福建省漳浦達志中學2024-2025學年數學高二第二學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，若的值域為，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．2．設集合，，，則中的元素個數為（）A． B． C． D．3．已知，，，則（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.94．已知函數是冪函數，且其圖象與兩坐標軸都沒有交點，則實數A． B．2 C．3 D．2或5．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．6．已知等比數列的各項均為正數，前項和為，若，則A． B． C． D．7．復數（為虛數單位）的共軛復數是（）A． B． C． D．8．已知復數，則（）A．4 B．6 C．8 D．109．在等比數列中，若，，則A． B．C． D．10．對變量進行回歸分析時，依據得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是（）A． B．C． D．11．若復數（為虛數單位）是純虛數，則復數（）A． B． C． D．12．如果，那么的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．參加某項活動的六名人員排成一排合影留念，其中一人為領導人，則甲乙兩人均在領導人的同側的概率為_______.14．高二（1）班有男生18人，女生12人，現用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生人數為____.15．已知隨機變量服從正態分布，且,則_______．16．在復數范圍內，方程的根為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（且，e為自然對數的底數.）（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）若函數只有一個零點，求a的值.18．（12分）已知是等差數列，是等比數列，且，，，．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．19．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）證明：當時，方程在區間上只有一個解；（3）設，其中.若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知命題實數滿足（其中），命題方程表示雙曲線.（I）若，且為真命題，求實數的取值范圍；(Ⅱ)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．21．（12分）為了了解甲、乙兩校學生自主招生通過情況，從甲校抽取51人，從乙校抽取41人進行分析.通過人數末通過人數總計甲校乙校31總計51（1）根據題目條件完成上面2×2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為自主招生通過情況與學生所在學校有關；（2）現已知甲校A，B，C三人在某大學自主招生中通過的概率分別為，用隨機變量X表示A，B，C三人在該大學自主招生中通過的人數，求X的分布列及期望E（X）．參考公式：.參考數據：1．141．111．141．1241．111．1141．1112．1622．6153．8414．1245．5346．86911．82822．（10分）已知、為橢圓的左右焦點，是坐標原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于．（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】很明顯，且應滿足當時，類指數函數的函數值不大于一次函數的函數值，即，解得：，即實數的取值范圍是.本題選擇B選項.點睛：(1)問題中參數值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求．2、C【解析】分析：由題意列表計算所有可能的值，然后結合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個數即可.詳解：結合題意列表計算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據此可知中的元素個數為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3、D【解析】分析：根據隨機變量服從正態分布，可知正態曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得．詳解：由題意，

∵隨機變量，，

∴故選：D．點睛：本題主要考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義、函數圖象對稱性的應用等基礎知識，屬于基礎題．4、A【解析】

根據冪函數的定義，求出m的值，代入判斷即可．【詳解】函數是冪函數，，解得：或，時，，其圖象與兩坐標軸有交點不合題意，時，，其圖象與兩坐標軸都沒有交點，符合題意，故，故選A．本題考查了冪函數的定義，考查常見函數的性質，是一道常規題．5、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉化求解的位置，推出結果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．6、C【解析】由得，，解得，從而，故選C.7、B【解析】

根據復數除法運算，化簡復數，再根據共軛復數概念得結果【詳解】，故的共軛復數.故選B.本題考查復數除法運算以及共軛復數概念，考查基本分析求解能力，屬基礎題.8、D【解析】

根據復數的模長公式進行計算即可．【詳解】z＝8+6i，則8﹣6i，則||10，故選：D．本題主要考查復數的模長的計算，根據條件求出是解決本題的關鍵．9、A【解析】設等比數列的公比為，則，.故選A.10、A【解析】

根據殘差的特點，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．即可得到答案．【詳解】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．故選：．本題考查了殘差分析，了解殘差分析的原理及特點是解決問題的關鍵，本題屬基礎題．11、D【解析】

通過復數是純虛數得到，得到，化簡得到答案.【詳解】復數（為虛數單位）是純虛數故答案選D本題考查了復數的計算，屬于基礎題型.12、D【解析】

由誘導公式，可求得的值，再根據誘導公式化簡即可．【詳解】根據誘導公式，所以而所以選D本題考查了誘導公式在三角函數式化簡中的應用，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先求出六名人員排成一排合影留念的總的基本事件的個數，再求出一人為領導人，則甲乙兩人均在領導人的同側的基本事件的個數，利用古典概型的概率公式求解即可．【詳解】解：根據題意，六名人員排成一排合影留念的總的基本事件的個數為，一人為領導人，則甲乙兩人均在領導人的同側的基本事件的個數為，甲乙兩人均在領導人的同側的概率為

故答案為：．本題考查古典概型的求解，是基礎題．14、3【解析】

根據分層抽樣的比例求得.【詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數為5×18故得解.本題考查分層抽樣，屬于基礎題.15、0.01【解析】

根據正態分布的對稱性，求得的值.【詳解】根據正態分布的對稱性有.本小題主要考查正態分布的對稱性，屬于基礎題.16、【解析】

根據復數范圍求根公式求解【詳解】因為，所以方程的根為故答案為：本題考查復數范圍解實系數一元二次方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）代入，得，所以，求出，由直線方程的點斜式，即可得到切線方程；（2）分和兩種情況，考慮函數的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【詳解】解：（1）當時，，，，∴切線方程為;（2），，令，得，1）當時，，x－0＋極小值所以當時，有最小值，.因為函數只有一個零點，且當和時，都有，所以，即，因為當時，，所以此方程無解.2）當時，，x－0＋極小值所以當時，有最小值，.因為函數只有一個零點，且當和時，都有，所以，即（）（*），設（），則，令，得，當時，；當時，；所以當時，，所以方程（*）有且只有一解.綜上，時函數只有一個零點.本題主要考查在曲線上一點的切線方程的求法，以及利用導數研究含參函數的零點問題，考查學生的運算求解能力，體現了分類討論的數學思想.18、（1）；（2）【解析】

（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，運用通項公式，可得，進而得到所求通項公式；（2）由（1）求得，運用等差數列和等比數列的求和公式，即可得到數列和．【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，因為，可得，所以，又由，所以，所以數列的通項公式為．（2）由題意知，則數列的前項和為．本題主要考查了等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的分組求和，其中解答中熟記等差、等比數列的通項公式和前n項和公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．19、（1）在上單調遞減，在區間上單調遞增.（2）見解析(3)【解析】分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導函數，根據函數的單調性，得到函數在的零點個數，求出方程在的解的個數即可；（3）設，，根據函數的單調性求出函數的最小值，，求出的范圍即可.詳解：（1）由已知.所以，在區間上，函數在上單調遞減，在區間上，函數在區間上單調遞增.（2）設，.，由（1）知，函數在區間上單調遞增.且，.所以，在區間上只有一個零點，方程在區間上只有一個解.（3）設，，定義域為，，令，則，由（2）知，在區間上只有一個零點，是增函數，不妨設的零點為，則，所以，與在區間上的情況如下：-0+所以，函數的最小值為，，由，得，所以.依題意，即，解得，所以，的取值范圍為.點睛：該題考查的是有關應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調性，應用導數研究函數的零點，應用導數研究恒成立問題，正確求解函數的導函數是解題的關鍵.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）將代入不等式，并解出命題中的不等式，同時求出當命題為真命題時實數的取值范圍，由條件為真命題，可知這兩個命題都是真命題，然后將兩個范圍取交集可得出實數的取值范圍；（Ⅱ）解出命題中的不等式，由是的必要不充分條件，得出命題中實數的取值范圍是命題中不等式解集的真子集，然后列不等式組可求出實數的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由得，若，為真時實數t的取值范圍是.由表示雙曲線,得,即為真時實數的取值范圍是.若為真，則真且真，所以實數t的取值范圍是（Ⅱ）設，是的必要不充分條件，.當時，，有，解得；當時，，顯然，不合題意．∴實數a的取值范圍是．本題第（1）問考查復合命題的真假與參數，第（2）問考查充分必要性與參數，一般要結合兩條件之間的關系轉化為集合間的包含關系，考查轉化與化歸數學思想，屬于中等題．21、（1）填表見解析，有99%的把握認為學生的自主招生通過情況與所在學校有關（2）見解析【解析】

（1）根據題中信息完善列聯表，并計算出的觀測值，結合臨界值表找出犯錯誤的概率，于此可對題中的結論正誤進行判斷；（2）列出隨機變量的可能取值，利用獨立事件的概率乘法公式計算出隨機變量在每個可能值處的概率，可列出隨機變量的概率分布列，并由此計算出隨機變量的數學期望.【詳解】（1）列聯表如下：通過人數未通過人數總計甲校214151乙校312141總計4151111由算得：，所以有99%的把握認為學生的自主招生通過情況與所在學校有關；（2）設自主招生通過分別記為事件，則.∴隨機變量的可能取值為1，1，2，3.，，，.所以隨機變量X的分布列為：.本題考查獨立性檢驗的基本思想，考查隨機變量分布列及其數學期望的求解，解題時要判斷出隨機變量所服從的分布列，結合分布列類型利用相關公式計算出相應的概率，考查計算能力，屬于中等題．22、（1）；（2）或【解析