北京市朝陽區2024-2025學年高二下數學期末調研試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．利用反證法證明：若，則，應假設（）A．，不都為 B．，都不為C．，不都為，且 D．，至少一個為2．已知點P在直徑為2的球面上，過點P作球的兩兩相互垂直的三條弦PA，PB，PC，若，則的最大值為A． B．4 C． D．33．已知函數在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．4．某班級要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區服務，則所選的四人中至少有一名女生的選法為（）A． B． C． D．5．已知空間三條直線若與異面,且與異面,則（）A．與異面. B．與相交.C．與平行. D．與異面、相交、平行均有可能.6．若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．7．設函數是奇函數的導函數，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．8．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種9．函數的值域是A． B． C． D．10．從圖示中的長方形區域內任取一點，則點取自圖中陰影部分的概率為()A． B．C． D．11．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，則集合CUA．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}12．一個口袋內裝有大小相同的6個白球和2個黑球，從中取3個球，則共有（）種不同的取法A．C61C22 B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中的系數是__________．14．如圖，正四棱柱的底面邊長為4，記，，若，則此棱柱的體積為______．15．在極坐標系中,過點作圓的切線,則切線的極坐標方程是__________.16．已知函數，若的所有零點之和為1，則實數的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數．(1)當時，求函數的值域；(2)若，求實數的取值范圍．18．（12分）【選修4-4，坐標系與參數方程】在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為x=22t,y=3+（Ⅰ）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）若直線l與y軸的交點為P，直線l與曲線C的交點為A,B,求|PA||PB|的值.19．（12分）已知函數的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數，，滿足，求：的最小值.20．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，點在直線上．（1）求角的值；（2）若，求的面積．21．（12分）如圖所示，四棱錐中，底面，，為中點.（1）試在上確定一點，使得平面；（2）點在滿足（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）在中，己知（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

表示“都是0”，其否定是“不都是0”.【詳解】反證法是先假設結論不成立，結論表示“都是0”，結論的否定為：“不都是0”.在簡易邏輯中，“都是”的否定為“不都是”；“全是”的否定為“不全是”，而不能把它們的否定誤認為是“都不是”、“全不是”.2、A【解析】

由題意得出，設，，利用三角函數輔助角公式可得出的最大值.【詳解】由于、、是直徑為的球的三條兩兩相互垂直的弦，則，所以，設，，，其中為銳角且，所以，的最大值為，故選A.本題考查多面體的外接球，考查棱長之和的最值，在直棱柱或直棱錐的外接球中，若其底面外接圓直徑為，高為，其外接球的直徑為，則，充分利用這個模型去解題，可簡化計算，另外在求最值時，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角換元的思想來求解．3、A【解析】

利用列方程，求得的值，由此求得，進而求得的圖象在處的切線方程.【詳解】，函數在處取得極值，，解得，，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即．故選：A本小題主要考查根據極值點求參數，考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.4、A【解析】所選的四人中至少有一名女生的選法為本題選擇A選項.5、D【解析】解：∵空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，∵m與n可能異面（如圖3），也可能平行（圖1），也可能相交（圖2），故選D．6、B【解析】

根據題意畫出其立體圖形.設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點,利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長都為1,且每個頂點都在球的球面上，設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點，設球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.本題主要考查空間幾何體中位置關系、球和正棱柱的性質.解決本題的關鍵在于能想象出空間圖形,并能準確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點．7、D【解析】分析：根據題意，設，對求導，利用導數與函數單調性的關系分析可得在上為減函數，分析的特殊值，結合函數的單調性分析可得在區間和上都有，結合函數的奇偶性可得在區間和上都有，進而將不等式變形轉化可得或，解可得x的取值范圍，即可得答案.詳解：根據題意，設，其導數，又當時，，則有，即函數在上為減函數，又，則在區間上，，又由，則，在區間上，，又由，則，則在區間和上都有，又由為奇函數，則在區間和上都有，或，解可得：或.則x的取值范圍是.故選：D.點睛：本題考查函數的導數與函數的單調性的關系，以及不等式的解法，關鍵是分析與的解集.8、C【解析】

根據題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．9、A【解析】分析：由于函數在上是減函數，且，利用單調性求得函數的值域詳解：函數在上是減函數，且，當時，函數取得最小值為當時，函數取得最大值為故函數的值域為故選點睛：本題主要考查的是指數函數的單調性，求函數的值域，較為基礎。10、C【解析】

先利用定積分公式計算出陰影部分區域的面積，并計算出長方形區域的面積，然后利用幾何概型的概率計算公式可得出答案．【詳解】圖中陰影部分的面積為，長方形區域的面積為1×3＝3，因此，點M取自圖中陰影部分的概率為．故選C．本題考查定積分的幾何意義，關鍵是找出被積函數與被積區間，屬于基礎題．11、D【解析】試題分析：因為A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以CU考點：集合的運算.12、D【解析】

直接由組合數定義得解．【詳解】由題可得：一個口袋內裝有大小相同的8個球中，從中取3個球，共有N=C故選D本題主要考查了組合數的定義，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、35【解析】

利用展開式的通項公式求得答案.【詳解】的展開式：取故答案為35本題考查了二項式的展開式，屬于簡單題.14、【解析】

建立空間直角坐標系，設出直四棱柱的高h，求出的坐標，由數量積為0求得h，則棱柱的體積可求．【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，設，又，則，，，，，，，，即．此棱柱的體積為．故答案為．本題考查棱柱體積的求法，考查利用空間向量解決線線垂直問題，是中檔題．15、.【解析】試題分析：點的直角坐標為，將圓的方程化為直角坐標方程為，化為標準式得，圓心坐標為，半徑長為，而點在圓上，圓心與點之間連線平行于軸，故所求的切線方程為，其極坐標方程為.考點：1.極坐標與直角坐標之間的轉化；2.圓的切線方程16、【解析】

先根據分段函數的形式確定出時的零點為，再根據時函數解析式的特點和導數的符號確定出圖象的“局部對稱性”以及單調性，結合所有零點的和為1可得，從而得到參數的取值范圍.【詳解】當時，易得的零點為，當時，，∵當時，，∴的圖象在上關于直線對稱.又，當時，，故單調遞增，當時，，故單調遞減，且，.因為的所有零點之和為1，故在內有兩個不同的零點，且，解得.故實數a的取值范圍為．故答案為：．本題考查分段函數的零點，已知函數零點的個數求參數的取值范圍時，應根據解析式的特點和導數尋找函數圖象的對稱性和函數的單調性，最后根據零點的個數得到特殊點處函數的符號，本題屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

(1)當時，，求導，可知函數在上單調遞增，即可求出的值域；(2)根據已知可得，對分類討論：當時，不等式恒成立；當時，，令，只需即可，求導可得，令，則，即可得，從而可得，從而可得．【詳解】(1)當時，，所以所以在上單調遞增，最小值為，最大值為，所以的值域為．(2)由，得，①當時，不等式恒成立，此時；②當時，，令，則，令，則，所以在上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增，所以，所以綜上可得實數的取值范圍．本題主要考查導數在研究函數中的應用，同時考查恒成立及分類討論的思想，屬于中檔題．18、（1）直線l的普通方程為x-y+3=0，曲線C的直角坐標方程為(x+1)2+(y-2)【解析】試題分析：本題主要考查參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的轉化、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用x2+y2=ρ2試題解析：（Ⅰ）直線l的普通方程為x-y+3=0，ρ2曲線C的直角坐標方程為(x+1)2（Ⅱ）將直線的參數方程x=22ty=3+22t（t1|PA||PB|=|t考點：本題主要考查：1.極坐標方程，參數方程與直角方程的相互轉化；2.直線與圓的位置關系.19、（1）（2）3.【解析】

將絕對值函數寫成分段函數形式，分別求出各段的最小值，最小的即為函數的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均數算數平均數，即可解出最小值。【詳解】（1）如圖所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴當且僅當，是值最小∴的最小值為3.本題考查絕對值函數及平方平均數與算數平均數的大小關系，屬于基礎題.20、（1）；（2）【解析】

（1）代入點到直線的方程，根據正弦定理完成角化邊，對比余弦定理求角；（2）將等式化簡成“平方和為零”形式，計算出的值，利用面積公式計算的面積.【詳解】解：（1）由題意得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，結合，得.（2）由，得，從而得，所以的面積.本題考查正、余弦定理的簡單應用，難度較易.使用正弦定理進行角化邊或者邊化角的過程時，一定要注意“齊次”的問題.21、(1).(2).【解析】【試題分析】（1）先確定點的位置為等分點，再運用線面平行的判定定理進行證明平面；（2）借助（1）的結論，及線面角的定義構造三角形找出直線與平面所成角，再通過解直角三角形求出其正弦值：解：(1)證明:平面PAD.過M作交PA于E,連接DE.因為,所以，又，故,且，即為平行四邊形,則,又平面PAD,平面PAD,平面；(2)解:因為，所