1、第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理第四章第四章根軌跡法根軌跡法第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理根軌跡法是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布，用作圖的方法簡便地確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而對系統(tǒng)的特性進(jìn)行定性分析和定量計算。根軌跡的基本條件，常規(guī)根軌跡繪制的基本規(guī)則，廣義根軌跡的繪制，用根軌跡圖確定閉環(huán)極點及系統(tǒng)性能指標(biāo)。介紹了如何利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。內(nèi)內(nèi)容容提提要要第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于閉環(huán)系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)性能主要

2、取決于閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點），所以控制系統(tǒng)的動特征方程的根（閉環(huán)極點），所以控制系統(tǒng)的動態(tài)設(shè)計，關(guān)鍵就是合理地配置閉環(huán)極點。態(tài)設(shè)計，關(guān)鍵就是合理地配置閉環(huán)極點。調(diào)整開調(diào)整開環(huán)增益是改變閉環(huán)極點的常用辦法環(huán)增益是改變閉環(huán)極點的常用辦法。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v19481948年伊凡思年伊凡思(W.R.Evans)(W.R.Evans)提出了根軌跡法，它不提出了根軌跡法，它不直接求解特征方程直接求解特征方程, ,而用圖解法來確定系統(tǒng)的閉環(huán)而用圖解法來確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。特征根。 所謂根軌跡，就是系統(tǒng)的某個參數(shù)連續(xù)變化所謂根軌跡，就是系統(tǒng)的某個參

3、數(shù)連續(xù)變化時，閉環(huán)特征根在復(fù)平面上畫出的軌跡。如果這時，閉環(huán)特征根在復(fù)平面上畫出的軌跡。如果這個參數(shù)是開環(huán)增益，在根軌跡上就可以根據(jù)已知個參數(shù)是開環(huán)增益，在根軌跡上就可以根據(jù)已知的的開環(huán)增益找到相應(yīng)的閉環(huán)特征根開環(huán)增益找到相應(yīng)的閉環(huán)特征根；也可以根據(jù)；也可以根據(jù)期望的閉環(huán)特征根確定開環(huán)增益。期望的閉環(huán)特征根確定開環(huán)增益。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理繪制根軌跡曾經(jīng)是枯燥繁瑣的工作，繪制根軌跡曾經(jīng)是枯燥繁瑣的工作，MATLAB的的出現(xiàn)使這項工作變得輕松愉快，如今在計算機(jī)上出現(xiàn)使這項工作變得輕松愉快，如今在計算機(jī)上一分鐘就能繪制一張精確的根軌跡圖。一分鐘就能繪制一

4、張精確的根軌跡圖。本章注意繼承傳統(tǒng)根軌跡法中的精華，也注意吸本章注意繼承傳統(tǒng)根軌跡法中的精華，也注意吸納根軌跡法的最新進(jìn)展。具體選材上，側(cè)重根軌納根軌跡法的最新進(jìn)展。具體選材上，側(cè)重根軌跡的相角條件和基本規(guī)則，主推跡的相角條件和基本規(guī)則，主推MATLAB繪制根繪制根軌跡，突出如何有效地運(yùn)用根軌跡法。軌跡，突出如何有效地運(yùn)用根軌跡法。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v考慮圖示負(fù)反饋控制系統(tǒng)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為：考慮圖示負(fù)反饋控制系統(tǒng)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為： 則該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：則該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：) 2)(1()()( sssKsHsG02323 Kss

5、s4.1根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理當(dāng)當(dāng)K從零到無窮大連續(xù)變化時，閉環(huán)極點在從零到無窮大連續(xù)變化時，閉環(huán)極點在S平面平面(復(fù)平面復(fù)平面)上畫出的根軌跡如圖所示。上畫出的根軌跡如圖所示。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v當(dāng)開環(huán)增益當(dāng)開環(huán)增益K從零到無窮大連續(xù)變化時，閉環(huán)極點在從零到無窮大連續(xù)變化時，閉環(huán)極點在S平面平面(復(fù)平面復(fù)平面)上移動畫上移動畫出的軌跡圖即根軌跡圖。出的軌跡圖即根軌跡圖。從上述根軌跡圖從上述根軌跡圖中可以看到：中可以看到：當(dāng)當(dāng)0K0.385時有時有兩個閉環(huán)極點成為共軛復(fù)數(shù)。兩

6、個閉環(huán)極點成為共軛復(fù)數(shù)。只要只要0Km時，開始于時，開始于n個開環(huán)極點的個開環(huán)極點的n支根軌跡，有支根軌跡，有m支終止支終止于開環(huán)零點，有于開環(huán)零點，有n-m支終止于無窮遠(yuǎn)處。支終止于無窮遠(yuǎn)處。 因為因為，終點終點就是就是K的點，要的點，要K只有兩種情況，一種只有兩種情況，一種是是s=zl，另一種是，另一種是s。這時，無窮遠(yuǎn)處也稱為。這時，無窮遠(yuǎn)處也稱為“無窮遠(yuǎn)無窮遠(yuǎn)零點零點”。 當(dāng)當(dāng)nm時，終止于時，終止于m個開環(huán)零點個開環(huán)零點m支根軌跡，有支根軌跡，有n支來自支來自n個開環(huán)極點，有個開環(huán)極點，有m-n支來自無窮遠(yuǎn)處。支來自無窮遠(yuǎn)處。 必需必需指出，實際系統(tǒng)極少有指出，實際系統(tǒng)極少有nm時，

7、根軌跡一定有時，根軌跡一定有nm支趨向無窮遠(yuǎn)；當(dāng)支趨向無窮遠(yuǎn)；當(dāng)nm時，時，根軌跡一定有根軌跡一定有mn支來自無窮遠(yuǎn)。可以證明：支來自無窮遠(yuǎn)。可以證明：當(dāng)當(dāng)nm時，根軌跡存在時，根軌跡存在|nm|支漸近線，且漸近線與實軸支漸近線，且漸近線與實軸的夾角為：的夾角為： 所有漸近線交于實軸上的一點，其坐標(biāo)為所有漸近線交于實軸上的一點，其坐標(biāo)為1| , 2 , 1 , 0,180)12(0 mnkmnkk mnzpmllnii 11 規(guī)則規(guī)則3：漸近線：漸近線第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理實軸上的開環(huán)零點和開環(huán)極點將實軸分為若干段，對其中實軸上的開環(huán)零點和開環(huán)極點將實

8、軸分為若干段，對其中任一段，如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)是奇數(shù)，任一段，如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)是奇數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。那么該段就一定是根軌跡的一部分。 規(guī)則規(guī)則4：實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v該規(guī)則用相角條件可以證明，該規(guī)則用相角條件可以證明，設(shè)設(shè)實軸上有一試驗點實軸上有一試驗點s0。任任一對共軛開環(huán)零點或共軛極點（如一對共軛開環(huán)零點或共軛極點（如p2，p3），與其對應(yīng)的），與其對應(yīng)的相角（如相角（如2，3）之和均為）之和均為360，也就是說任一對共軛開環(huán)，也就是說任一對共軛開環(huán)零、極點不影響

9、實軸上試驗點零、極點不影響實軸上試驗點s0的相角條件。的相角條件。對于在對于在試驗點試驗點s0左邊實軸上的任一開環(huán)零、極點，與其對應(yīng)左邊實軸上的任一開環(huán)零、極點，與其對應(yīng)的相角（如的相角（如4，3）均為）均為0。而而試驗點試驗點s0右邊實軸上任一開環(huán)零、極點，與其對應(yīng)的相角右邊實軸上任一開環(huán)零、極點，與其對應(yīng)的相角（如（如1，1，2）均為）均為180。 所以所以要滿足相角條件，要滿足相角條件，s0右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)必右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)必須是奇數(shù)。須是奇數(shù)。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v根軌跡與虛軸的交點是臨界穩(wěn)定點。將根軌跡與虛軸的交點是

10、臨界穩(wěn)定點。將s=j代入閉環(huán)特征代入閉環(huán)特征方程，令特征方程的實部和虛部分別等于零，可以解出方程，令特征方程的實部和虛部分別等于零，可以解出0和和K0。用勞斯（。用勞斯（Roth）判據(jù)也可以求得）判據(jù)也可以求得K0。 v當(dāng)從當(dāng)從K零變到無窮大時，根軌跡可能出現(xiàn)先會合后分離，零變到無窮大時，根軌跡可能出現(xiàn)先會合后分離，這樣的點稱分離點。分離點對應(yīng)重閉環(huán)極點。這樣的點稱分離點。分離點對應(yīng)重閉環(huán)極點。 顯然，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間一定有分離顯然，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間一定有分離點，因為任何一條根軌跡不可能開始于一個開環(huán)極點終止點，因為任何一條根軌跡不可能開始于一個開環(huán)極點終止

11、于另一個開環(huán)極點。同理，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)于另一個開環(huán)極點。同理，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)零點之間也一定有分離點。零點之間也一定有分離點。規(guī)則規(guī)則5：根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸的交點第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v當(dāng)從當(dāng)從K零變到無窮大時，根軌跡可能出現(xiàn)先會合后分離，零變到無窮大時，根軌跡可能出現(xiàn)先會合后分離，這樣的點稱分離點。分離點對應(yīng)重閉環(huán)極點。這樣的點稱分離點。分離點對應(yīng)重閉環(huán)極點。 顯然，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間一定有分離顯然，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間一定有分離點，因為任何一條根軌跡不可能開始于一個開環(huán)極點終止點，因

12、為任何一條根軌跡不可能開始于一個開環(huán)極點終止于另一個開環(huán)極點。同理，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)于另一個開環(huán)極點。同理，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)零點之間也一定有分離點。零點之間也一定有分離點。規(guī)則規(guī)則6：根軌跡的分離點：根軌跡的分離點第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 當(dāng)然當(dāng)然，分離點也可以是復(fù)數(shù)，兩個相鄰的開環(huán)復(fù)極點（或，分離點也可以是復(fù)數(shù)，兩個相鄰的開環(huán)復(fù)極點（或零點）之間可能有分離點。對實際系統(tǒng)，依據(jù)規(guī)則零點）之間可能有分離點。對實際系統(tǒng)，依據(jù)規(guī)則14基基本就能確定有無分離點。本就能確定有無分離點。基于分離點是重閉環(huán)極點的事實可以證明，分離點的座標(biāo)基于分離點

13、是重閉環(huán)極點的事實可以證明，分離點的座標(biāo)，是下列代數(shù)方程的解：，是下列代數(shù)方程的解： 必須必須說明的是，方程只是必要條件而非充分條件。也就是說明的是，方程只是必要條件而非充分條件。也就是說，方程的解不一定是分離點，是否是分離點還要看其它說，方程的解不一定是分離點，是否是分離點還要看其它規(guī)則。規(guī)則。 mllniizp1111 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v根軌跡從某個開環(huán)極點出發(fā)時的切線與實軸的夾角稱為出根軌跡從某個開環(huán)極點出發(fā)時的切線與實軸的夾角稱為出射角；根軌跡進(jìn)入某個開環(huán)零點的切線與實軸的夾角稱為射角；根軌跡進(jìn)入某個開環(huán)零點的切線與實軸的夾角稱為入射角。

14、用相角條件不難證明，入射角。用相角條件不難證明，根軌跡從開環(huán)極點根軌跡從開環(huán)極點pi出發(fā)的出射角為：出發(fā)的出射角為：根軌跡進(jìn)入某個開環(huán)零點根軌跡進(jìn)入某個開環(huán)零點Zl的的入射角為：入射角為： )()(18011jinijjjimjpppzpi )()(18011jlnjjlmljjzpzzzl 規(guī)則規(guī)則7：根軌跡的出射角和入射角：根軌跡的出射角和入射角第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v上述規(guī)則對繪制根軌跡很有幫助，根據(jù)上述規(guī)則對繪制根軌跡很有幫助，根據(jù)規(guī)則規(guī)則14就能很快就能很快地畫出大致形狀，再按規(guī)則地畫出大致形狀，再按規(guī)則5求出臨界增益求出臨界增益K0，這樣的

15、根軌，這樣的根軌跡圖就很有用了，一般稱其為概略圖。跡圖就很有用了，一般稱其為概略圖。 除非系統(tǒng)階次很低，否則除非系統(tǒng)階次很低，否則根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則6，求解方程求分離點，求解方程求分離點決非易事；決非易事；根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則7，計算出射角和入射角也不簡單，并，計算出射角和入射角也不簡單，并且出射角和入射角的意義并不大，因為它僅僅反映了開環(huán)且出射角和入射角的意義并不大，因為它僅僅反映了開環(huán)極、零點處根軌跡的走向，稍遠(yuǎn)一點就不起作用了。極、零點處根軌跡的走向，稍遠(yuǎn)一點就不起作用了。 所以，所以，畫根軌跡最有用的是規(guī)則畫根軌跡最有用的是規(guī)則15，如果想得到更精確，如果想得到更精確的根軌跡圖，只有使用的根

16、軌跡圖，只有使用Matlab。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v仍然考慮前面舉例的負(fù)反饋控制系統(tǒng)，按仍然考慮前面舉例的負(fù)反饋控制系統(tǒng)，按7 7個基本規(guī)則繪個基本規(guī)則繪制根軌跡圖。制根軌跡圖。首先，系統(tǒng)有三個無窮遠(yuǎn)零點，有三個開環(huán)極點：首先，系統(tǒng)有三個無窮遠(yuǎn)零點，有三個開環(huán)極點： p1=0，p2=-1，p3=-2 將將它們標(biāo)在復(fù)平面上，開環(huán)極點的位置用它們標(biāo)在復(fù)平面上，開環(huán)極點的位置用表示；開環(huán)表示；開環(huán)零點的位置用零點的位置用o表示。表示。根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則1和規(guī)則和規(guī)則2，根軌跡將有，根軌跡將有3條分支，分別開始于這條分支，分別開始于這三個開環(huán)極點，趨向無窮遠(yuǎn)。

17、三個開環(huán)極點，趨向無窮遠(yuǎn)。 ) 2)(1()()( sssKsHsG3.繪圖示例繪圖示例第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則3，根軌跡有，根軌跡有3根漸近線，它們與實軸的夾角是：根漸近線，它們與實軸的夾角是： 所有所有漸近線交于實軸上的一點，其坐標(biāo)為：漸近線交于實軸上的一點，其坐標(biāo)為：根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則4，實軸上的，實軸上的-1，0段是根軌跡的一部分；實軸段是根軌跡的一部分；實軸上的上的(-，-2段也是根軌跡的一部分。實際上后者就是從段也是根軌跡的一部分。實際上后者就是從開環(huán)極點開環(huán)極點p3出發(fā)趨向無窮遠(yuǎn)的一支，與漸近線的分析一致，出發(fā)趨向無窮遠(yuǎn)的一支

18、，與漸近線的分析一致，這一支已經(jīng)是精確圖形了這一支已經(jīng)是精確圖形了。 30018060210,3180)12(2100 ，kkk13210 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則5，可以確定根軌跡與虛軸的交點。先用勞斯判，可以確定根軌跡與虛軸的交點。先用勞斯判據(jù)，據(jù)，根據(jù)特征方程系數(shù)列出勞斯陣列為：根據(jù)特征方程系數(shù)列出勞斯陣列為： 使使第一列第一列中中s1項項等于零，可以求得等于零，可以求得K=6。通過求解由。通過求解由s2行行得出的輔助得出的輔助方程方程 3s2+K =3s2+6=0，可以求得根軌跡與可以求得根軌跡與虛軸的交點為虛軸的交點為 ，交點處

19、的頻率為，交點處的頻率為 。KsKsKss012336321 2js 2 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理另一種確定與虛軸交點的方法是，另一種確定與虛軸交點的方法是，令特征方程中的令特征方程中的s =j得：得： 令上式中的實部和虛部分別等于零，可以得到令上式中的實部和虛部分別等于零，可以得到=0，K=0或或 。因此根軌跡在。因此根軌跡在 處與虛軸相交，處與虛軸相交，交點處交點處K=6。實軸上的。實軸上的根軌跡在根軌跡在=0處也處也與虛軸相交。與虛軸相交。根軌跡在實軸上根軌跡在實軸上的的-1，0段有一個分離點，根據(jù)段有一個分離點，根據(jù)規(guī)則規(guī)則6，有有 整理整理得得

20、： 32+6+2=0 解解得得=-0.423，=1.577，顯然只有，顯然只有-0.423在根軌跡上。在根軌跡上。0)2()3(2)( 3)(3223 jKKjjj6,2 K 2 021111 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理根軌跡從根軌跡從p1，p2，p3出發(fā)的出射角已經(jīng)很明確，為了驗證出發(fā)的出射角已經(jīng)很明確，為了驗證規(guī)則規(guī)則7，還可計算一下：還可計算一下： 180180180180,01800180pp 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理以上根據(jù)基本規(guī)則畫出的根軌跡仍然是概略圖，它在實軸上以上根據(jù)基本規(guī)

21、則畫出的根軌跡仍然是概略圖，它在實軸上的的根軌跡、漸近線、與虛軸的交點是準(zhǔn)確的，其它部分就不根軌跡、漸近線、與虛軸的交點是準(zhǔn)確的，其它部分就不準(zhǔn)確了。要做到根軌跡圖準(zhǔn)確，按傳統(tǒng)方法要用試驗點的辦準(zhǔn)確了。要做到根軌跡圖準(zhǔn)確，按傳統(tǒng)方法要用試驗點的辦法進(jìn)行細(xì)化，很繁瑣也不可能有高的精度；按現(xiàn)代方法用法進(jìn)行細(xì)化，很繁瑣也不可能有高的精度；按現(xiàn)代方法用MatlabMatlab可以快而準(zhǔn)地繪出高精度根軌跡圖可以快而準(zhǔn)地繪出高精度根軌跡圖。顯然，基本規(guī)則是具有指導(dǎo)意義的，但在一些特定的情況中，顯然，基本規(guī)則是具有指導(dǎo)意義的，但在一些特定的情況中，僅依靠基本規(guī)則可能方案不唯一，下面舉例說明：僅依靠基本規(guī)則可

22、能方案不唯一，下面舉例說明： 如前面圖示的負(fù)反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為如前面圖示的負(fù)反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為11,)(1()3()()(2 aasssssKsHsG第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理(b)(a)如果按基本規(guī)則，圖如果按基本規(guī)則，圖(a)和圖和圖(b)兩種形狀都有可能性，實際兩種形狀都有可能性，實際上用上用Matlab繪出是圖繪出是圖6(a)，當(dāng)，當(dāng)a增加時根軌跡的中間部分在增加時根軌跡的中間部分在變化，當(dāng)變化，當(dāng)a =12時時Matlab繪出根軌跡如圖繪出根軌跡如圖(b)。 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理

23、v有時系統(tǒng)需要調(diào)整的不是開環(huán)增益有時系統(tǒng)需要調(diào)整的不是開環(huán)增益K，而是其它參數(shù)。在，而是其它參數(shù)。在這些情況下，如果能夠?qū)㈤]環(huán)特征方程變形，得到與典這些情況下，如果能夠?qū)㈤]環(huán)特征方程變形，得到與典型根軌跡方程相似的形式，就可以套用其繪制方法了。型根軌跡方程相似的形式，就可以套用其繪制方法了。v有時控制系統(tǒng)增加開環(huán)零點以改善動態(tài)性能，圖有時控制系統(tǒng)增加開環(huán)零點以改善動態(tài)性能，圖(a)所示所示系統(tǒng)就是一個例子，其中參數(shù)系統(tǒng)就是一個例子，其中參數(shù)T到底選多大？可以借助根到底選多大？可以借助根軌跡來確定。軌跡來確定。4.3特殊根軌跡圖特殊根軌跡圖第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動

24、控制原理該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： 上式兩邊同上式兩邊同除除s(1+5s)+5就就得到：得到： 將式中將式中的的T作為作為參量，它就是典型的根軌跡方程形式，參量，它就是典型的根軌跡方程形式，055)51( Tsss01)2 .0(1 ssTs第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理因為因為 所以等價為典型根軌跡方程后，相當(dāng)于所以等價為典型根軌跡方程后，相當(dāng)于 n=2，m=1，z1=0，p1,2=-0.1j0.95v注意注意： 這里這里的的z1，p1，p2并不是圖并不是圖(a)所示系統(tǒng)的開環(huán)零、極點所示系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，而是等價為典型根軌跡方程后，

25、等價系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，而是等價為典型根軌跡方程后，等價系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，這是與典型根軌跡的主要區(qū)別。這是與典型根軌跡的主要區(qū)別。)995. 01 . 0)(995. 01 . 0(1)2 . 0( sjsss第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理這樣，用基本規(guī)則就可繪出其根軌跡，這樣，用基本規(guī)則就可繪出其根軌跡，如圖如圖(b)所示。它明所示。它明確表示了圖確表示了圖(a)系統(tǒng)中，系統(tǒng)中，T 對對閉環(huán)極點的影響。閉環(huán)極點的影響。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v有時控制系統(tǒng)需增加開環(huán)極點，圖有時控制系統(tǒng)需增加開環(huán)極點，圖(a)所示系統(tǒng)

26、就是一個引所示系統(tǒng)就是一個引入濾波器而增加了開環(huán)極點的例子。入濾波器而增加了開環(huán)極點的例子。該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： 兩邊兩邊除除s(s+1)+K 得得0) 1() 1() 1)(1(2 sTsKssKTsss0)1()1(12 KsssTs(2)開環(huán)極點為參量的根軌跡開環(huán)極點為參量的根軌跡第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理將上將上式中的式中的K取固定常數(shù)，取固定常數(shù)，T作為參量，它就是典型根軌作為參量，它就是典型根軌跡方程的形式，相當(dāng)于跡方程的形式，相當(dāng)于n=2，m=3，n0)： 這時特征方程變成：這時特征方程變成： 對應(yīng)的相角條件變成：

27、對應(yīng)的相角條件變成：).()().()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG 0).()().()(12121 nmpspspszszszsK2 , 1 , 0,360)()(11 kkpszsinilml2.正反饋系統(tǒng)的根軌跡正反饋系統(tǒng)的根軌跡第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v這種情況主要發(fā)生在系統(tǒng)閉環(huán)為正反饋等特殊情況，比如這種情況主要發(fā)生在系統(tǒng)閉環(huán)為正反饋等特殊情況，比如有的多環(huán)控制系統(tǒng)將某個內(nèi)環(huán)設(shè)計為正反饋。有的多環(huán)控制系統(tǒng)將某個內(nèi)環(huán)設(shè)計為正反饋。由于由于相角條相角條件的改變，導(dǎo)致基本規(guī)則件的改變，導(dǎo)致基本規(guī)則3、4和和7必須修改。必須

28、修改。規(guī)則規(guī)則3：漸近線：漸近線與實軸的夾角為與實軸的夾角為規(guī)則規(guī)則4：實軸上的某一段如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極：實軸上的某一段如果其右邊實軸上的開環(huán)零、極點總數(shù)是偶數(shù)點總數(shù)是偶數(shù)，那么該段就一定是根軌跡的一部分。，那么該段就一定是根軌跡的一部分。規(guī)則規(guī)則7：根軌跡的出射角和入射角公式中的：根軌跡的出射角和入射角公式中的180，均改為，均改為360。1| , 2 , 1 , 0,3600 mnkmnkk 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 考慮前面圖示的反饋控制系統(tǒng)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為考慮前面圖示的反饋控制系統(tǒng)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為用用Matlab繪出根軌跡如圖，

29、它印證了上述三點改動。繪出根軌跡如圖，它印證了上述三點改動。 )3)(2()1()()( ssssKsHsG第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v考慮含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)：考慮含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)： 其其閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為： 當(dāng)當(dāng)K給定時它有無窮多個根，所以根軌跡有無窮多支。給定時它有無窮多個根，所以根軌跡有無窮多支。 方程方程就是就是 所以對應(yīng)的相角條件為：所以對應(yīng)的相角條件為：01)()( sKesHsGTs011 sKeTs11 sKeTs, 2, 1 , 0,180)12()1(10 kksesKeTsTs3.延遲環(huán)節(jié)的根軌跡延遲環(huán)節(jié)的根軌跡第第4章

30、章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 由于由于 e Ts =e jT = -= -T(弧度弧度) = - -T 57.3所以相角條件變成：所以相角條件變成：(s+1)=(2k+1)180- -T 57.3 當(dāng)當(dāng)k=0時相角條件為：時相角條件為：(s+1)=180- -T 57.3 如果復(fù)平面上任一點滿足如果復(fù)平面上任一點滿足，條件就在根軌跡上，否則就不在條件就在根軌跡上，否則就不在根軌跡上。條件還與根軌跡上。條件還與大小有關(guān)，若大小有關(guān)，若=0，實軸上滿足，實軸上滿足(s+1)=180的點的點就就在根軌跡上，顯然實軸上在根軌跡上，顯然實軸上(，1段上段上的點均在根軌跡上；再

31、如的點均在根軌跡上；再如=1直線上的點，如果試驗點直線上的點，如果試驗點s1滿滿足足(s+1)=180條件，條件，就在根軌跡就在根軌跡上，否則就不在根軌跡上，否則就不在根軌跡上。上。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 這樣，可以這樣，可以作出作出k=0時時的根軌跡如圖所示。的根軌跡如圖所示。當(dāng)當(dāng)k=1，2，時，相角條件各不相同，取時，相角條件各不相同，取T=1，根據(jù)各自，根據(jù)各自的相角條件可以繪出的相角條件可以繪出k=1，2，時的根軌跡圖。這樣的根時的根軌跡圖。這樣的根軌跡分支有無窮個。軌跡分支有無窮個。 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控

32、制原理第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理由圖可以看出，當(dāng)由圖可以看出，當(dāng)k=0時，臨界增益時，臨界增益K0=2，當(dāng)，當(dāng)k=1時，臨界時，臨界增益增益K0=8，當(dāng)當(dāng)k=2時，臨界增益時，臨界增益K0=14，即，即k 越大臨界越大臨界增益增益K0也越大。這是必然結(jié)果，因為臨界增益對應(yīng)根軌跡也越大。這是必然結(jié)果，因為臨界增益對應(yīng)根軌跡上上s=j的點，從相角條件知道的點，從相角條件知道s=j時時k越大越大越大，再從幅越大，再從幅值條件：值條件： 知道知道越大越大K也越大。所以在分析穩(wěn)定性時，只需看也越大。所以在分析穩(wěn)定性時，只需看k=0的的根軌跡圖就行了。根軌跡圖就行了。

33、|1|1| jejKj 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理用用Matlab繪制根軌跡圖十分準(zhǔn)確、快捷。現(xiàn)在用一個例子來說繪制根軌跡圖十分準(zhǔn)確、快捷。現(xiàn)在用一個例子來說明用法。明用法。 考慮本章開始所舉例的閉環(huán)負(fù)反饋控制系統(tǒng)，設(shè)考慮本章開始所舉例的閉環(huán)負(fù)反饋控制系統(tǒng)，設(shè)用用Matlab繪制根軌跡只要知道開環(huán)傳遞函數(shù)分子分母的系數(shù)，繪制根軌跡只要知道開環(huán)傳遞函數(shù)分子分母的系數(shù)，并分別填入分子向量并分別填入分子向量num和分母向量和分母向量den中，然后調(diào)用繪制中，然后調(diào)用繪制根軌跡的專用函數(shù)根軌跡的專用函數(shù)rlocus就行了就行了。)14 . 1)(6)(4()42(

34、)()(22 sssssssKsHsG4.4用用MATLAB繪制根軌跡圖繪制根軌跡圖第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理對于本例，最簡單的程序就是：對于本例，最簡單的程序就是： 在在Matlab的命令窗（的命令窗（CommandWindow）中執(zhí)行這個程）中執(zhí)行這個程序，運(yùn)行后就自動繪出根軌跡圖。序，運(yùn)行后就自動繪出根軌跡圖。從根軌跡圖可以看出：當(dāng)從根軌跡圖可以看出：當(dāng)0K14或或64Knum=124;den=111.63943.6240;rlocus(num,den) 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程

35、：自動控制原理課程：自動控制原理v在在MATLAB窗中，進(jìn)入窗中，進(jìn)入FileExport，可將繪出的根軌跡圖，可將繪出的根軌跡圖存為需要的圖形文件，比如命名為存為需要的圖形文件，比如命名為Exam2.pcx，這個圖形，這個圖形文件可以插入文件可以插入Word文擋。文擋。 與與繪制根軌跡有關(guān)的函數(shù)還有：繪制根軌跡有關(guān)的函數(shù)還有：pzmap繪制根軌跡的開環(huán)零、極點。繪制根軌跡的開環(huán)零、極點。rlocfind計算給定點的計算給定點的K值。值。sgrid在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數(shù)和自然頻率在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。柵格。zgrid在離散系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數(shù)和自然頻率

36、在離散系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。柵格。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理例如，在上列程序之后增加語句：例如，在上列程序之后增加語句： 執(zhí)行執(zhí)行后用光標(biāo)左單擊根軌跡上的任一點，會同時在每支根后用光標(biāo)左單擊根軌跡上的任一點，會同時在每支根軌跡上出現(xiàn)紅十字軌跡上出現(xiàn)紅十字標(biāo)出標(biāo)出n個閉環(huán)極點的位置，命令窗個閉環(huán)極點的位置，命令窗中出現(xiàn)這中出現(xiàn)這n個閉環(huán)極點的座標(biāo)該點和它們對應(yīng)的個閉環(huán)極點的座標(biāo)該點和它們對應(yīng)的K值。值。 也可以在也可以在MATLAB窗中進(jìn)入窗中進(jìn)入FilesNew，打開編輯器，在，打開編輯器，在編輯器窗口編寫上述程序，并創(chuàng)建一個編輯器窗口

37、編寫上述程序，并創(chuàng)建一個M文件，比如命名文件，比如命名為為ROT2.m，然后在命令窗中運(yùn)行文件名（，然后在命令窗中運(yùn)行文件名（ROT2）。）。k,p=rlocfind(num,den) 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v用根軌跡圖分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，比僅僅知道一組閉用根軌跡圖分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，比僅僅知道一組閉環(huán)極點要深刻得多。比如，環(huán)極點要深刻得多。比如，當(dāng)當(dāng)K在在(0，)間取值時，如果間取值時，如果n支根軌跡全部位于虛軸的支根軌跡全部位于虛軸的左邊，就意味著不管左邊，就意味著不管K取任何值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。取任何值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。反之反之，根軌

38、跡只要有一支全部位于虛軸的右邊，就意味，根軌跡只要有一支全部位于虛軸的右邊，就意味著不管著不管K取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不可能穩(wěn)定。取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不可能穩(wěn)定。這種情況下，這種情況下，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，就必須增加開環(huán)零、極點，即改變系統(tǒng)要使系統(tǒng)穩(wěn)定，就必須增加開環(huán)零、極點，即改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而不僅僅是改變系統(tǒng)的參數(shù)。的結(jié)構(gòu)，而不僅僅是改變系統(tǒng)的參數(shù)。4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析控制系統(tǒng)的根軌跡分析第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理如果根軌跡沒有任何一支全部位于虛軸右側(cè)，而如果根軌跡沒有任何一支全部位于虛軸右側(cè)，而是有一支或多支根軌跡，由是有一支或多支根軌跡，由s平面的一側(cè)穿

39、越虛軸平面的一側(cè)穿越虛軸進(jìn)入進(jìn)入s平面的另一側(cè)，就說明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定是有平面的另一側(cè)，就說明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定是有條件的。知道了根軌跡與虛軸交點處的條件的。知道了根軌跡與虛軸交點處的K值，就可值，就可以確定穩(wěn)定條件，進(jìn)而確定合適的以確定穩(wěn)定條件，進(jìn)而確定合適的K值。值。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理初學(xué)者初學(xué)者容易把開環(huán)極點和閉環(huán)極點混淆，因為畫容易把開環(huán)極點和閉環(huán)極點混淆，因為畫根軌跡圖時首先標(biāo)在圖上的是開環(huán)零極點，根軌根軌跡圖時首先標(biāo)在圖上的是開環(huán)零極點，根軌跡的起點又是開環(huán)極但，因此誤認(rèn)為根軌跡上的跡的起點又是開環(huán)極但，因此誤認(rèn)為根軌跡上的點都是開環(huán)極點，這

40、是不對的。根軌跡圖上除了點都是開環(huán)極點，這是不對的。根軌跡圖上除了起點和終點外，其它點都是閉環(huán)極點的可能取值。起點和終點外，其它點都是閉環(huán)極點的可能取值。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理但是開、閉環(huán)又具有相對性，在下圖示多環(huán)系統(tǒng)中，對于內(nèi)但是開、閉環(huán)又具有相對性，在下圖示多環(huán)系統(tǒng)中，對于內(nèi)環(huán)，環(huán)，G1(s)H1(s)是開環(huán)傳遞函數(shù)，其極點是開環(huán)極點；而閉是開環(huán)傳遞函數(shù)，其極點是開環(huán)極點；而閉環(huán)傳遞函數(shù)是環(huán)傳遞函數(shù)是1(s)=G1(s)/1+G1(s)H1(s)，其極點是閉環(huán)極，其極點是閉環(huán)極點。對于外環(huán)，點。對于外環(huán)，1(s)G2(s)H2(s)是開環(huán)傳遞函數(shù)，

41、其極點是是開環(huán)傳遞函數(shù)，其極點是外環(huán)的開環(huán)極點，外環(huán)的開環(huán)極點，1(s)的極點只是外環(huán)開環(huán)極點的一部分。的極點只是外環(huán)開環(huán)極點的一部分。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理可見，多環(huán)系統(tǒng)也可以用根軌跡進(jìn)行分析。一般，首先依可見，多環(huán)系統(tǒng)也可以用根軌跡進(jìn)行分析。一般，首先依據(jù)據(jù)G(s)H(s)的零、極點，繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖，選擇合適的零、極點，繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖，選擇合適的的K1使內(nèi)環(huán)穩(wěn)定；再依據(jù)使內(nèi)環(huán)穩(wěn)定；再依據(jù)1(s)G2(s)H2(s)的零、極點，繪制的零、極點，繪制外環(huán)的根外環(huán)的根軌跡圖，選擇合適的軌跡圖，選擇合適的K2使外環(huán)穩(wěn)定。使外環(huán)穩(wěn)定。第第4章章 根軌

42、跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理類似的問題還有開環(huán)穩(wěn)定性和閉環(huán)穩(wěn)定性，開環(huán)穩(wěn)定的充類似的問題還有開環(huán)穩(wěn)定性和閉環(huán)穩(wěn)定性，開環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)極點都位于要條件是開環(huán)極點都位于S平面的左半平面。平面的左半平面。 開環(huán)開環(huán)穩(wěn)定不意味著閉環(huán)穩(wěn)定，開環(huán)不穩(wěn)定也不意味著閉環(huán)穩(wěn)定不意味著閉環(huán)穩(wěn)定，開環(huán)不穩(wěn)定也不意味著閉環(huán)不穩(wěn)定，但是開環(huán)極點確實對閉環(huán)穩(wěn)定有著重要影響，因不穩(wěn)定，但是開環(huán)極點確實對閉環(huán)穩(wěn)定有著重要影響，因為開環(huán)零、極點對根軌跡圖有重要影響。為開環(huán)零、極點對根軌跡圖有重要影響。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v對于下圖所描述的系統(tǒng)，影響系統(tǒng)穩(wěn)定

43、性有三大因素：對于下圖所描述的系統(tǒng)，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性有三大因素：開環(huán)增益、開環(huán)極點、開環(huán)零點。開環(huán)增益的影響上面開環(huán)增益、開環(huán)極點、開環(huán)零點。開環(huán)增益的影響上面已經(jīng)討論，現(xiàn)在討論開環(huán)零、極點的影響。已經(jīng)討論，現(xiàn)在討論開環(huán)零、極點的影響。下面圖下面圖(a)(f)給出了對應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡圖。給出了對應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡圖。圖圖(a)、圖、圖(b)所對應(yīng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：所對應(yīng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：)2)(1()3()()(:)2)(1()()(:sssKsHsGbssKsHsGa圖圖2.開環(huán)零極點對系統(tǒng)的影響開環(huán)零極點對系統(tǒng)的影響第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理

44、)2)(1()()(:ssKsHsGa圖)2)(1()3()()(:sssKsHsGb圖第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 以圖以圖(a)所示系統(tǒng)為參照，在它基礎(chǔ)上增加開環(huán)零、極點，所示系統(tǒng)為參照，在它基礎(chǔ)上增加開環(huán)零、極點，研究它們對系統(tǒng)的影響。研究它們對系統(tǒng)的影響。當(dāng)當(dāng)K0時，圖時，圖(a)，(b)代表的系統(tǒng)代表的系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的始終是穩(wěn)定的第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 但圖但圖(b)代表的系統(tǒng)，可以選擇到一對比圖代表的系統(tǒng)，可以選擇到一對比圖(a)離虛軸更遠(yuǎn)離虛軸更遠(yuǎn)的閉環(huán)極點，這說明的閉環(huán)極點，這說明增加合適的位于虛軸左

45、側(cè)的開環(huán)零點增加合適的位于虛軸左側(cè)的開環(huán)零點，既可以增加穩(wěn)定裕度又可以提高快速性。既可以增加穩(wěn)定裕度又可以提高快速性。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 圖圖(c)、(d)所對應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：所對應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：)2)(1()3()()(:sssKsHsGc圖)3)(2)(1()()(:sssKsHsGd圖第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理圖圖(c)增加的是位于虛軸右側(cè)的零點，顯然，這時系統(tǒng)增加的是位于虛軸右側(cè)的零點，顯然，這時系統(tǒng)只有在只有在K0.67時才是穩(wěn)定的，這說明增加位于虛軸右側(cè)的時才是穩(wěn)定的，這說明

46、增加位于虛軸右側(cè)的開環(huán)零點，一般使穩(wěn)定性下降。開環(huán)零點，一般使穩(wěn)定性下降。 )2)(1()3()()(:sssKsHsGc圖第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理如果如果系統(tǒng)具有位于虛軸右側(cè)的零點系統(tǒng)具有位于虛軸右側(cè)的零點(不管是固有的還是加不管是固有的還是加入的入的)，就稱之為，就稱之為非最小相角系統(tǒng)非最小相角系統(tǒng)。從從本例可以看出：非本例可以看出：非最小相角系統(tǒng)的動態(tài)性能需要認(rèn)真對付。最小相角系統(tǒng)的動態(tài)性能需要認(rèn)真對付。)2)(1()3()()(:sssKsHsGc圖第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理圖圖(d)增加的是位于虛軸左側(cè)的極

47、點，顯然，這時系統(tǒng)只有增加的是位于虛軸左側(cè)的極點，顯然，這時系統(tǒng)只有在在K60時才是穩(wěn)定的。與圖時才是穩(wěn)定的。與圖(a)相比說明：給開環(huán)系統(tǒng)增相比說明：給開環(huán)系統(tǒng)增加位于虛軸左側(cè)的極點，一般也會使穩(wěn)定性下降。加位于虛軸左側(cè)的極點，一般也會使穩(wěn)定性下降。)3)(2)(1()()(:sssKsHsGd圖第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理圖圖(e)是在圖是在圖(d)基礎(chǔ)上基礎(chǔ)上,再增加一個位于虛軸左側(cè)的再增加一個位于虛軸左側(cè)的零點，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性又大大提高。零點，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性又大大提高。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理圖圖(f)是在

48、圖是在圖(a)基礎(chǔ)上增加位于虛軸右側(cè)的極點，這時從該極點出基礎(chǔ)上增加位于虛軸右側(cè)的極點，這時從該極點出發(fā)的一支根軌跡全部位于虛軸的右邊，這意味著不管發(fā)的一支根軌跡全部位于虛軸的右邊，這意味著不管K取何值，取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不可能穩(wěn)定，所以增加位于虛軸右側(cè)的極點是不可閉環(huán)系統(tǒng)都不可能穩(wěn)定，所以增加位于虛軸右側(cè)的極點是不可取的。取的。但是如果再增加一個合適的位于虛軸左側(cè)的零點，該系但是如果再增加一個合適的位于虛軸左側(cè)的零點，該系統(tǒng)會變成條件穩(wěn)定。統(tǒng)會變成條件穩(wěn)定。 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v在設(shè)計控制系統(tǒng)時，為了使系統(tǒng)階次降低或者為了抵消在設(shè)計控制系統(tǒng)時，為

49、了使系統(tǒng)階次降低或者為了抵消大的慣性環(huán)節(jié)，有時用大的慣性環(huán)節(jié)，有時用控制器控制器的的零零(極極)點去抵消被控對象點去抵消被控對象的極的極(零零)點，這在大多數(shù)情況下是有利的，但也有例外。點，這在大多數(shù)情況下是有利的，但也有例外。圖圖(a)是下列三階系統(tǒng)的根軌跡是下列三階系統(tǒng)的根軌跡： 附加附加一個零點一個零點z1=-1去低消系統(tǒng)的一個穩(wěn)定去低消系統(tǒng)的一個穩(wěn)定p1=-1極點，這極點，這樣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變成：樣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變成：1,)1)()()(121 psspsKsHsG1)1)()1()()(221 ssKsspssKsHsG3.零、極點相消問題零、極點相消問題第第4章章 根軌跡法根軌跡法

50、課程：自動控制原理課程：自動控制原理 其其根軌跡如圖根軌跡如圖(b)所示，可見系統(tǒng)的穩(wěn)定性大大提高了。所示，可見系統(tǒng)的穩(wěn)定性大大提高了。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 現(xiàn)在考慮建模誤差的現(xiàn)在考慮建模誤差的影響，如果開環(huán)傳影響，如果開環(huán)傳遞函數(shù)參數(shù)不準(zhǔn)確，遞函數(shù)參數(shù)不準(zhǔn)確，假設(shè)實際系統(tǒng)假設(shè)實際系統(tǒng)p1=-0.8我們卻按我們卻按p1=-1建建模，這樣零極點不模，這樣零極點不能正好抵消，根軌能正好抵消，根軌跡變成圖跡變成圖(c)。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理 現(xiàn)在考慮建模誤差的現(xiàn)在考慮建模誤差的影響，如果開環(huán)傳影響，如果開環(huán)傳遞函

51、數(shù)參數(shù)不準(zhǔn)確，遞函數(shù)參數(shù)不準(zhǔn)確，假設(shè)實際系統(tǒng)假設(shè)實際系統(tǒng)p1=-1.2我們卻按我們卻按p1=-1建建模，這樣零極點不模，這樣零極點不能正好抵消，根軌能正好抵消，根軌跡變成圖跡變成圖(d)。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理(c) (d) 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理1,)1)()()(121 psspsKsHsG根軌跡圖清楚地表示：盡管存在建模誤差，附加零點仍然根軌跡圖清楚地表示：盡管存在建模誤差，附加零點仍然提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，情況不都是這么樂觀，考察提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，情況不都是這么樂觀，考察下列三階系統(tǒng)下列三階

52、系統(tǒng)：第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理如果用零點如果用零點z1=1抵消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點抵消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點p1=1，系統(tǒng)開環(huán)傳，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)變成：遞函數(shù)變成： 根軌跡根軌跡如圖如圖(e)，零、極點正好相消，系統(tǒng)的穩(wěn)定性大大提，零、極點正好相消，系統(tǒng)的穩(wěn)定性大大提高。考慮建模誤差的影響，假設(shè)實際系統(tǒng)高。考慮建模誤差的影響，假設(shè)實際系統(tǒng)p1=0.8，不宜用不宜用零、極點相消的辦法抵消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點或零點。零、極點相消的辦法抵消系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點或零點。)1)()1()()(21 sspssKsHsG(f) (e) 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課

53、程：自動控制原理如如前所述，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于閉環(huán)極點，實際上前所述，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于閉環(huán)極點，實際上時間響應(yīng)的暫態(tài)分量也主要取決于閉環(huán)極點。每一個閉環(huán)極時間響應(yīng)的暫態(tài)分量也主要取決于閉環(huán)極點。每一個閉環(huán)極點點si對應(yīng)時間響應(yīng)中的一個因子對應(yīng)時間響應(yīng)中的一個因子exp(sit)，稱為系統(tǒng)的一個模，稱為系統(tǒng)的一個模態(tài)態(tài)(Mode)，si在在s平面上的位置決定了它對應(yīng)的暫態(tài)分量的平面上的位置決定了它對應(yīng)的暫態(tài)分量的運(yùn)動形式。運(yùn)動形式。4.閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v系統(tǒng)的動態(tài)性能最終體現(xiàn)在時間響應(yīng)上，影

54、響時間響應(yīng)的因系統(tǒng)的動態(tài)性能最終體現(xiàn)在時間響應(yīng)上，影響時間響應(yīng)的因素有兩個：閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入函數(shù)。前面已經(jīng)分析，素有兩個：閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入函數(shù)。前面已經(jīng)分析，時間時間響應(yīng)的暫態(tài)分量主要取決于閉環(huán)零、極點響應(yīng)的暫態(tài)分量主要取決于閉環(huán)零、極點；時間響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)；時間響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量主要取決于輸入函數(shù)和系統(tǒng)的型別。分量主要取決于輸入函數(shù)和系統(tǒng)的型別。4.閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v下面圖中表示了下面圖中表示了si分布于分布于s平面上不同位置所對應(yīng)的暫態(tài)分量。平面上不同位置所對應(yīng)的暫態(tài)分量。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：

55、自動控制原理課程：自動控制原理vs平面上平面上si分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：1)左右分布決定終值。即，左右分布決定終值。即，si位于虛軸左邊時暫態(tài)分量最終衰位于虛軸左邊時暫態(tài)分量最終衰減到零，減到零，si位于虛軸右邊時暫態(tài)分量一定發(fā)散，位于虛軸右邊時暫態(tài)分量一定發(fā)散，si正好位于正好位于虛軸（除原點）時暫態(tài)分量為等幅振蕩。虛軸（除原點）時暫態(tài)分量為等幅振蕩。第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理vs平面上平面上si分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：2)虛實分布決定振型。就是，虛

56、實分布決定振型。就是，si位于實軸上時暫態(tài)分量為位于實軸上時暫態(tài)分量為非周期運(yùn)動，非周期運(yùn)動，si位于虛軸上時暫態(tài)分量為周期運(yùn)動。位于虛軸上時暫態(tài)分量為周期運(yùn)動。 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理vs平面上平面上si分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：3)遠(yuǎn)近分布決定快慢。具體講就是，遠(yuǎn)近分布決定快慢。具體講就是，si位于虛軸左邊時離位于虛軸左邊時離虛軸愈遠(yuǎn)過渡過程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極虛軸愈遠(yuǎn)過渡過程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極點點“主宰主宰”系統(tǒng)響應(yīng)的時間最長，被稱為主導(dǎo)極點。系統(tǒng)響應(yīng)的時間最長，被稱

57、為主導(dǎo)極點。 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理vs平面上平面上si分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：分布所對應(yīng)的暫態(tài)分量，規(guī)律可以總結(jié)為：1)左右分布決定終值。即，左右分布決定終值。即，si位于虛軸左邊時暫態(tài)分量最位于虛軸左邊時暫態(tài)分量最終衰減到零，終衰減到零，si位于虛軸右邊時暫態(tài)分量一定發(fā)散，位于虛軸右邊時暫態(tài)分量一定發(fā)散，si正正好位于虛軸（除原點）時暫態(tài)分量為等幅振蕩。好位于虛軸（除原點）時暫態(tài)分量為等幅振蕩。2)虛實分布決定振型。就是，虛實分布決定振型。就是，si位于實軸上時暫態(tài)分量為位于實軸上時暫態(tài)分量為非周期運(yùn)動，非周期運(yùn)動，si位于虛軸上時暫

58、態(tài)分量為周期運(yùn)動。位于虛軸上時暫態(tài)分量為周期運(yùn)動。3)遠(yuǎn)近分布決定快慢。具體講就是，遠(yuǎn)近分布決定快慢。具體講就是，si位于虛軸左邊時離位于虛軸左邊時離虛軸愈遠(yuǎn)過渡過程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極虛軸愈遠(yuǎn)過渡過程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極點點“主宰主宰”系統(tǒng)響應(yīng)的時間最長，被稱為主導(dǎo)極點。系統(tǒng)響應(yīng)的時間最長，被稱為主導(dǎo)極點。 第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v設(shè)計系統(tǒng)時合理配置閉環(huán)極點是十分重要的，根據(jù)上述規(guī)設(shè)計系統(tǒng)時合理配置閉環(huán)極點是十分重要的，根據(jù)上述規(guī)律，一般先配置主導(dǎo)極點，然后配置非主導(dǎo)極點。律，一般先配置主導(dǎo)極點，然后配置非主導(dǎo)極點。 非非

59、主導(dǎo)極點與虛軸的距離，應(yīng)當(dāng)是主導(dǎo)極點與虛軸距離的主導(dǎo)極點與虛軸的距離，應(yīng)當(dāng)是主導(dǎo)極點與虛軸距離的25倍，這樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)就主要取決于主導(dǎo)極點。倍，這樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)就主要取決于主導(dǎo)極點。 主導(dǎo)極點主導(dǎo)極點一般安排為一對共軛復(fù)數(shù)極點，位于虛軸左邊的一般安排為一對共軛復(fù)數(shù)極點，位于虛軸左邊的60扇形區(qū)內(nèi)，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：扇形區(qū)內(nèi)，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：第第4章章 根軌跡法根軌跡法課程：自動控制原理課程：自動控制原理v設(shè)計系統(tǒng)時合理配置閉環(huán)極點是十分重要的，根據(jù)上述規(guī)設(shè)計系統(tǒng)時合理配置閉環(huán)極點是十分重要的，根據(jù)上述規(guī)律，一般先配置主導(dǎo)極點，然后配置非主導(dǎo)極點。律，一般

60、先配置主導(dǎo)極點，然后配置非主導(dǎo)極點。 非非主導(dǎo)極點與虛軸的距離，應(yīng)當(dāng)是主導(dǎo)極點與虛軸距離的主導(dǎo)極點與虛軸的距離，應(yīng)當(dāng)是主導(dǎo)極點與虛軸距離的25倍，這樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)就主要取決于主導(dǎo)極點。倍，這樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)就主要取決于主導(dǎo)極點。 主導(dǎo)極點主導(dǎo)極點一般安排為一對共軛復(fù)數(shù)極點，位于虛軸左邊的一般安排為一對共軛復(fù)數(shù)極點，位于虛軸左邊的60扇形區(qū)內(nèi)，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：扇形區(qū)內(nèi)，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：閉環(huán)主導(dǎo)極點為共軛復(fù)數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與一閉環(huán)主導(dǎo)極點為共軛復(fù)數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與一個二階欠阻尼系統(tǒng)相似。二階系統(tǒng)的動態(tài)性能是分析得最個二階欠阻尼系統(tǒng)相似。二階系統(tǒng)