四川樂山市2024-2025學年數學高二第二學期期末監測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,62．已知成等差數列，成等比數列，則等于（）A． B． C． D．或3．某教師要把語文、數學、外語、歷史四個科目排到如下的課表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的課表已經確定如下表，則其余三天課表的不同排法種數有(

)A．96B．36C．24D．124．已知各項不為的等差數列，滿足，數列是等比數列，且，則（）A． B． C． D．5．已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．6．己知集合，，若，則實數的取值范圍_______.A． B． C． D．7．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．8．如果函數的圖象如下圖，那么導函數的圖象可能是（）A． B． C． D．9．函數的一個零點落在下列哪個區間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．甲、乙兩名游客來龍巖旅游，計劃分別從“古田會址”、“冠豸山”、“龍崆洞”、“永福櫻花園”四個旅游景點中任意選取3個景點參觀游覽，則兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的概率為（）A． B． C． D．11．設，，則與大小關系為()A． B．C． D．12．曲線的參數方程為，則曲線是（）A．線段 B．雙曲線的一支 C．圓弧 D．射線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩不共線的非零向量滿足,,則向量與夾角的最大值是__________.14．用反證法證明命題“如果，那么”時，假設的內容應為_____．15．已知點均在表面積為的球面上,其中平面,,則三棱錐的體積的最大值為__________．16．各棱長均相等的正三棱錐，其任意兩個相鄰的面所成的二面角的大小為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，．(Ⅰ)求的值，猜想數列的通項公式并用數學歸納法證明；(Ⅱ)令，求數列的前項和.18．（12分）已知函數當時，求函數在處的切線方程；當時，求函數的最大值。19．（12分）已知函數．當時，求在上的值域；若方程有三個不同的解，求b的取值范圍．20．（12分）（選修4-4：坐標系與參數方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．21．（12分）設，已知，為關于的二次方程兩個不同的虛根，（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，，求實數，的值.22．（10分）已知函數的導函數為，的圖象在點處的切線方程為，且.（1）求函數的解析式；（2）若對任意的：，存在零點，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級職稱抽取的人數為，中級職稱抽取的人數為，初級職稱抽取的人數為，其余人員抽取的人數為，所以各層中依次抽取的人數分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點：分層抽樣．【方法點睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據此在已知每層間的個體數量或數量比，樣本容量，總體數量中的兩個時，就可以求出第三個．2、B【解析】試題分析：因為成等差數列，所以因為成等比數列，所以，由得，，故選B.考點：1、等差數列的性質；2、等比數列的性質.3、C【解析】

先安排第一節的課表種，再安排第二節的課表有2種，第三節的課表也有2種，最后一節只有1種安排方案，所以可求.【詳解】先安排第一節的課表，除去語文均可以安排共有種；周二的第二節不和第一節相同，也不和周一的第二節相同，共有2種安排方案，第三節和第四節的順序是確定的；周三的第二節也有2種安排方案，剩余位置的安排方案只有1種，根據計數原理可得種，故選C.本題主要考查分步計數原理的應用，側重考查邏輯推理的核心素養.4、B【解析】根據等差數列的性質得：，變為：，解得（舍去），所以，因為數列是等比數列，所以，故選B.5、B【解析】

利用期望與方差性質求解即可．【詳解】；．故，．故選．考查期望與方差的性質，考查學生的計算能力．6、B【解析】

首先解出集合,若滿足，則當時，和恒成立，求的取值范圍.【詳解】，，即當時，恒成立，即，當時恒成立，即，而是增函數，當時，函數取得最小值，且當時，恒成立，，解得：綜上：.故選：B本題考查根據給定區間不等式恒成立求參數取值范圍的問題，意在考查轉化與化歸和計算求解能力，恒成立問題可以參變分離轉化為求函數的最值問題，如果函數是二次函數可以轉化為根的分布問題，列不等式組求解.7、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.8、A【解析】試題分析：的單調變化情況為先增后減、再增再減因此的符號變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.考點：1、函數的單調性與導數的關系；2、函數圖象的應用.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.9、B【解析】

根據函數的零點存在原理判斷區間端點處函數值的符號情況，從而可得答案.【詳解】由的圖像在上是連續不間斷的.且在上單調遞增，又，,根據函數的零點存在原理有：在在有唯一零點且在內.故選：B.本題考查函數的零點所在區間，利用函數的零點存在原理可解決，屬于基礎題.10、A【解析】

先求出兩人從四個旅游景點中任意選取3個景點的所有選法，再求出兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的選法，然后可求出對應概率.【詳解】甲、乙兩人從四個旅游景點中任意選取3個景點參觀游覽，總共有種選法，兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同，總共有,則兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的概率為.故選A.本題考查了概率的求法，考查了排列組合等知識，考查了計算能力，屬于中檔題.11、A【解析】,選A.12、A【解析】由代入消去參數t得又所以表示線段。故選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設向量夾角為，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到結果.【詳解】因為兩非零向量滿足,,設向量夾角為，由于非零向量以及構成一個三角形，設，則由余弦定理可得，解得，當且僅當時，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.該題考查的是有關向量夾角的大小問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有余弦定理，基本不等式，注意當什么情況下取得最值，再者就是需要明確角取最大值的時候其余弦值最小.14、或【解析】假設的內容應是否定結論，由否定后為.15、【解析】分析：先求出球的半徑，再求出三棱錐的體積的表達式，最后求函數的最大值.詳解：設球的半徑為R,所以設AB=x,則，由余弦定理得設底面△ABC的外接圓的半徑為r,則所以PA=.所以三棱錐的體積=.當且僅當x=時取等.故答案為點睛：（1）本題主要考查球的體積和幾何體的外接球問題，考查基本不等式，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和空間想象能力.(2)三元基本不等式：，當且僅當a=b=c>0時取等.(3)函數的思想是高中數學的重要思想，一般是先求出函數的表達式，再求函數的定義域，再求函數的最值.16、【解析】

取AB中點D，連結SD、CD，則SD⊥AB，CD⊥AB，從而∠SDC是二面角的平面角，由此能求出結果．【詳解】解：取AB中點D，連結SD、CD，∵三棱錐S﹣ABC是各棱長均相等的正三棱錐，∴SD⊥AB，CD⊥AB，∴∠SDC是二面角的平面角，設棱長SC＝2，則SD＝CD，∴cos∠SDC，∴∠SDC＝arccos．故各棱長均相等的正三棱錐任意兩個相鄰的面所成的二面角的大小為arccos．故答案為：arccos．本題考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據，利用遞推公式，可以求出的值，可以猜想出數列的通項公式，然后按照數學歸納法的步驟證明即可；(Ⅱ)利用錯位相減法，可以求出數列的前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時，當時，當時，猜想，下面用數學歸納法證明當時，，猜想成立，假設當()時，猜想成立，即則當時，，猜想成立綜上所述，對于任意，均成立(Ⅱ)由（Ⅰ）得①②由①－②得：本題考查了用數學歸納法求數列的通項公式，考查了用借位相減法求數列的前項和，考查了數學運算能力.18、（1）（2）答案不唯一，具體見解析【解析】

（1）當時，，利用導數的幾何意義求曲線的切線方程；（2）求函數的導數，討論，，三種情況函數的單調性，得到函數的最大值.【詳解】解：當時，，，所以切線方程為，即當時，當，，單調遞增，此時，當時，當，，單調遞減，當，，單調遞增，此時,又，所以當時，當時，.當時，當，，單調遞減，此時綜上，當時，，當時，.本題第二問考查了根據函數的導數求函數的最值，第二問的難點是當時，根據函數的單調性可知函數的最大值是或，需做差討論得到和的大小關系.19、12．【解析】

（1）求導得到函數的單調性，利用單調性確定最值取得的點，從而得到值域；（2）將問題轉化成與有三個交點的問題，通過求導得到圖象，通過圖象可知只需位于極大值和極小值之間即可，從而得到不等式，求解出范圍.【詳解】（1）當時，則令，解得或列表如下；由表可知，在上的最小值為，最大值為所以在的值域是（2）由，得設，則由，解得：由，解得：或所以在遞減；在，遞增所以極大值為：；極小值為：，畫出的圖象如圖所示；有三個不同解與有三個不同交點結合圖形知，解得：，所以方程有三個不同的解時，的取值范圍是本題考查利用導數研究函數的單調性、極值和最值問題以及導數問題中的根的個數問題.解決根的個數類問題的關鍵在于能夠將問題變成曲線和平行于軸直線的交點個數問題，從而利用導數得到函數圖象，結合圖象得到相應的關系.20、（1）曲線：，直線的直角坐標方程；（2）1.【解析】試題分析：（1）先根據三角函數平方關系消參數得曲線化為普通方程，再根據將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）根據題意設直線參數方程，代入C方程，利用參數幾何意義以及韋達定理得點到，的距離之積試題解析：（1）曲線化為普通方程為：，由，得，所以直線的直角坐標方程為．（2）直線的參數方程為（為參數），代入化簡得：，設兩點所對應的參數分別為，則，．21、(1)；(2),【解析】

(1)由題可得二次函數的判別式小于0,列式求解即可.

(2)利用韋達定理代入可求得的關系,再化簡利用韋達定理表示,換成的形式進行求解即可.【詳解】(1)由題二次函數的判別式小于0,故,解得.

(2)由為關于的二次