北京市海淀區2025屆高二數學第二學期期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數z滿足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i2．設數列的前項和為，若，，成等差數列，則的值是（）A． B． C． D．3．某一批花生種子，如果每1粒發芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率是（）A． B． C． D．4．某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：——結伴步行，——自行乘車，——家人接送，——其他方式，并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統計圖.根據圖中信息，求得本次抽查的學生中類人數是（）A．30 B．40 C．42 D．485．在△ABC中，，，，則角B的大小為（）A． B． C． D．或6．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個數是()A．2 B．3 C．4 D．57．若動點與兩定點，的連線的斜率之積為常數，則點的軌跡一定不可能是（）A．除兩點外的圓 B．除兩點外的橢圓C．除兩點外的雙曲線 D．除兩點外的拋物線8．給出以下四個說法：①殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄相關指數越小②在刻畫回歸模型的擬合效果時，相關指數的值越大，說明擬合的效果越好；③在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加個單位；④對分類變量與，若它們的隨機變量的觀測值越小，則判斷“與有關系”的把握程度越大．其中正確的說法是A．①④ B．②④ C．①③ D．②③9．已知函數的圖象在點處的切線為，若也與函數，的圖象相切，則必滿足（）A． B．C． D．10．從5個中國人、4個美國人、3個日本人中各選一人的選法有（）A．12種 B．24種 C．48種 D．60種11．橢圓C：x24+y23=1的左右頂點分別為AA．[12,34]12．已知向量，，若，則（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量，，若，則___________．14．設，則等于___________．15．若，則____16．已知為自然對數的底數，曲線在點處的切線與直線平行，則實數______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩位同學學生參加數學競賽培訓，在培訓期間他們參加5項預賽，成績如下：甲：7876749082乙：9070758580（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數據；（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學競賽，從平均數、方差的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？說明理由.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），過原點的兩條直線分別與曲線交于異于原點的、兩點，且,其中的傾斜角為.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求和的極坐標方程；（2）求的最大值.19．（12分）某商家對他所經銷的一種商品的日銷售量（單位：噸）進行統計，最近50天的統計結果如下表：日銷售量11.52天數102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立．（1）求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；（2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品某兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列和數學期望．20．（12分）已知曲線的極坐標方程為（1）若以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線的直角坐標方程；（2）若是曲線上一個動點，求的最大值，以及取得最大值時點的坐標.21．（12分）高鐵、網購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發明”，彰顯出中國式創新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調查，得到如下數據：每周移動支付次數1次2次3次4次5次6次及以上總計男1087321545女546463055總計1512137845100（1）把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，能否在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關？（2）把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”，視頻率為概率，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶.①求抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率；②為了鼓勵男性用戶使用移動支付，對抽出的男“移動支付達人”每人獎勵300元，記獎勵總金額為X，求X的分布列及均值.附公式及表如下：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）[選修4-5:不等式選講]已知函數=|x-a|+(a≠0)(1)若不等式-≤1恒成立,求實數m的最大值;(2)當a<時,函數g(x)=+|2x-1|有零點,求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】z=2i1-i=2i(1+i)本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．2、B【解析】

因為成等差數列，所以，當時，；當時，，即，即，數列是首項，公比的等比數列，，故選B.3、B【解析】

解：根據題意，播下4粒種子恰有2粒發芽即4次獨立重復事件恰好發生2次，由n次獨立重復事件恰好發生k次的概率的公式可得，故選B．4、A【解析】

根據所給的圖形，計算出總人數，即可得到A的人數．【詳解】解：根據選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總人數為120人，故選擇A方式的人數為120﹣42﹣30﹣18＝30人．故選A．本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力．5、A【解析】

首先根據三角形內角和為，即可算出角的正弦、余弦值，再根據正弦定理即可算出角B【詳解】在△ABC中有,所以,所以,又因為,所以，所以,因為，，所以由正弦定理得，因為,所以。所以選擇A本題主要考查了解三角形的問題，在解決此類問題時常用到：1、三角形的內角和為。2、正弦定理。3、余弦定理等。屬于中等題。6、C【解析】把三視圖還原為原幾何體為一個四棱錐，底面是邊長為3的正方形，側棱底面ABCD，四個側面均為直角三角形，則此幾何體各面中直角三角形的個數是4個，選C.7、D【解析】

根據題意可分別表示出動點與兩定點的連線的斜率,根據其之積為常數，求得和的關系式，對的范圍進行分類討論，分別討論且和時，可推斷出點的軌跡.【詳解】因為動點與兩定點，的連線的斜率之積為常數，所以，整理得，當時，方程的軌跡為雙曲線；當時，且方程的軌跡為橢圓；當時，點的軌跡為圓，拋物線的標準方程中，或的指數必有一個是1,故點的軌跡一定不可能是拋物線，故選D.本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設出動點的坐標，根據題意列出關于的等式即可；②定義法，根據題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法①求動點的軌跡方程的.8、D【解析】

根據殘差點分布和相關指數的關系判斷①是否正確，根據相關指數判斷②是否正確，根據回歸直線的知識判斷③是否正確，根據聯表獨立性檢驗的知識判斷④是否正確.【詳解】殘差點分布寬度越窄，相關指數越大，故①錯誤.相關指數越大，擬合效果越好，故②正確.回歸直線方程斜率為故解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加個單位，即③正確.越大，有把握程度越大，故④錯誤.故正確的是②③，故選D.本小題主要考查殘差分析、相關指數、回歸直線方程和獨立性檢驗等知識，屬于基礎題.9、D【解析】

函數的導數為，圖像在點處的切線的斜率為，切線方程為，即，設切線與相切的切點為，，由的導數為，切線方程為，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上單調遞增，且，，所以有的根，故選D.10、D【解析】

直接根據乘法原理得到答案.【詳解】根據乘法原理，一共有種選法.故選：.本題考查了乘法原理，屬于簡單題.11、B【解析】設P點坐標為(x0,y0)，則于是kPA1∵kPA2【考點定位】直線與橢圓的位置關系12、C【解析】

根據題意得到的坐標，由可得的值.【詳解】由題，，，或，故選C本題考查利用坐標法求向量差及根據向量垂直的數量積關系求參數二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由求出，然后即可算出【詳解】因為，所以解得，所以所以故答案為：本題考查的是二項分布的相關知識，較簡單.14、【解析】

根據微積分基本定理可得，再結合函數解析式，根據牛頓萊布尼茨定理計算可得；【詳解】解：因為所以故答案為：本題考查利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎題.15、4【解析】

去括號化簡，令虛部為0，可得答案.【詳解】，故答案為4.本題主要考查了復數的乘法運算以及復數為實數的等價條件.16、【解析】

由，求導，再根據點處的切線與直線平行，有求解.【詳解】因為，所以，因為點處的切線與直線平行，所以，解得.故答案為：本題主要考查導數的幾何意義，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)莖葉圖見解析；(II)甲.【解析】試題分析：(I)由圖表給出的數據畫出莖葉圖；(II)根據公式求出兩組數據的平均數及方差,結合計算結果,甲乙平均數相同,因此選方差較小的參加比賽.試題解析：解：（Ⅰ）用莖葉圖表示如下：……3分（Ⅱ），，……7分而，……11分因為，，所以在平均數一樣的條件下，甲的水平更為穩定，所以我認為應該派甲去.…………12分考點：1.莖葉圖；2.平均數與方差.【方法點晴】本題考查的是莖葉圖和平均數與方差的計算,屬基礎題目.根據計算結果選出合適的人參加數學競賽,其中平均數反映的是一組數據的平均水平,平均數越大,則該名學生的平均成績越高;方差式用來描述一組數據的波動大小的指標,方差越小,說明數據波動越小,即該名學生的成績越穩定;要求學生結合算出的數據靈活掌握.18、（1），；（2）4【解析】

（1）將曲線的參數方程化為普通方程，然后由代入化簡后得出曲線的極坐標方程，由直線過原點且傾斜角為可直接得出直線的極坐標方程；（2）由題干條件得出直線、的極坐標方程分別為、，然后將這兩條直線的參數方程分別代入曲線的極坐標方程可得出和，利用誘導公式以及輔助角公式化簡得出關于的三角函數表達式，并利用三角函數的性質求出最大值．【詳解】（1）由消去參數得普通方程為，即，所以極坐標方程為，即.的極坐標方程為.（2）將代入得，將代入得因為，所以.當時，的最大值為．本題考查參數方程與普通方程之間的轉化，考查極坐標方程的應用，利用極坐標解決實際問題時，需注意極坐標適用于曲線上的點與原點線段長度相關的問題，解法步驟如下：（1）將曲線方程用極坐標方程表示出來，并將與原點相連的直線用極坐標方程表示；（2）將直線方程與曲線的極坐標方程聯立，求出線段長度關于極角的三函數；（3）利用三角恒等變換思想以及三角函數基本性質求解．19、（1）5.3155；（5）6.5.【解析】試題分析：第一問根據頻率公式求得a=0.5,b=0.3，第二問在做題的過程中，利用題的條件確定銷售量為1．5噸的頻率為0.5，可以判斷出銷售量為1．5噸的天數服從于二項分布，利用公式求得結果，第二小問首先確定出兩天的銷售量以及與之對應的概率，再根據銷售量與利潤的關系，求得的分布列和，利用離散型隨機變量的分布列以及期望公式求得結果．試題解析：（1）由題意知：a=5．5，b=5．3．①依題意，隨機選取一天，銷售量為1．5噸的概率p=5．5，設5天中該種商品有X天的銷售量為1．5噸，則X～B（5，5．5），．②兩天的銷售量可能為5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值為5，5，6，7，8，則：，，，，，的分布列為：ξ

5

5

6

7

8

P

5．55

5．5

5．37

5．3

5．59

．考點：獨立重復實驗，離散型隨機變量的分布列與期望．20、（1）.（2）最大值為6，.【解析】

(1)利用極坐標化直角坐標的公式求解即可;(2)設利用三角函數圖象和性質解答得解.【詳解】(1)把曲線的極坐標方程為,化為直角坐標方程為;(2)化出曲線的參數方程為(為參數).若是曲線上的一個動點,則,可得,其中,故當時,取得最大值為,此時,,,,.本題主要考查極坐標和直角坐標方程的互化,考查三角函數的恒等變換和最值,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,難度一般.21、（1）在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，能認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關.（2）①②答案見解析.【解析】

（1）由題意完成列聯表，結合列聯表計算可得，即可求得答案；（2）視頻率為概率，在我市“移動支付達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為男“移動支付達人”的概率為，女“移動支付達人”的概率為，結合已知，即可求得答案.【詳解】（1）由表格數據可得列聯表如下：非移動支付活躍用戶移動支付活躍用戶合計男252045女154055合計4060100將列聯表中的數據代入公式計算得：.所以在犯錯誤概率不超過的前提下，能認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關.（2）視頻率為概率，在我市“移動支付達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為男“移動支付達人”的概率為