福建省華安一中2025屆數學高二第二學期期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．2．執行如圖的程序框圖，如果輸入，那么輸出的（）A．B．C．D．3．一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內的水中，現將金屬絲向上提升，當金屬球被拉出水面時，容器內的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．執行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為（）A．0B．-1C．-125．多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點到平面的距離為A． B． C． D．6．已知各棱長均相等的正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側面與底面所成角的大小分別為，則（）A． B．C． D．前三個答案都不對7．某學校為解決教師的停車問題，在校內規劃了一塊場地，劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有()A．種 B．種 C．種 D．種8．下列命題中真命題的個數是（）①，；②若“”是假命題，則都是假命題；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．39．已知函數（，）的圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．10．是虛數單位，復數滿足，則A． B． C． D．11．對兩個變量x，y進行回歸分析，得到一組樣本數據：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），則下列說法中不正確的是A．由樣本數據得到的回歸方程必過樣本點的中心B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1.12．若關于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4個不同的實根，則實數a的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某技術學院為了讓本校學生畢業時能有更好的就業基礎，增設了平面設計、工程造價和心理咨詢三門課程.現在有6名學生需從這三門課程中選擇一門進修，且每門課程都有人選，則不同的選擇方法共有______種（用數學作答）.14．下表提供了某學生做題數量x（道）與做題時間y（分鐘）的幾組對應數據：x（道）3456y（分鐘）2.5t44.5根據上表提供的數據，得y關于x的線性回歸方程為則表中t的值為_____．15．在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值為__________．16．根據如圖所示的偽代碼，最后輸出的i的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調查結果如下：0項1項2項3項4項5項5項以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？比較了解不太了解合計理科生文科生合計（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數；（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望.參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.18．（12分）某校在本校任選了一個班級，對全班50名學生進行了作業量的調查，根據調查結果統計后，得到如下的列聯表，已知在這50人中隨機抽取2人，這2人都“認為作業量大”的概率為.認為作業量大認為作業量不大合計男生18女生17合計50（1）請完成上面的列聯表；（2）根據列聯表的數據，能否有的把握認為“認為作業量大”與“性別”有關？附表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：（其中）19．（12分）已知函數（1）求函數的單調區間；（2）已知，且恒成立，求的最大值；20．（12分）已知函數.[來源:]（1）當時，解不等式；（2）若，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，四核錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）每年暑期都會有大量中學生參加名校游學，夏令營等活動，某中學學生社團將其今年的社會實踐主題定為“中學生暑期游學支出分析”，并在該市各個中學隨機抽取了共名中學生進行問卷調查，根據問卷調查發現共名中學生參與了各類游學、夏令營等活動，從中統計得到中學生暑期游學支出（單位：百元）頻率分布方圖如圖.（I）求實數的值；（Ⅱ）在，，三組中利用分層抽樣抽取人，并從抽取的人中隨機選出人，對其消費情況進行進一步分析.（i）求每組恰好各被選出人的概率；（ii）設為選出的人中這一組的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用復數的乘法法則將復數表示為一般形式，可得出復數的虛部.【詳解】，因此，復數的虛部為，故選A.本題考查復數的概念與復數的乘法運算，對于復數問題，一般是利用復數的四則運算將復數表示為一般形式，進而求解，考查計算能力，屬于基礎題.2、B【解析】分析：由題意結合流程圖運行程序即可確定程序的輸出結果.詳解：結合所給的流程圖運行程序如下：首先初始化數據：，第一次循環：，,，此時不滿足；第二次循環：，,，此時不滿足；第三次循環：，,，此時不滿足；一直循環下去，第十次循環：，,，此時滿足，跳出循環.則輸出的.本題選擇B選項.點睛：識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環結構．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．3、D【解析】

利用等體積法求水面下降高度?！驹斀狻壳虻捏w積等于水下降的體積即，．答案：D．利用等體積法求水面下降高度。4、A【解析】試題分析：模擬法：S=0,n=1S=12S=-12S=0,n=7,n>5，輸出S=0，故選A．考點：程序框圖．5、D【解析】

利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面的法向量，結合，利用空間向量夾角余弦公式求出與所求法向量的夾角余弦，進而可得結果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，為平行四邊形，由得，，，，設為平面的法向量，顯然不垂直于平面，故可設，，即，，所以，又，設與的夾角為，則，到平面的距離為，故選D.本題主要考查利用空間向量求點面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.6、C【解析】

通過作出圖形，分別找出正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側面與底面所成角，通過計算余弦值比較大小即可知道角度大小關系.【詳解】如圖，正三棱錐，正四棱錐，正五棱錐，設各棱長都為2，在正三棱錐中，取AC中點D，連接PD,BD，可知即為側面與底面所成角，可知，，由余弦定理得；同理，，于是，而由于為銳角，所以，故選C.本題主要考查面面角的相關計算，意在考查學生的轉化能力，空間想象能力，計算能力，難度中等.7、A【解析】根據題意，要求有4個空車位連在一起，則將4個空車位看成一個整體，將這個整體與8輛不同的車全排列,有種不同的排法，即有種不同的停車方法；故選A.點睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．8、B【解析】若，，故命題①假；若“”是假命題，則至多有一個是真命題，故命題②是假命題；依據全稱命題與特征命題的否定關系可得命題“”的否定是“”，即命題③是真命題，應選答案B．9、D【解析】結合函數圖像可得：，，結合周期公式有：，且當時，，令可得：，據此可得函數的解析式為：.本題選擇D選項.點睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.10、D【解析】

運用復數除法的運算法則可以直接求出復數的表達式.【詳解】，故本題選D.本題考查了復數的除法運算法則，考查了數學運算能力.11、C【解析】由樣本數據得到的回歸方程必過樣本中心，正確；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確用相關指數R2來刻畫回歸效果,R2越大，說明模型的擬合效果越好，不正確，線性相關系數|r|越大，兩個變量的線性相關性越強，故正確。故選：C.12、A【解析】

根據方程和函數的關系轉化為函數，利用參數分離法，構造函數，求函數的導數，研究函數的單調性和極值，利用數形結合進行求解即可．【詳解】當x=0時，0=0，∴0為方程的一個根．當x＞0時，方程|x4﹣x3|=ax等價為a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，∴f（x）在(0,)上遞減，在上遞增，又f（1）=0，∴當x=時，函數f（x）取得極小值f（）=﹣，則|f（x）|取得極大值|f（）|=，∴設的圖象如下圖所示，則由題可知當直線y=a與g（x）的圖象有3個交點時0＜a＜，此時方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4個不同的實根，故．故答案為：A（1）本題主要考查函數與方程的應用，考查利用導數求函數的單調區間，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合分析推理能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是分離參數得到a=|x3﹣x2|，其二是利用導數分析函數的單調性得到函數的圖像.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、540【解析】

根據題意可知有3種不同的分組方法，依次求出每種的個數再相加即得．【詳解】由題可知6名學生不同的分組方法有三類：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，2.所以不同的選擇方法共有種.本題考查計數原理，章節知識點涵蓋全面．14、3【解析】

現求出樣本的中心點，再代入回歸直線的方程，即可求得的值.【詳解】由題意可得，因為對的回歸直線方程是，所以，解得.本題主要考查了回歸直線方程的應用，其中解答的關鍵是利用回歸直線方程恒過樣本中心點，代入求解，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

∵圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴只需圓C′：（x-4）2+y2=4與直線y=kx-2有公共點即可．設圓心C（4，0）到直線y=kx-2的距離為d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知參數k的最大值為.16、1【解析】分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件T=1+3+5+7時i的值．詳解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加T=1+3+5+7，并輸出滿足條件時i值．∵T=1+3+5+7=16≥10，故輸出的i值為7+2=1．故答案為1．點睛：根據流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數據（如果參與運算的數據比較多，也可使用表格對數據進行分析管理）?②建立數學模型，根據第一步分析的結果，選擇恰當的數學模型③解模．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）見解析【解析】

（1）寫出列聯表后可計算，根據預測值表可得沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關.（2）（i）文科生與理科生的比為，據此可計算出文科生和理科生的人數.（ii）利用超幾何分布可計算的分布列及其數學期望.【詳解】解：（1）依題意填寫列聯表如下：比較了解不太了解合計理科生422870文科生121830合計5446100計算，沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關.（2）（i）抽取的文科生人數是（人），理科生人數是（人）.（ii）的可能取值為0,1,2,3，則，，，.其分布列為0123所以.本題考查獨立性檢驗、分層抽樣及超幾何分布，注意在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）有的把握認為“認為作業量大”與“性別”有關.【解析】

（I）由已知中在這50人中隨機抽取2人，這2人都“認為作業量大”的概率為，求出認為作業量大的人數，可得列聯表；（Ⅱ）根據列聯表的數據，計算的值，與臨界值比較后可得答案；【詳解】（Ⅰ）設認為作業量大的共有個人，則，即，解得或（舍去）；認為作業量大認為作業量不大合計男生18826女生71724合計252550（Ⅱ）根據列聯表中的數據，得.因此有的把握認為“認為作業量大”與“性別”有關.本題主要考查了獨立性檢驗的計算與應用，其中解答中認真審題，得出的列聯表，以及利用公式準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．19、（1）函數在區間上單調遞減，在上單調遞增；（2）.【解析】

（1）函數求導，根據導函數的正負判斷函數的單調性.（2）設，求導，根據函數的單調性求函數的最值，得到，再設函數根據函數的最值計算的最大值.【詳解】（1）由已知得，令，則由得，由，得所以函數在區間上單調遞減，在上單調遞增.（2）若恒成立，即恒成立當時，恒成立，則；當時，為增函數，由得，故，.當時，取最小值.依題意有，即，，令，則，，所以當，取最大值，故當時，取最大值.綜上，若，則的最大值為.