上海市黃浦區大同中學2025屆高二下數學期末達標檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量滿足，且，則的夾角為（）A． B． C． D．2．.盒子里有25個外形相同的球，其中10個白的，5個黃的，10個黑的，從盒子中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為A．15B．25C．13．設拋物線y2=2x的焦點為F，過點M(3,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，BF=2，則△BCFA．23 B．34 C．44．用反證法證明“如果a＜b，那么”，假設的內容應是（）A． B．C．且 D．或5．已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)6．從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數為()A．90 B．60 C．120 D．1107．已知集合,,則下圖中陰影部分所表示的集合為()A． B． C． D．8．某工廠生產某種產品的產量（噸）與相應的生產能耗（噸標準煤）有如下幾組樣本數據：根據相關檢驗，這組樣本數據具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得其回歸直線的斜率為，則這組樣本數據的回歸直線方程是（）A． B． C． D．9．正切函數是奇函數，是正切函數，因此是奇函數，以上推理（）A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．以上均不正確10．某班上午有五節課，計劃安排語文、數學、英語、物理、化學各一節，要求語文與化學相鄰，且數學不排第一節，則不同排法的種數為（）A． B． C． D．11．a，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉軸選擇，有下列結論：①當直線與a成60°角時，與b成30°角；②當直線與a成60°角時，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結論的編號）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12．《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“蓋”的術：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的近似取為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，母線PA=4，O是底面圓心，B是底面圓內一點，且AB⊥OB，C為PA的中點，OD⊥PB，垂足為D，當三棱錐O-PCD的體積最大時，OB=______．14．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個不相同的紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有________種15．若函數有兩個極值點，其中,，且，則方程的實根個數為________個.16．某班有名學生,其中人選修課程,另外人選修課程,從該班中任選兩名學生,他們選修不同課程的概率是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若直線為函數的切線，求的最小值.18．（12分）在中，內角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.19．（12分）已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.20．（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數（用數字作答）．（1）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.22．（10分）設函數.(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設的夾角為，兩邊平方化簡即得解.【詳解】設的夾角為，兩邊平方，得，即，又，所以，則，所以.故選C本題主要考查平面向量的數量積的計算和向量夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.2、D【解析】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有5+10=15種結果，滿足條件的事件是取出的球是一個黑球，共有10種結果，∴根據等可能事件的概率得到P==103、C【解析】∵拋物線方程為y2∴拋物線的焦點F坐標為(12,0)如圖，設A(x1,y1)由拋物線的定義可得BF=x2+將x2=32代入∴點B的坐標為(3∴直線AB的方程為y-0-3-0將x=y22代入直線AB的方程整理得y2+(∴x1=2，∴在ΔCAA1中，∴|CB||CA|∴S△BCFS△ACF點睛：與拋物線有關的問題，一般情況下都與拋物線的定義有關，特別是與焦點弦有關的問題更是這樣，“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．4、D【解析】解：因為用反證法證明“如果a>b，那么>”假設的內容應是＝或<，選D5、B【解析】函數f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）當a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點．則實數a的取值范圍是（0，）．故選B．6、D【解析】

用所有的選法共有減去沒有任何一名女生入選的組隊方案數，即得結果【詳解】所有的選法共有種其中沒有任何一名女生入選的組隊方案數為：故至少有一名女生入選的組隊方案數為故選本題主要考的是排列，組合及簡單計數問題，考查組合的運用，處理“至少有一名”類問題，宜選用間接法，是一道基礎題。7、B【解析】分析：根據韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，首先利用偶次根式滿足的條件，求得集合B，根據集合的運算求得結果即可.詳解：根據偶次根式有意義，可得，即，解得，即，而題中陰影部分對應的集合為，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關集合的運算的問題，在求解的過程中，首先需要明確偶次根式有意義的條件，從而求得集合B，再者應用韋恩圖中的陰影部分表示的是，再利用集合的運算法則求得結果.8、C【解析】由題意可知，，線性回歸方程過樣本中心，所以只有C選項滿足．選C.線性回歸方程過樣本中心，所以可以代入四個選項進行逐一檢驗．9、C【解析】

根據三段論的要求：找出大前提，小前提，結論，再判斷正誤即可。【詳解】大前提：正切函數是奇函數，正確；小前提：是正切函數，因為該函數為復合函數，故錯誤；結論：是奇函數，該函數為偶函數，故錯誤；結合三段論可得小前提不正確.故答案選C本題考查簡易邏輯，考查三段論，屬于基礎題。10、B【解析】

先用捆綁法將語文與化學看成一個整體，考慮其順序；將這個整體與英語，物理全排列，分析排好后的空位數目，再在空位中安排數學，最后由分步計數原理計算可得.【詳解】由題得語文和化學相鄰有種順序；將語文和化學看成整體與英語物理全排列有種順序，排好后有4個空位，數學不在第一節有3個空位可選，則不同的排課法的種數是，故選B.本題考查分步計數原理，屬于典型題.11、C【解析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．【詳解】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設點在運動過程中的坐標中的坐標，，，其中為與的夾角，，，在運動過程中的向量，，，，，設與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯誤．設與所成夾角為，，，當與夾角為時，即，，，，，，，此時與的夾角為，②正確，①錯誤．故選：．本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．12、B【解析】試題分析：設圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為，故選B.考點：《算數書》中的近似計算，容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據圖形，說明PC是三棱錐P-OCH的高，△OCH的面積在OD=DC=2時取得最大值，求出OB【詳解】AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面PAB⊥面POB．OD⊥PB，則OD⊥面PAB，OD⊥DC，OD⊥PC，又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCD.即PC是三棱錐P-OCD的高.PC=OC=2．而△OCD的面積在OD=DC=2時取得最大值(斜邊=2的直角三角形)當OD=2時，由PO=22，知∠OPB=故答案為：26本題主要考查了圓錐的結構特征，棱錐的體積等知識，考查空間想象能力，屬于中檔題．14、72【解析】第一步甲乙搶到紅包，有種，第二步其余三人搶剩下的兩個紅包，有種，所以甲乙兩人都搶到紅包的情況有種．15、【解析】

根據有兩個極值點可知有兩個不等正根，即有兩個不等正根，從而可得；采用換元的方式可知方程有兩個不等實根，從而可將問題轉化為與和共有幾個交點的問題；通過確定和的范圍可確定大致圖象，從而通過與和的交點確定實根的個數.【詳解】有兩個極值點有兩個不等正根即有兩個不等正根且，令，則方程的判別式方程有兩解，且，由得：，又且根據可得簡圖如下：可知與有個交點，與有個交點方程的實根個數為：個本題正確結果：本題考查方程解的個數的求解問題，解決此類問題常用的方法是將問題轉化為曲線與平行于軸直線的交點個數問題，利用數形結合的方法來進行求解；本題解題關鍵是能夠確定極值的大致取值范圍，從而確定函數的圖象.16、【解析】

先計算出總的方法數，然后在每類選科人中各選一人，利用分步計算原理計算得方法數，根據古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】∵該班有名學生則從班級中任選兩名學生共有種不同的選法又∵15人選修課程,另外35人選修課程∴他們是選修不同課程的學生的情況有:故從班級中任選兩名學生,他們是選修不同課程的學生的概率.本小題主要考查古典概型的計算，考查分步乘法計數原理，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(2).【解析】

（1）由即為，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可得到結論；（2）求得函數的導數，設出切點，可得的值和切線方程，令，求得，令，利用導數求得函數的單調性與最小值，即可求解．【詳解】(Ⅰ)證明：整理得令，當，，所以在上單調遞增；當，，所以在上單調遞減，所以，不等式得證.(Ⅱ)，設切點為，則，函數在點處的切線方程為，令，解得，所以，令，因為，，所以，，當，，所以在上單調遞減；當，，所以在上單調遞增，因為，.本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．18、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉邊”得出邊的關系，再根據余弦定理求出，進而得到，由轉化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數值，利用兩角差的正弦公式求出結果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因為，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.19、（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】

（1）寫出，根據，斜率乘積為-1，建立等量關系求解離心率；（2）寫出直線AB的方程，根據韋達定理求出點B的坐標，計算出弦長，根據垂直關系同理可得，利用等式即可得解.【詳解】（1）由題可得，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.點為橢圓的右頂點時，的坐標為，即，，化簡得：，即，解得或（舍去），所以；（2）橢圓的方程為，由（1）可得，聯立得：，設B的橫坐標，根據韋達定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，則，化簡得：，，此方程無解，所以不存在使得成立.此題考查求橢圓離心率，根據直線與橢圓的位置關系解決弦長問題，關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋達定理在解決解析幾何問題中的應用.20、（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數為1440種；【解析】

（1）特殊位置用優先法，先排最左邊，再排余下位置。（2）相鄰問題用捆綁法，將女生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列。（3）不相鄰問題用插空法，先排好女生，然后將男生插入其中的五個空位。【詳解】（1）先排最左邊，除去甲外有種，余下的6個位置