甘肅省蘭州市第四中學2024-2025學年數學高二第二學期期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A=A．x0<x≤3 B．x0≤x≤3 C．x2．已知直線與直線垂直，則的關系為（）A． B． C． D．3．執行下面的程序框圖，若輸出的結果為，則判斷框中的條件是（）A． B． C． D．4．4名男歌手和2名女歌手聯合舉行一場音樂會，出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場方案的種數是（）A． B． C． D．5．已知復數z=1-i，則z2A．2 B．-2 C．2i D．-2i6．已知扇形的圓心角為弧度，半徑為，則扇形的面積是（）A． B． C． D．7．有個人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數為（）A． B． C． D．8．已知函數,若是函數唯一的極值點,則實數的取值范圍為()A． B． C． D．9．已知關于的實系數一元二次方程的一個根在復平面上對應點是，則這個方程可以是（）A． B．C． D．10．若集合，，若，則的值為（）A． B． C．或 D．或11．已知函數.若不等式的解集中整數的個數為3，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．12．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內所有直線與l異面B．α內只存在有限條直線與l共面C．α內存在唯一的直線與l平行D．α內存在無數條直線與l相交二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則__________．14．點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是__.15．函數f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)，(a>0且a≠1)是R上的減函數，則16．已知f(x)是奇函數，且當x∈(0,2)時，f(x)＝lnx－ax()，當x∈(－2,0)時，f(x)的最小值是1，則a＝__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，，(其中).（1）時,求函數的極值;（2）證：存在，使得在內恒成立，且方程在內有唯一解.18．（12分）互聯網正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現金支付成為人們首選的支付方式.某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調查研究.采用調查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發現共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數學期望.19．（12分）已知橢圓:的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為、.（1）求橢圓的方程；（2）設不經過點A的直線與橢圓交于P、Q兩點，且,試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.20．（12分）已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．21．（12分）盒子中放有大小形狀完全相同的個球，其中個紅球，個白球.（1）某人從這盒子中有放回地隨機抽取個球，求至少抽到個紅球的概率；（2）某人從這盒子中不放回地從隨機抽取個球，記每抽到個紅球得紅包獎勵元，每抽到個白球得到紅包獎勵元，求該人所得獎勵的分布列和數學期望.22．（10分）設數列的前項和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先化簡求出集合A，B，進而求出A∩B．【詳解】∵集合A={x|x-3xB={x|x≥0}，∴A∩B={x|0＜x≤3}．故選：A．本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2、C【解析】

根據兩直線垂直，列出等量關系，化簡即可得出結果.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，即選C根據兩直線垂直求出參數的問題，熟記直線垂直的充要條件即可，屬于常考題型.3、C【解析】

根據已知的程序語句可得，該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，即可得出答案.【詳解】解：當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，滿足輸出結果為，故進行循環的條件，應為：.故選：C.本題考查程序框圖的應用，屬于基礎題.4、D【解析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列，利用排列組合的知識和分步計數原理求解即可.【詳解】根據題意，分兩步進行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時對兩名女歌手進行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列有種選擇，由分步計數原理可得，共有出場方案的種數為.故選：D本題考查利用捆綁法和分步乘法計數原理，結合排列數公式求解排列組合問題；考查運算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個計數原理是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.5、A【解析】解：因為z=1-i，所以z26、D【解析】

利用扇形面積公式（為扇形的圓心角的弧度數，為扇形的半徑），可計算出扇形的面積.【詳解】由題意可知，扇形的面積為，故選D.本題考查扇形面積的計算，意在考查扇形公式的理解與應用，考查計算能力，屬于基礎題.7、C【解析】總排法數為，故選C．點睛：本題是排列中的相鄰問題，用“捆綁法”求解，解決此問題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個人，和其他3人看作是4人進行排列，第二步這三人之間也進行排列，然后用乘法原理可得解．8、A【解析】分析：由的導函數形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根.詳解：函數的定義域是，，是函數唯一的極值點,是導函數的唯一根，在無變號零點，即在上無變號零點，令，，在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為，必須.故選A.點睛：本題考查由函數的導函數確定極值問題，對參數需要進行討論.9、A【解析】

先由題意得到方程的兩復數根為，(為虛數單位)，求出，，根據選項，即可得出結果.【詳解】因為方程的根在復平面內對應的點是，可設根為：，(為虛數單位)，所以方程必有另一根，又，，根據選項可得，該方程為.故選A本題主要考查復數的方程，熟記復數的運算法則即可，屬于常考題型.10、A【解析】

先解出集合，由，得出，于此可得知實數的值.【詳解】解方程，即，得，由于，，則，，，，故選：A.本題考查集合間的包含關系，利用包含關系求參數的值，解本題的關鍵就是將集合表示出來，考查計算能力，屬于基礎題。11、D【解析】

將問題變為，即有個整數解的問題；利用導數研究的單調性，從而可得圖象；利用恒過點畫出圖象，找到有個整數解的情況，得到不等式組，解不等式組求得結果.【詳解】由得：，即：令，當時，；當時，在上單調遞減；在上單調遞增，且，由此可得圖象如下圖所示：由可知恒過定點不等式的解集中整數個數為個，則由圖象可知：，即，解得：本題正確選項：本題考查根據整數解的個數求解參數取值范圍的問題，關鍵是能夠將問題轉化為曲線和直線的位置關系問題，通過數形結合的方式確定不等關系.12、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.本題主要考查直線與平面的位置關系，直線與直線的位置關系，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：對函數的解析式求導，得到其導函數，把代入導函數中，列出關于的方程，進而得到的值.詳解：因為，所以，令，得到，解得，故答案為.點睛：本題主要考查了導數的運算，運用求導法則得出函數的導函數，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于基礎題.14、[﹣，0]【解析】

建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計算?x2﹣x，利用二次函數的性質求得它的值域即可．【詳解】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數的性質可得，當x＝y時，?取得最小值為；當x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]．故答案為：[，0]．本題主要考查了向量在幾何中的應用與向量的數量積運算問題，是綜合性題目．15、(0,【解析】試題分析：因為函數f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)(a>0且a≠1)是R上的減函數，即?．故其每一段都為減函數，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；故答案為考點：分段函數的單調性.【方法點晴】本題是對分段函數單調性的考查，難度適中，容易進入陷阱，要想整個函數單調遞減，前提必須為分段函數的每一段都有自己的單調性，所以在研究整函數的單調性時每一段都在考查范圍內．當函數為減函數時，故其每一段都為減函數，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；當函數為增函數時，故其每一段都為增函數，且前一段的最大值須小于等于后一段的最小值.16、1【解析】由題意，得x∈(0,2)時，f(x)＝lnx－ax(a＞)有最大值－1，f′(x)＝－a，由f′(x)＝0得x＝∈(0,2)，且x∈(0，)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，x∈(，2)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，則f(x)max＝f()＝ln－1＝－1，解得a＝1.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；;(2)見解析.【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）求出f（x）的導數，通過討論m的范圍，求出f（x）的單調區間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結論即可．【詳解】解：（I）當時,,令,得,,當變化時,的變化如下表:極大值極小值由表可知,；；（II）設，，，若要有解，需有單減區間，則要有解，由，，記為函數的導數則，當時單增，令，由，得，需考察與區間的關系：①當時，，，在上，單增，故單增，，無解；②當，時，，，因為單增，在上，在上當時，（i）若，即時，，單增，，無解；（ii）若，即，，在上，，單減；，，在區間上有唯一解，記為；在上，單增，，當時，故在區間上有唯一解，記為，則在上，在上，在上，當時，取得最小值，此時若要恒成立且有唯一解，當且僅當，即，由有聯立兩式解得.綜上，當時，本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、函數恒成立問題，是一道綜合題．18、（1）；（2）440【解析】

（1）先計算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數”滿足二項分布，求得銷售額的表達式，然后利用期望計算公式，計算出銷售額的期望.【詳解】（1）設事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機支付作為首選支付方式的概率為.設表示銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數，則，設表示銷售額，則，所以銷售額的數學期望（元）.本小題主要考查利用對立事件來計算古典概型概率問題，考查二項分布的識別和期望的計算，考查隨機變量線性運算后的數學期望的計算.19、（1）（2）直線過定點【解析】

（1）根據圓的圓心和半徑寫出圓的標準方程，令求得圓與軸交點的坐標，由此列方程組求得的值，進而求得橢圓的標準方程.（1）根據，利用點斜式設出直線的方程，并分別代入橢圓方程解出兩點的坐標，由此求得直線的方程，由此求得定點的坐標為.【詳解】解：（1）依題意知點A的坐標為，則以點A圓心，以為半徑的圓的方程為:，令得，由圓A與y軸的交點分別為、可得，解得，故所求橢圓的方程為.（2）由得，可知PA的斜率存在且不為0，設直線-①則-②將①代入橢圓方程并整理得，可得，則，類似地可得，由直線方程的兩點式可得：直線的方程為，即直線過定點，該定點的坐標為.本小題主要考查圓的標準方程和幾何性質，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線方程的兩點式以及直線過定點的問題.屬于中檔題.要求直線和橢圓的交點坐標，需要聯立直線和橢圓的方程，解方程組求得，這里需要較強的運算能力.直線過定點的問題，往往是將含有參數的部分合并，由此求得直線所過的定點.20、（1）8（2）[－2,0].【解析】

（1）根據函數f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；（2）由于函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，進而在滿足|f（x）|≤1在區間（0，1]恒成立時，求出即可．【詳解】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，從而|f(x)|≤1在區間(0，1]上恒成立等價于－1≤x2＋bx≤1在區間(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.又－x的最小值為0，－－x的最大值為