北京市西城區市級名校2024-2025學年高二數學第二學期期末監測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在上的最大值為（）A． B． C． D．2．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內的一條動直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．3．下列值等于1的積分是（）A． B． C． D．4．設集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,5．已知函數的導函數為，則（）A． B． C． D．6．設a=e1eA．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c7．在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的參數方程為（為參數），曲線的方程為，直線與曲線相交于兩點，當的面積最大時，()A． B． C． D．8．已知函數為奇函數,則（）A． B． C． D．9．若偶函數滿足且時,則方程的根的個數是()A．2個 B．4個 C．3個 D．多于4個10．設命題，則為（）A． B．C． D．11．己知函數,若,則()A． B． C． D．12．如圖，設D是邊長為l的正方形區域，E是D內函數與所構成(陰影部分)的區域，在D中任取一點，則該點在E中的概率是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則___________．14．已知，區域滿足：，設，若對區域內的任意兩點，都有成立，則的取值范圍是______.15．某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價（元）456789銷量（件）908483807568由表中數據，求得線性回歸方程為，則實數______.16．若方程有實數解，則的取值范圍是____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設，已知，為關于的二次方程兩個不同的虛根，（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，，求實數，的值.18．（12分）一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個小球，其中有紅球2個，黑球3個，白球5個．從中1次隨機摸出2個球，求2個球顏色相同的概率；從中1次隨機摸出3個球，記白球的個數為X，求隨機變量X的概率分布和數學期望；每次從袋中隨機摸出1個球，記下顏色后放回，連續取3次，求取到紅球的次數大于取到白球的次數的概率．19．（12分）已知正整數,.(1)若的展開式中,各項系數之和比二項式系數之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點，點在上，平面平面.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.21．（12分）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且．試用向量，，表示向量；若，，，，求的值．22．（10分）已知函數f(x)=4ax-a（1）當a=1時,求曲線f(x)在點(1,（2）若函數f(x)在其定義域內為增函數,求實數a的取值范圍；（3）設函數g(x)=6ex,若在區間[1,e]上至少存在一點x0

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

對函數求導，利用導數分析函數的單調性，求出極值，再結合端點函數值得出函數的最大值．【詳解】，，令，由于，得.當時，；當時，．因此，函數在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．本題考查利用導數求解函數的最值，一般而言，利用導數求函數在閉區間上的最值的基本步驟如下：（1）求導，利用導數分析函數在閉區間上的單調性；（2）求出函數的極值；（3）將函數的極值與端點函數值比較大小，可得出函數的最大值和最小值．2、B【解析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當直線與異面垂直時，所成角的正弦值最大.【詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉化思想，屬于難題.3、C【解析】

分別求出被積函數的原函數，然后根據定積分的定義分別計算看其值是否為1即可．【詳解】解：選項A，xdxx2，不滿足題意；選項B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不滿足題意；選項C，1dx＝x1﹣0＝1，滿足題意；選項D，dxx0，不滿足題意；故選C．考點：定積分及運算．4、D【解析】

先求出CUA,再求?【詳解】由題得CU所以?UA∩B故選：D本題主要考查補集和交集的運算，意在考查學生對這種知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、D【解析】

求導數，將代入導函數解得【詳解】將代入導函數故答案選D本題考查了導數的計算，把握函數里面是一個常數是解題的關鍵.6、B【解析】

依據y=lnx的單調性即可得出【詳解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b本題主要考查利用函數的單調性比較大小。7、D【解析】

先將直線直線與曲線轉化為普通方程，結合圖形分析可得，要使的面積最大，即要為直角，從而求解出。【詳解】解：因為曲線的方程為，兩邊同時乘以，可得，所以曲線的普通方程為，曲線是以為圓心，2為半徑的上半個圓.因為直線的參數方程為（為參數），所以直線的普通方程為，因為，所以當為直角時的面積最大，此時到直線的距離，因為直線與軸交于，所以，于是，所以，故選D。本題考查了曲線的參數方程、極坐標方程與普通方程之間的互化，同時考查了直線與圓的位置關系，數形結合是本題的核心思想。8、A【解析】

根據奇函數性質,利用計算得到,再代入函數計算【詳解】由函數表達式可知，函數在處有定義，則，，則，.故選A.解決本題的關鍵是利用奇函數性質,簡化了計算,快速得到答案.9、B【解析】

在同一坐標系中畫出函數和函數的圖象，這兩個函數的圖象的焦點個數，即為所求.【詳解】因為偶函數滿足，所以函數的周期為2，又當時，，故當時，，則方程的根的個數，等價于函數和函數的圖象的交點個數，在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，如圖所示，可得兩函數的圖象有4個交點，即方程有4個根，故選B.本題主要考查了函數與方程的綜合應用問題，即根的存在性及根的個數的判定，其中解答中把方程的根的個數，轉化為函數和函數的圖象的交點個數，在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、D【解析】分析：根據全稱命題的否定解答.詳解：由全稱命題的否定得為：，故答案為D.點睛：（1）本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)全稱命題：,全稱命題的否定（）：.11、D【解析】分析：首先將自變量代入函數解析式，利用指對式的運算性質，得到關于參數的等量關系式，即可求得結果.詳解：根據題意有，解得，故選D.點睛：該題考查的是已知函數值求自變量的問題，在求解的過程中，需要對指數式和對數式的運算性質了如指掌.12、A【解析】試題分析：正方形面積為1，陰影部分的面積為，所以由幾何概型概率的計算公式得，點在E中的概率是，選A.考點：定積分的應用，幾何概型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先化簡已知得，再利用平方關系求解.【詳解】由題得，因為，所以故答案為：本題主要考查誘導公式和同角的平方關系，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.14、【解析】

由題意可知直線與圓相切，由相切定義可得，令，由可求其范圍.【詳解】由題意可得：直線與圓相切即，化簡得：，令故答案為：本題考查了直線與圓的位置關系，考查了三角換元法，本題的關鍵在于題干條件的轉化，由線性規劃知識可知位于直線同一側的點正負性相同，滿足題目要求.屬于難題.15、106【解析】

求出樣本中心坐標，代入回歸方程即可求出值.【詳解】解：，，將代入回歸方程得，解得.故答案為：.本題考查回歸方程問題，屬于基礎題.16、【解析】

關于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，結合正弦函數的值域可得c的范圍．【詳解】解：關于x的方程sinx-cosx＝c有解，即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，由于x為實數，則2sin（x-）∈[﹣2，2]，故有﹣2≤c≤2本題主要考查兩角差的正弦公式、正弦函數的值域，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2),【解析】

(1)由題可得二次函數的判別式小于0,列式求解即可.

(2)利用韋達定理代入可求得的關系,再化簡利用韋達定理表示,換成的形式進行求解即可.【詳解】(1)由題二次函數的判別式小于0,故,解得.

(2)由為關于的二次方程兩個不同的虛根可得,,又則,得,因為,故,又,故故,本題主要考查了一元二次方程的復數根的性質,注意的意義為的模長為2,故.屬于中等題型.18、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解析】

利用互斥事件的概率求和公式計算即可；由題意知X的可能取值，計算所求的概率值，寫出X的概率分布，求出數學期望值；由題意知事件包含一紅兩黑和兩紅一黑，兩紅一白，求出對應的概率值．【詳解】解：從袋中1次隨機摸出2個球，則2個球顏色相同的概率為；從袋中1次隨機摸出3個球，記白球的個數為X，則X的可能取值是0，1，2，3；則，，，，隨機變量X的概率分布為；

X0123

P

數學期望；記3次摸球后，取到紅球的次數大于取到白球的次數為事件A，則．本題考查了離散型隨機變量的概率分布與數學期望的應用問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．19、(1)；(2)或.【解析】

(1)令求出的展開式中各項系數和,結合二項式系數和公式,可由題意列出方程,解方程即可求出的值(2)根據數列最大項的定義,可以列出不等式組,解這個不等式組即可求出的值.【詳解】(1)令,所以的展開式中各項系數和為：,二項式系數和為：,由題意可知：或(舍去),所以；(2)二項式的通項公式為：.因為是中的最大項,所以有：,因此或.本題考查了二項式系數之和公式和展開式系數之和算法,考查了二項式展開式系數最大值問題,考查了數學運算能力.20、（1）詳見解析（2）【解析】

（1）在平面內知道兩條相交直線與垂直，利用判定定理即可完成證明；（2）通過輔助線，將與平行四邊形關聯，從而計算出長度，然后即可求解三棱錐的體積.【詳解】解：（1）平面，，又四邊形為正方形，，且，平面，為的中點，，且，平面；（2）作于，連接，如圖所示：平面平面，面，由（1）知平面，，又平面平面，面，平面，平面，平面平面，平面，四邊形為平行四邊形，為的中點，，本題考查立體幾何中的線面垂直關系證明以及體積計算，難度一般.計算棱錐體積的時候，可以采取替換頂點位置的方式去計算，這樣有時候能簡化運算.21、（1）；（2）.【解析】

又，由此即可求出結果；（2）利用，和數量及的定義，代入得結果．【詳解】解：又由問知．本題考查平面向量的基本定理，和平面向量的數量積的運算公式及平面向量基本定理的應用．22、(1)y=3x(2)[12【解析】

（1）求出f（x）的導數，求出f′（1），f（1），代入切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍結合二次函數的性質得到函數的單調性，從而求出a的具體范圍；（3）構造函數?（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需?（x）max＞0，根據函數的單調性求出?（x）max，從而求出a的范圍．【詳解】（1）解:當a=1時,f(x)=4x-1x-2lnx,曲線f(x)在點(1,f(1))處的斜率為f'(1)=3,故曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-3=3(x-1)（2）解:f'(x)=4a+ax2-2x=4ax2-2x+ax2.令h(x)=4ax2-2x+a,要使f(x)在定義域(0,+∞)內是增函數,只需h(x)≥0在區間(0,+∞)內恒成立.依題意a>0,此時h(x)=4ax2-2x+a的圖象為開口向上的拋物線,h(x)=4a(x-14a所以f(x)定義域內為增函數,實數a的取值范圍是[1（3）解:構造函數?(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],依題意由（2）可知a