安徽省淮北地區2025屆高二數學第二學期期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在點處的切線方程為（）A． B． C． D．2．已知函數在其定義域內既有極大值也有極小值，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設數列，()都是等差數列，若，則等于（）A．60 B．62 C．63 D．664．“”是“復數為純虛數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．圓柱形容器內盛有高度為6cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示.則球的半徑是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm6．已知隨機變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為（）ξ1234PmnA． B． C． D．7．定積分的值為()A． B． C． D．8．下列關于回歸分析的說法中，正確結論的個數為（）（1）回歸直線必過樣本點中；（2）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精度越高；（3）殘差平方和越小的模型，擬合效果越好；（4）用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．19．已知的分布列為-101設，則的值為（）A．4 B． C． D．110．若對于實數x，y有1-x?2,y+1?1A．5 B．6 C．7 D．811．已知，，則=（）A．2 B．-2 C． D．312．知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一棱長為的正方體框架，其內放置氣球，使其充氣且盡可能地膨脹(仍保持為球的形狀)，則氣球表面積的最大值為____________.14．已知地球的半徑約為6371千米，上海的位置約為東經、北緯，開羅的位置約為東經、北緯，兩個城市之間的距離為______．（結果精確到1千米）15．已知，2sin2α=cos2α+1，則cosα=__________16．要設計一個容積為的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲油罐，已知圓柱側面的單位面積造價是下底面積的單位面積造價的一半，而頂部半球面的單位面積造價又是圓柱側面的單位面積造價的一半，儲油罐的下部圓柱的底面半徑_______時，造價最低．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當地該品牌銷售網站了解到近五個月實際銷量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份編號t12345銷量（萬輛）0.50.611.41.7（1）經分析，可用線性回歸模型擬合當地該品牌新能源汽車實際銷量（萬輛）與月份編號之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程，并預測2018年5月份當地該品牌新能源汽車的銷量；（2）2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據新能源汽車的最大續航里程（新能源汽車的最大續航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：補貼金額預期值區間（萬元）206060302010將頻率視為概率，現用隨機抽樣方法從該地區擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數為，求的分布列及數學期望.參考公式及數據：①回歸方程，其中，，②.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設直線與曲線交于，兩點，點在點的下方.（Ⅰ）當時，求，兩點的直角坐標；（Ⅱ）當變化時，求線段中點的軌跡的極坐標方程.19．（12分）已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等于2.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）點在直線上運動，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．20．（12分）已知等差數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）在中，角的對邊分別為，滿足．(1)求角的大小(2)若，求的周長最大值．22．（10分）“中國人均讀書4.3本（包括網絡文學和教科書），比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國家.”這個論斷被各種媒體反復引用，出現這樣的統計結果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區為了提高小區內人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準備進一定量的書籍豐富小區圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現對小區內看書人員進行年齡調查，隨機抽取了一天40名讀書者進行調查，將他們的年齡分成6段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（1）估計在40名讀書者中年齡分布在的人數；（2）求40名讀書者年齡的平均數和中位數；（3）若從年齡在的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在的人數的分布列及數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：由題意，求得，得到，利用直線的點斜式方程，即可求解切線的方程；詳解：由題意，函數，則，所以，即切線的斜率為，又，所以切線過點，所以切線的方程為，即，故選D．點睛：本題主要考查了利用導數的幾何意義求解切線的方程問題，其中熟記導數的幾何意義的應用是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．2、D【解析】

根據函數在其定義域內既有極大值也有極小值，則.在有兩個不相等實根求解.【詳解】因為所以.因為函數在其定義域內既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個不相等實根.即，令，則.在遞增，在遞減.其圖象如下:∴，∴.故選：:D.本題主要考查了導數與函數的極值，還考查了數形結合的思想方法，屬于中檔題.3、A【解析】

設數列的公差為，則由題意可得，求得的值，得到數列的通項公式，即可求解得值，得到答案.【詳解】由題意，數列，都是等差數列，且，設數列的公差為，則有，即，解得，所以，，所以，故選A.本題主要考查了等差數列的定義，以及等差數列的通項公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.4、C【解析】分析：首先求得復數z為純虛數時x是值，然后確定充分性和必要性即可.詳解：復數為純虛數，則：，即：，據此可知，則“”是“復數為純虛數”的充要條件本題選擇C選項.點睛：本題主要考查充分必要條件的判斷，已知復數類型求參數的方法，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、C【解析】

設出球的半徑，根據題意得三個球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，結合體積公式求解即可．【詳解】設球半徑為，則由，可得，解得，故選C.本題主要考查了幾何體的體積公式的應用，考查學生空間想象能力以及計算能力，是基礎題．6、A【解析】

根據隨機變量和的關系得到，概率和為1，聯立方程組解得答案.【詳解】且，則即解得故答案選A本題考查了隨機變量的數學期望和概率，根據隨機變量和的關系得到是解題的關鍵.7、C【解析】

根據微積分基本定理，可知求解，即可.【詳解】故選：C本題考查微積分基本定理，屬于較易題.8、B【解析】

利用回歸分析的相關知識逐一判斷即可【詳解】回歸直線必過樣本點中，故（1）正確殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越窄，則回歸方程的預報精度越高，故（2）錯誤殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故（3）正確用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故（4）正確所以正確結論的個數為3故選：B本題考查的是回歸分析的相關知識，較簡單.9、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【詳解】，因為，所以.本題考查隨機變量的期望計算，對于兩個隨機變量，具有線性關系，直接利用公式能使運算更簡潔.10、C【解析】

將2x+3y+1【詳解】2當x=3,y=0或x=-1,y=2是等號成立.故答案選C本題考查了絕對值三角不等式，將2x+3y+111、C【解析】

首先根據題中所給的函數解析式，求得，之后根據，從而求得，得到結果.【詳解】根據題意，可知，所以，所以，故選C.該題考查的是有關分段函數根據函數值求參數的問題，在解題的過程中，首先求得，利用內層函數的函數值等于外層函數的自變量，代入函數解析式求得結果.12、A【解析】由題易知：，∴故選A點睛：利用指數函數對數函數及冪函數的性質比較實數或式子的大小，一方面要比較兩個實數或式子形式的異同，底數相同，考慮指數函數增減性，指數相同考慮冪函數的增減性，當都不相同時，考慮分析數或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。?、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

氣球表面積最大時，球與正方體的各棱相切．【詳解】由題意要使氣球的表面積最大，則球與正方體的各棱相切，∴球的直徑等于正方體的面對角線長，即為，半徑為，球的表面積為．故答案為：．本題考查球與正方體的切接問題，解題時要注意分辯：球是正方體的內切球（球與正方體各面相切），球是正方體的棱切球（球與正方體的所有棱相切），球是正方體的外接球（正方體的各頂點在球面上）．14、千米【解析】

設上海為點,開羅為點.求兩個城市之間的距離,即求兩城市在地球上的球面距離.由題意可知上海和開羅都在北緯的位置,即在同一緯度的圓上,計算出此圓的半徑,即可求.在三角形由余弦定理可求得,結合扇形弧長公式,即可求得兩個城市之間的距離.【詳解】設上海為點,開羅為點,地球半徑為根據緯度定義,設北緯所在圓的半徑為,可得:上海的位置約為東經,開羅的位置約為東經,故在北緯所在圓上的圓心角為:.在中得中,根據余弦定理可得:根據扇形弧長公式可得:劣弧故答案為:千米.本題由經度,緯度求球面上兩點距離,根據題意畫出空間圖形,理解經度和緯度的定義是解本題關鍵,考查空間想象能力,屬于基礎題.15、【解析】

化簡2sin2α=cos2α+1即可得出sinα與cosα之間的關系式，再計算即可【詳解】因為，2sin2α=cos2α+1所以，化簡得解得本題考查倍角的相關計算，屬于基礎題．16、.【解析】

根據造價關系，得到總造價，再利用導數求得的最大值.【詳解】設圓柱的高為，圓柱底面單位面積造價為，總造價為，因為儲油罐容積為，所以，整理得：，所以，令，則，當得：，當得，所以當時，取最大值，即取得最大值.本題考查導數解決實際問題，考查運算求解能力和建模能力，求解時要把相關的量設出，并利用函數與方程思想解決問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）約為2萬輛；（2）見解析【解析】

(1)利用最小二乘法求關于的線性回歸方程為，再令得到2018年5月份當地該品牌新能源汽車的銷量.(2)先分析得到～，再根據二項分布求的分布列及數學期望.【詳解】（1）易知，，，，則關于的線性回歸方程為，當時，，即2018年5月份當地該品牌新能源汽車的銷量約為2萬輛.（2）根據給定的頻數表可知，任意抽取1名擬購買新能源汽車的消費者，對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的概率為，由題意可知～，的所有可能取值為0,1,2,3的分布列為：，，0123所以（1）本題主要考查回歸方程的求法，考查二項分布，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)如果在一次試驗中某事件發生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發生次的概率是，（）．正好是二項式的展開式的第項.所以記作～，讀作服從二項分布，其中為參數.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據題意，可將直線與曲線C聯立求得，兩點的直角坐標；（II）（解法一）當變化時，，于是可知點的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設，可用相關點法表示出的坐標，代入，于是得到軌跡方程.【詳解】解：（Ⅰ）當時，直線，曲線的普通方程為：，由解得或，∵點在點的下方，所以，兩點的直角坐標為：，.（II）（解法一）當變化時，，所以點的軌跡是以為直徑的圓（點除外），因為曲線是圓心為的圓，則以為直徑的圓的圓心坐標，半徑為2.所以點軌跡的直角坐標方程為，所以點軌跡的極坐標方程為.（解法二）設，因為點是線段中點，是極點，所以點的坐標為，代入中，得，因為，不重合，所以，所以點軌跡的極坐標方程為.本題主要考查直線與圓的位置關系，軌跡方程.意在考查學生的轉化能力，計算能力，邏輯推理能力，難度中等.19、(1)(2)存在定點，使得恒成立【解析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，根據拋物線的定義可得的最小值即為點到直線的距離，故，從而可得結果；（Ⅱ）設，，，，利用導數得到切線斜率，可設出切線方程，根據點在切線上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達定理以及平面向量數量積公式，可得時，從而可得結論.試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，由拋物線定義知，所以，顯見的最小值即為點到直線的距離，故，所以拋物線的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當點在特殊位置時，顯見兩個切點關于軸對稱，故要使得，點必須在軸上．故設，，，，拋物線的方程為，求導得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，，可見時，恒成立，所以存在定點，使得恒成立．20、（1）；（2）.【解析】

（1）由等差中項解得，依題意解得