物線于點B．(1)求a的值和點B的坐標；(2)若點P是拋物線上一點，當以點A，B，P為頂點構成的的面積為2時，求點P的坐標．13．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，按如圖所示建立平面直角坐標系，拋物線向上平移2個單位長度得到拋物線，點在拋物線上，平移后點的對應點在拋物線上．(1)拋物線的頂點坐標為______；(2)點的坐標為：______；(3)圖中陰影部分圖形的面積為______．14．如圖，二次函數的圖象與軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與軸交于點C，且．(1)求二次函數的解析式．(2)平移該二次函數的圖象，使平移后的二次函數圖象的頂點坐標為，若當時函數的最大值為7，求的值．15．拋物線與交于點A，分別交y軸于點P，Q，過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．已知，．(1)求a的值．(2)若點及都在拋物線上，判斷m，n，p的大小關系，并說明理由．(3)求的值．參考答案1．(1)(2)點不在此拋物線上(3)【分析】本題主要考查二次函數，牢記二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．（1）拋物線經過點，可得，據此即可求得答案．（2）將代入拋物線，即可求得答案．（3）將代入拋物線，可得，同理可求得，再比較大小即可求解．【詳解】（1）解：拋物線經過點，可得．解得．∴此拋物線的解析式為．（2）解：將代入拋物線，得．∴點不在此拋物線上．（3）解：將代入拋物線，得．同理可求得．則．故答案為：．2．(1)拋物線解析式為；(2)拋物線是由拋物線向左平移2個單位；(3)當時，y隨x的增大而減小．【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（1）根據對稱軸，可得的值，根據拋物線過點，可得a值；（2）根據頂點式，即可說明需要移動的單位和方向；（3）根據函數圖象及函數的增減性回答即可；【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，即拋物線解析式為，∵過點，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：由（1）得：拋物線解析式為，∴拋物線是由拋物線向左平移2個單位長度得到的；（3）解：由（1）得：拋物線解析式為，∵，∴拋物線開口向下，∴當時，y隨x的增大而減小．3．(1)，(2)【分析】本題主要考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系，掌握坐標系內求三角形面積的方法．（1）令，求出點B，C的橫坐標，再將橫坐標代入直線解析式求解；（2）作軸交于點D，由求解．【詳解】（1）解：令，解得：，，將分別代入得，，∴點B坐標為，點C坐標為．（2）解：作軸交于點D，如圖所示：∵，∴拋物線頂點A坐標為，將代入得，∴點D坐標為，，∴．4．(1)(2)第天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為元【分析】（1）設，把，和，代入，可得二元一次方程組，解方程組即可求出與的值，進而可得一次函數解析式，將代入，即可求出在第天的日銷售量；（2）根據“日利潤每公斤利潤日銷售量”分別表示出前天和后天的日利潤，然后求二次函數的最大值，進行比較后即可得出結論．【詳解】（1）解：與之間的變化規律符合一次函數關系，設，把，和，代入，得：，解得：，，當時，，答：在第天的日銷售量是；（2）解：設利潤為元，當時，，當時，取得最大值，元；當時，，當時，取得最大值，元；，綜上，當時，元，答：第天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為元．【點睛】本題主要考查了一次函數的實際應用（其他問題），實際問題與二次函數（銷售問題），求一次函數解析式，解二元一次方程組，求一次函數的函數值，計算多項式乘多項式，把化成頂點式，的圖象與性質，二次函數的最值，有理數大小比較的實際應用等知識點，根據題中的數量關系正確列式是解題的關鍵．5．(1)(2)7【分析】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，拋物線與x軸的交點，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵；（1）由自變量時，二次函數有最小值，可得頂點坐標，設二次函數頂點式解析式，再將代入，求出a的值，進而得到這個二次函數的表達式；（2）由拋物線的對稱軸為，與x軸的一個交點的坐標為，根據二次函數的對稱性即可求出這個函數的圖象與x軸另一個交點的橫坐標．【詳解】（1）解：∵當自變量時，二次函數有最小值，∴函數圖象的頂點坐標為，∴可設二次函數的表達式為，∴圖象與x軸交于點，將代入，得，解得，∴這個二次函數的表達式為．（2）∵，∴函數圖象的對稱軸為直線．又∵拋物線與x軸的一個交點的橫坐標為1，∴拋物線與x軸另一個交點的橫坐標為．6．(1)，(2)最大值為10，最小值為(3)或【分析】本題考查用待定系數法求拋物線解析式，拋物線的性質，利用拋物線圖象求不等式解集．熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（1）用待定系數法求解即可；（2）求出當時，當時，求出y值，再將拋物線解析式化成頂點式，即可得出拋物線的最小值，由拋物線的性質可求解．（3）利用圖象法，根據拋物線與x軸交點坐標為和，拋物線開口向上，數形結合即可求不等式的解．【詳解】（1）解：把和代入，得，解得：，∴這個二次函數的解析式為，∵，∴這個二次函數圖象的頂點坐標為．（2）解：∵，當時，，當時，，∴，拋物線對軸為直線，∴拋物線開口向上，拋物線對軸為直線，當時，有最小值，當時，y隨x增大而減小，當時，y隨x增大而增大，∴當時，最大值為10，最小值為．（3）解：由圖可知，拋物線與x軸交點坐標為和，拋物線開口向上，∴不等式的解集或．7．(1)(2)【分析】（1）依據題意，先由頂點坐標設二次函數的頂點式，然后代入點求得函數的解析式；（2）由得出二次函數的圖象開口向下，有最高點，對稱軸是直線，再求得和的函數值，然后結合函數的增減性得到的取值范圍．本題主要考查了二次函數的解析式、函數的增減性，解題的關鍵會用頂點式求得二次函數的解析式．【詳解】（1）解：二次函數的圖像經過點，頂點坐標為，∴設二次函數的表達式為，將代入，得，解得：，．（2）解：，二次函數的表達式為，二次函數的圖象開口向下，有最高點，對稱軸是直線，當時，，當時，，的取值范圍為：，故答案為：；8．(1)(2)頂點坐標為，對稱軸為直線(3)當時，的取值范圍【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象的性質及二次函數與不等式，關鍵是利用二次函數的性質解題．（1）設拋物線解析式為，把點，代入計算即可求解；（2）將拋物線解析式化為頂點式，即可作答；（2）結合二次函數的性質，以及，即可作答．【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，∵拋物線經過點，，∴把點，代入，得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線；（3）解：由（2）知，圖象開口向上，∴對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；∴當時，，當時，則當時，則∴當時，的取值范圍．9．(1)，(2)①向下平移5個單位，，②向左平移個單位，【分析】此題考查了待定系數法求函數解析式、二次函數的圖象和性質、二次函數的平移等知識．（1）利用待定系數法求出函數解析式，化為頂點式即可求出頂點坐標；（2）根據二次函數平移的規律進行解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點，可設拋物線解析式為，把代入得：，解得：，故拋物線解析式為，即，∵，∴頂點坐標；（2）平移方法有：①向下平移5個單位，得到：，理由：把代入得出，∵頂點坐標；∴向下平移5個單位，拋物線的頂點為，即向下平移5個單位，得到：，平移后拋物線的頂點落在直線上；②向左平移個單位，得到：，理由：把代入得出，∴向左平移個單位，拋物線的頂點為，即向左平移個單位，得到：，平移后拋物線的頂點落在直線上．10．(1)5，3(2)或2(3)或(4)或【分析】（1）把和分別代入求得函數值，根據函數圖象即可求得答案；（2）根據函數圖象即可求得；（3）根據函數圖象即可求得；（4）根據圖象求得答案即可．【詳解】（1）解：把代入，得，把代入，得，當時，新函數值為，當時，新函數值為，故答案為：，；（2）解：觀察圖象可得：當或時，新函數有最小值為，故答案為：或；（3）解：觀察圖象可得：當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是或；故答案為：或；（4）解：將二次函數位于軸下方的圖象沿軸翻折，得到新函數的解析式為：，關于的方程有且只有兩個解，即為直線與新函數圖象有且只有兩個公共點，觀察圖象可得：的取值范圍或，故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，數形結合是解題的關鍵．11．(1)(2)（答案不唯一）(3)【分析】本題考查了待定系數法求二次函數表達式，二次函數的圖像與性質，熟練掌握以上知識點并進行數形結合是解題的關鍵．（1）利用待定系數法將點，代入解得，即可；（2）把（1）中表達式配方得，可知拋物線開口向上，對稱軸為直線，即可得到答案；（3）觀察表格可知，該拋物線的對稱軸為，是頂點，和關于對稱軸對稱，，在，，這三個實數中，只有一個是負數，那么只能是負數，并且拋物線的開口向上，由拋物線，得到，那么拋物線的表達式為，代入和，可得，，從而解得的范圍．【詳解】（1）解：由題意，把分別代入，得，解得：，二次函數的表達式是，（2）解：，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大（答案不唯一），（3）解：和時的函數值都是2，拋物線的對稱軸為直線，是頂點，和關于對稱軸對稱，，在，，這三個實數中，只有一個是負數，∴，則拋物線必須開口向上，，，，二次函數為，，，．12．(1)，(2)或或或【分析】本題主要考查了二次函數綜合，求二次函數解析式，二次函數的對稱性等等：（1）先把點A坐標代入解析式中求出a的值，即求出拋物線解析式，再根據對稱性即可求出點B的坐標；（2）先求出，再根據題意可得，據此求出點P的縱坐標即可得到答案．【詳解】（1）解：把代入中得：，∴，∴拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為y軸，∵軸，且點B在拋物線上，∴點A和點B關于拋物線對稱軸對稱，即關于y軸對稱，∴（2）解：∵，，∴，∵的面積為2，軸，∴，∴，∴或，在中，當時，，當時，，∴點P的坐標為或或或．13．(1)(2)(3)6【分析】此題考查了二次函數的平移、二次函數的圖象和性質，（1）根據平移規律得到函數解析式，再化為頂點式，求出頂點坐標即可；（2）根據平移規律寫出坐標即可；（3）根據平移和二次函數的圖象可知圖中陰影部分圖形是一個邊長為2的正方形和一個底為2高為1的平行四邊形，據此