湖北省武漢市鋼城第四中學2025年高二下數學期末統考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量與向量的模均為2，若，則它們的夾角是（）A． B． C． D．2．若一圓柱的側面積等于其表面積的，則該圓柱的母線長與底面半徑之比為（）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：13．A． B． C． D．4．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，如果函數f(x)的圖象恰好通過n（）個整點，則稱函數f(x)為n階整點函數．有下列函數:①②③④其中是一階整點的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④5．已知二項式的展開式的第二項的系數為，則（）A． B． C．或 D．或6．將1000名學生的編號如下：0001，0002，0003，…，1000，若從中抽取50個學生，用系統抽樣的方法從第一部分0001，0002，…，0020中抽取的號碼為0015時，抽取的第40個號碼為（）A．0795 B．0780 C．0810 D．08157．若復數是虛數單位），則的共軛復數（）A． B． C． D．8．展開式中第5項的二項式系數為（）A．56 B．70 C．1120 D．-11209．在直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（）A． B． C． D．10．已知向量，若，則（）A． B． C． D．11．點A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面積是24π，則異面直線PB和AC所成角余弦值為（）A．33 B．32 C．1012．已知函數是定義在上的奇函數，且以2為周期，當時，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．極坐標方程為所表示的曲線的離心率是______．14．的展開式中的系數為，則__________．15．在北緯圈上有甲、乙兩地，若它們在緯度圈上的弧長等于（為地球半徑），則這兩地間的球面距離為_______.16．設函數在上是增函數，則實數的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）討論的單調性；（2）設是的兩個零點，證明：．18．（12分）在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點,（１）求證:MN//平面PAD（２）求點B到平面AMN的距離19．（12分）伴隨著智能手機的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統支付的局限性和壁壘，有研究表明手機支付的使用比例與人的年齡存在一定的關系，某調研機構隨機抽取了50人，對他們一個月內使用手機支付的情況進行了統計，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數510151055使用手機支付人數31012721（1）若以“年齡55歲為分界點”，由以上統計數據完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關；年齡不低于55歲的人數年齡低于55歲的人數合計使用不適用合計（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內的被調查人中各隨機選取2人進行追蹤調查，記選中的4人中“使用手機支付”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望；參考數據如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中20．（12分）已知橢圓的左右頂點分別是，，點在橢圓上，過該橢圓上任意一點P作軸，垂足為Q，點C在的延長線上，且．（1）求橢圓的方程；（2）求動點C的軌跡E的方程；（3）設直線（C點不同A、B）與直線交于R，D為線段的中點，證明：直線與曲線E相切；21．（12分）已知過拋物線y2=2pxp>0的焦點，斜率為22的直線交拋物線于（1）求拋物線的方程;（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若OC=OA+λ22．（10分）已知函數，求：（1）函數的圖象在點處的切線方程；（2）的單調遞減區間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意結合數量積的運算法則可得，據此確定其夾角即可.【詳解】∵，∴，∴，故選A.本題主要考查向量夾角的計算，向量的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、B【解析】

設這個圓柱的母線長為，底面半徑為，根據已知條件列等式，化簡可得答案.【詳解】設這個圓柱的母線長為，底面半徑為，則，化簡得，即，故選：B本題考查了圓柱的側面積公式，考查了圓柱的表面積公式，屬于基礎題.3、D【解析】分析：根據公式，可直接計算得詳解：，故選D.點睛：復數題是每年高考的必考內容，一般以選擇或填空形式出現，屬簡單得分題，高考中復數主要考查的內容有：復數的分類、復數的幾何意義、共軛復數，復數的模及復數的乘除運算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負號導致出錯.4、D【解析】

根據新定義的“一階整點函數”的要求，對于四個函數一一加以分析，它們的圖象是否通過一個整點，從而選出答案即可．【詳解】對于函數，它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數；

對于函數，當x∈Z時，一定有g（x）=x3∈Z，即函數g（x）=x3通過無數個整點，它不是一階整點函數；

對于函數，當x=0，-1，-2，時，h（x）都是整數，故函數h（x）通過無數個整點，它不是一階整點函數；

對于函數，它只通過一個整點（1，0），故它是一階整點函數．

故選D．本題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題，解決本題的關鍵是對于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點函數”．5、A【解析】分析：根據第二項系數，可求出；由定積分基本性質，求其原函數為，進而通過微積分基本定理求得定積分值。詳解：展開式的第二項為所以系數，解得所以所以選A點睛：本題考查了二項式定理和微積分基本定理的綜合應用，通過方程確定參數的取值，綜合性強，屬于中檔題。6、A【解析】分析：先確定間距，再根據等差數列通項公式求結果.詳解：因為系統抽樣的方法抽簽，所以間距為所以抽取的第40個數為選A.點睛：本題考查系統抽樣概念，考查基本求解能力.7、D【解析】

根據復數除法運算法則可化簡復數得，由共軛復數定義可得結果.【詳解】本題正確選項：本題考查共軛復數的求解，關鍵是能夠利用復數的除法運算法則化簡復數，屬于基礎題.8、B【解析】分析：直接利用二項展開式的通項公式求解即可.詳解：展開式的通項公式為則展開式中第5項的二項式系數為點睛：本題考查二項展開式的通項公式，屬基礎題.9、C【解析】分析：由題意角的終邊經過點，即點，利用三角函數的定義及誘導公式，即可求解結果.詳解：由題意，角的終邊經過點，即點，則，由三角函數的定義和誘導公式得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數的定義和三角函數誘導公式的應用，其中熟記三角函數的定義和三角函數的誘導公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.10、C【解析】

首先根據向量的線性運算求出向量，再利用平面向量數量積的坐標表示列出方程，即可求出的值．【詳解】因為，，所以，因為，所以，即，解得或，又，所以．故選：C．本題主要考查平面向量的線性運算，平面向量數量積的坐標表示，屬于基礎題．11、C【解析】

首先作出圖形，計算出球的半徑，通過幾何圖形，找出異面直線PB和AC所成角，通過余弦定理即可得到答案.【詳解】設球O的半徑為R,則4πR2=24π，故R=6，如圖所示：分別取PA,PB,BC的中點M,N,E，連接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因為E為BC的中點，則AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M本題主要考查外接球的相關計算，異面直線所成角的計算.意在考查學生的空間想象能力，計算能力和轉化能力，難度較大.12、A【解析】

根據題意可得：，代入中計算即可得到答案。【詳解】由于；因為函數是定義在上的奇函數，且以2為周期；所以又因為，所以；故答案選A本題主要考查函數的有關性質，奇偶性、周期性，以及對數的有關運算，屬于基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將極坐標方程化為直角坐標方程，即可求得曲線的離心率.【詳解】極坐標方程，展開化簡可得，即，因為代入可得則曲線為雙曲線，由雙曲線標準方程可知，所以雙曲線離心率為，故答案為：.本題考查了極坐標與直角坐標方程的轉化，雙曲線離心率的求法，屬于基礎題.14、【解析】由條件知的展開式中的系數為：解得=故答案為．15、【解析】

設甲、乙兩地分別為，地球的中心為，先求出北緯60°圈所在圓的半徑，再求A、B兩地在北緯60°圈上對應的圓心角，得到線段AB的長，解三角形求出的大小，利用弧長公式求這兩地的球面距離.【詳解】設甲、乙兩地分別為，北緯圈所在圓的半徑為，它們在緯度圈上所對應的劣弧長等于（為地球半徑），（是兩地在北緯60圈上對應的圓心角），故.所以線段設地球的中心為，則是等邊三角形，所以，故這兩地的球面距離是.本題考查球面距離及相關計算，扇形弧長和面積是常用公式，結合圖形是關鍵.16、【解析】分析：函數在上是增函數等價于，從而可得結果.詳解：因為函數在上是增函數，所以恒成立，因為，實數的取值范圍是故答案為.點睛：本題主要考查“分離常數”在解題中的應用以及利用單調性求參數的范圍，屬于中檔題.利用單調性求參數的范圍的常見方法：①視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數需注意若函數在區間上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的;②利用導數轉化為不等式或恒成立問題求參數范三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）求導，對參數分兩種情況進行討論，令得函數的單調遞增區間，令得函數的單調遞減區間；（2）令，分離參數得，令，研究函數的性質，可將證明轉化為證明，即證明成立，令，利用導數研究函數的增減性，可得，問題得證.詳解：（1），當時，，則在上單調遞增．當時，令，得，則的單調遞增區間為，令，得，則的單調遞減區間為．（2）證明：由得，設，則．由，得；由，得．故的最小值．當時，，當時，，不妨設，則，等價于，且在上單調遞增，要證：，只需證，，只需證，即，即證；設，則，令，則，，在上單調遞減，即在上單調遞減，，在上單調遞增，，從而得證．點睛：本題主要考查導數的應用，第一問屬于易得分題，只需對參數進行分類討論，再分別令，即可求解函數的增、減區間，進而判斷其單調性；第二問解題時，首先對進行參數分離，再構造新函數，利用函數的單調性，將原問題轉化為不等式恒成立問題，進而再利用導數證明.18、（１）見解析（２）【解析】

試題分析：（１）是正方形中對角線中點三點共線，為中點為的中位線（２）設點B到平面AMN的距離為h，,,,,,,，代數得考點：線面平行的判定和點面距的求法19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）根據題中的數據補充列聯表，計算出的值，根據臨界值表找出犯錯誤的概率，于此可對題中的問題下結論；（2）先確定年齡在和的人數，可得知的取值有、、、，然后利用超幾何分布列的概率公式計算概率，列出隨機變量的分布列，并計算出的數學期望。【詳解】（1）根據題意填寫列聯表，如下；年齡不低于55歲的人數年齡低于55歲的人數合計使用33235不適用7815合計104050根據表中數據，計算K2的觀測值，所以有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關；（2）由題意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：0123pξ的數學期望是．本題第（1）問考查獨立性檢驗，關鍵在于列出列聯表并計算出的觀測值，第（2）問考查離散型隨機分布列與數學期望，這類問題首先要弄清楚隨機變量所服從的分布列，并利用相關公式進行計算，屬于常考題型，考查計算能力，屬于中等題。20、（1）；（2）；（3）證明略；【解析】

（1）根據頂點坐標可知，將代入橢圓方程可求得，進而得到橢圓方程；（2）設，，可得到，將代入橢圓方程即可得到所求的軌跡方程；（3）設，可得直線方程，進而求得和點坐標；利用向量坐標運算可求得，從而證得結論.【詳解】（1）由題意可知：將代入橢圓方程可得：，解得：橢圓的方程為：（2）設，由軸，可得：，即將代入橢圓方程得：動點的軌跡的方程為：（3）設，則直線方程為：令，解得：，即直線與曲線相切本題考查直線與橢圓、直線與圓的綜合應用問題，涉及到橢圓方程的求解、動點軌跡的求解問題、直線與圓位置關系的證明等知識；求解動點軌跡的常用方法是利用動點表示出已知曲線上的點的坐標，從而代入已知曲線方程整理可得動點軌