四川省眉山多悅高中2025屆數學高二下期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在的展開式中，記項的系數為，則＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．2102．若三角形的兩內角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能3．已知雙曲線的實軸長為16，左焦點分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點，且，為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．4．若直線的傾斜角為，則（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在5．在一段線路中并聯著兩個獨立自動控制的開關，只要其中一個開關能夠閉合，線路就可以正常工作.設這兩個開關能夠閉合的概率分別為0.5和0.7，則線路能夠正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．6．已知冪函數的圖象關于y軸對稱，且在上是減函數，則（）A．- B．1或2 C．1 D．27．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為的共有（）A．24對 B．30對 C．48對 D．60對8．已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．《高中數學課程標準》(2017版)規定了數學學科的六大核心素養.為了比較甲、乙兩名高二學生的數學核心素養水平，現以六大素養為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖(如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優)，則下面敘述正確的是（）(注:雷達圖(RadarChart)，又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網圖(SpiderChart)，可用于對研究對象的多維分析)A．甲的數據分析素養高于乙B．甲的數學建模素養優于數學抽象素養C．乙的六大素養中邏輯推理最差D．乙的六大素養整體水平優于甲10．已知函數是定義在上的偶函數，且，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．11．用數學歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數是（）A．項 B．項 C．項 D．項12．已知單位向量的夾角為，若，則為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知可導函數，函數滿足，若函數恰有個零點，則所有這些零點之和為__________．14．在棱長為的正方體中，是棱的中點，則到平面的距離等于_____.15．已知復數滿足（是虛數單位），則______．16．某校有高一學生105人，高二學生126人，高三學生42人，現用分層抽樣的方法從中抽取13人進行關于作息時間的問卷調查，設問題的選擇分為“同意”和“不同意”兩種，且每人都做了一種選擇，下面表格中提供了被調查人答題情況的部分信息，估計所有學生中“同意”的人數為________人同意不同意合計高一2高二4高三1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點，是直線上任意一點.證明：直線的斜率成等差數列.18．（12分）已知函數，.（1）當時，求的單調區間；（2）若有兩個零點，求實數的取值范圍.19．（12分）已知函數（1）討論的單調性；（2）設是的兩個零點，證明：．20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．再以原點為極點，以正半軸為極軸建立極坐標系，并使得它與直角坐標系有相同的長度單位．在該極坐標系中圓的方程為．（1）求圓的直角坐標方程；（2）設圓與直線交于點、，若點的坐標為，求的值．21．（12分）已知函數，其中為常數.（1）證明：函數的圖象經過一個定點，并求圖象在點處的切線方程；（2）若，求函數在上的值域.22．（10分）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點，點在線段PQ上.設，試求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數，求和即可．【詳解】（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系數是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故選C．本題考查二項式定理系數的性質，二項式定理的應用，考查計算能力．2、B【解析】

由于為三角形內角，故，所以，即為鈍角，三角形為鈍角三角形，故選B.3、A【解析】由于焦點到漸近線的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的位置關系,考查雙曲線漸近線的幾何性質,考查三角形的面積公式和雙曲線離心率的求法.設雙曲線的焦點為,雙曲線的漸近線為,故雙曲線焦點到漸近線的距離為,故焦點到漸近線的距離為.4、C【解析】分析:根據畫出的直線得直線的傾斜角.詳解：直線x=1的傾斜角為故答案為：C.點睛：(1)本題主要考查特殊直線的傾斜角，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)任意一條直線都有傾斜角，但是不是每一條直線都有斜率.5、C【解析】試題分析：線路能夠了正常工作的概率=,故選C.考點：獨立事件，事件的關系與概率.6、C【解析】分析：由為偶數，且，即可得結果.詳解：冪函數的圖象關于軸對稱，且在上是減函數，為偶數，且，解得，故選C.點睛：本題考查冪函數的定義、冪函數性質及其應用，意在考查綜合利用所學知識解決問題的能力.7、C【解析】試題分析：在正方體中，與上平面中一條對角線成的直線有，，，共八對直線，與上平面中另一條對角線的直線也有八對直線，所以一個平面中有16對直線，正方體6個面共有對直線，去掉重復，則有對.故選C.考點：1.直線的位置關系；2.異面直線所成的角.8、C【解析】

函數關于軸對稱的解析式為，則它與在有交點，在同一坐標系中分別畫出兩個函數的圖象，觀察圖象得到.【詳解】函數關于軸對稱的解析式為，函數，兩個函數的圖象如圖所示：若過點時，得，但此時兩函數圖象的交點在軸上，所以要保證在軸的正半軸，兩函數圖象有交點，則的圖象向右平移均存在交點，所以，故選C.本題綜合考查函數的性質及圖象的平移問題，注意利用數形結合思想進行問題求解，能減少運算量.9、D【解析】

根據雷達圖，依次判斷每個選項的正誤得到答案.【詳解】根據雷達圖得甲的數據分析素養低于乙，所以A錯誤根據雷達圖得甲的數學建模素養等于數學抽象素養，所以B錯誤根據雷達圖得乙的六大素養中數學建模和數學抽象最差，所以C錯誤根據雷達圖得乙整體為27分，甲整體為22分，乙的六大素養整體水平優于甲，所以D正確故答案選D本題考查了雷達圖，意在考查學生解決問題的能力.10、D【解析】

函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點等價于當x>0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，即可即m=f（x）有3個不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范圍．【詳解】函數f（x）是定義在R上的偶函數，函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點，則當x>0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①當0<x＜2時，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，當x=時有最大值，即為f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域為（﹣2，]，②當x≥2時，f（x）=＜0，且當x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，當2≤x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x≥3時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域為[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴當﹣＜m＜0時，當x>0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，故當﹣＜m＜0時，函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點，當x=0時,函數有5個零點．故選D.(1)本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函數的零點問題常用的有方程法、圖像法和方程+圖像法.本題利用的就是方程+圖像法.11、D【解析】

分別寫出當，和時，左邊的式子，分別得到其項數，進而可得出結果.【詳解】當時，左邊，易知分母為連續正整數，所以，共有項；當時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數是項.故選D本題主要考查數學歸納法，熟記數學歸納法的一般步驟即可，屬于常考題型.12、C【解析】，，與夾角為，且，為直角三角形，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據為奇函數得到關于對稱，，關于對稱，所以關于對稱，計算得到答案.【詳解】函數為奇函數關于對稱函數滿足關于對稱關于對稱恰有個零點所有這些零點之和為：故答案為：本題考查了函數的中心對稱，找出中心對稱點是解題的關鍵.14、【解析】

由題意畫出正方體，求出的面積，利用等體積法求解到平面的距離.【詳解】由題意，畫出正方體如圖所示，，點是中點，所以，在中，，，，所以，，所以，設到平面的距離為，由，得，解得，.故答案為：本題主要考查求點到平面距離的方法、棱錐體積公式、余弦定理和三角形面積公式的應用，考查等體積法的應用和學生的轉化和計算能力，屬于中檔題.15、【解析】

利用復數的除法運算化簡，進而求得.【詳解】依題意，故故答案為：.本小題主要考查復數除法運算，考查復數的模的計算，屬于基礎題.16、126【解析】

根據抽樣比求出各個年級抽取的人數，然后填表格，最后根據“同意的”比例求所有學生中“同意”的人數.【詳解】一共人，抽樣比高一學生：人，高二學生：人，高三學生人，同意不同意合計高一325高二246高三112同意的共有6人，同意的共有人.故答案為：126本題考查分層抽樣和統計的初步知識，屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）由橢圓的離心率為，以及點M在橢圓上，結合a，b，c關系列出方程組求解即可；（2）分過橢圓右焦點的直線斜率不存在和存在兩種情況，進行整理即可.詳解：（1）；(2)因為右焦點,當直線的斜率不存在時其方程為，因此，設，則，所以且，所以，，因此，直線和的斜率是成等差數列.當直線的斜率存在時其方程設為，由得，，所以，因此，，，，，所以，，又因為，所以有,因此，直線和的斜率是成等差數列，綜上可知直線和的斜率是成等差數列.點睛：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，考查數學轉化思想方法，考查計算能力與解決問題的能力.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）記t=lnx+x，通過討論a的范圍，結合函數的單調性以及函數的零點的個數判斷a的范圍即可．【詳解】（1）定義域為：，當時，.∴在時為減函數；在時為增函數.（2）記，則在上單增，且.∴.∴在上有兩個零點等價于在上有兩個零點.①在時，在上單增，且，故無零點；②在時，在上單增，又，，故在上只有一個零點；③在時，由可知在時有唯一的一個極小值.若，，無零點；若，，只有一個零點；若時，，而，由于在時為減函數，可知：時，.從而，∴在和上各有一個零點.綜上討論可知：時有兩個零點，即所求的取值范圍是.已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．19、（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）求導，對參數分兩種情況進行討論，令得函數的單調遞增區間，令得函數的單調遞減區間；（2）令，分離參數得，令，研究函數的性質，可將證明轉化為證明，即證明成立，令，利用導數研究函數的增減性，可得，問題得證.詳解：（1），當時，，則在上單調遞增．當時，令，得，則的單調遞增區間為，令，得，則的單調遞減區間為．（2）證明：由得，設，則．由，得；由，得．故的最小值．當時，，當時，，不妨設，則，等價于，且在上單調遞增，要證：，只需證，，只需證，即，即證；設，則，令，則，，在上單調遞減，即在上單調遞減，，在上單調遞增，，從而得證．點睛：本題主要考查導數的應用，第一問屬于易得分題，只需對參數進行分類討論，再分別令，即可求解函數的增、減區間，進而判斷其單調性；第二問解題時，首先對進行參數分離，再構造新函數，利用函數的單調性，將原問題轉化為不等式恒成立問題，進而再利用導數證明.20、（1）（2）【解析】試題分析:（1）由可將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）先將直線的參數方程代入圓C方程，再根據參數幾何意義得，最后根據韋達定理求的值．試題解析：（1）；（2）直線的參數方程代入圓C方程得．點睛：直線的參數方程的標準形式的應用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程是.(t是參數，t可正、可負、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應參數分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點的坐標分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(