三腰等角13.3.2等邊三角形班級:XXX時間：20XX.XX形等腰三角形13.3.2等邊三角形（第2課時）數學人教版八年級上冊授課人：XXX2.這個特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之處，它有什么特殊性質？1.等邊三角形是軸對稱圖形，若沿著其中一條對稱軸折疊，能產生什么特殊圖形？導入新知想一想:1.探索含30°角的直角三角形的性質．2.會運用含30°角的直角三角形的性質進行有關的證明和計算.素養目標如圖，將兩個相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數量關系嗎？分離拼接ACB含30°角的直角三角形的性質知識點問題1：探究新知將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發現？問題2：探究新知性質：

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，顯然，△ADC與△ABC關于AC成軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？探究新知證明：延長BC到D，使BD=AB，連接AD.在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．∴△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴BC=AB．

∴BC=

BD．

方法一：探究新知方法點撥

倍長法就是延長得到的線段是原線段的正整數倍，即1倍、2倍……倍長法探究新知EABC證明：

在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．

證明方法：截半法方法二：探究新知方法點撥在證明中，在較長的線段上截取一條線段等于較短的線段就是截半法.截半法探究新知含30°角的直角三角形的性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.∵在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，歸納總結應用格式：∴

BC=AB．

ABC探究新知例1如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運用含30°角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.探究新知利用含30°角的直角三角形的性質求線段的值素養考點1ABCD△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA⊥BA于A，BD=9.6cm，則AD=.BCD4.8cmBCDAA如圖∠C=90°，D是CA的延長線上的一點，∠BDC=15°，且AD=AB，則BC=AD.鞏固練習例2如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC探究新知歸納總結含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線構造含30°角的直角三角形．探究新知如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.1ABCD

鞏固練習已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.解:過點C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.鞏固練習例3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數量關系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).探究新知在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.探究新知歸納總結含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一個重要的依據，如果問題中出現探究線段倍分關系的結論時，要聯想此性質．探究新知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關系？

證明：∵∠B+∠A=180°–

∠C=90°，

∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°.

∴

AB=2BC.鞏固練習例4如圖是屋架設計圖的一部分，點D

是斜梁AB的中點，立柱BC，DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC,DE

有多長？ABCDE利用直角三角形的性質解決實際問題素養考點2

圖中BC,DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？探究新知ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.探究新知如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，則OF=

．解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°.∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE.∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE.∴OF=EF=2．2H鏈接中考1.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在舊城綠化改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮優化環境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB基礎鞏固題課堂檢測3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.54.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______cm.8ACB第4題圖課堂檢測1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．能力提升題課堂檢測2.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中點，DE⊥AB于E點，求證：BE=3EA.證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中點，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.課堂檢測如圖，已知△ABC是等邊三角形，D,E分別為BC,AC上的點，且CD=AE，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q,求證:BP=2PQ.∴△ADC≌△BEA.證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，拓廣探索題課堂檢測∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，課堂檢測內容在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半使用要點含30°角的直角三角形的性質①分清30°的角所在的直角邊②作輔助線，構造直角三角形注意前提條件：直角三角形中證題方法倍長法截半法課堂小結作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業相關知識內容延伸學習，授課時可參考。《等邊三角形》（第2課時）教案一、教學目標知識與技能學生能夠理解并熟練掌握等邊三角形的判定方法，準確區分不同判定條件適用的情境。深入理解含30°角的直角三角形的性質，能靈活運用該性質解決相關幾何問題。過程與方法通過觀察、實驗、猜想、驗證等數學活動過程，逐步培養學生的邏輯推理能力和空間想象能力，讓學生在探究過程中學會從不同角度思考問題，提高分析問題和解決問題的能力。在合作交流與自主探究中，引導學生體驗數學知識的形成過程，掌握研究數學問題的一般方法，培養學生的探究意識和創新精神。情感態度與價值觀激發學生的學習興趣，使學生在探索活動中獲得成功的體驗，增強學生學習數學的信心。培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的精神，讓學生感受數學的應用價值，體會數學與生活的緊密聯系。二、教學重難點教學重點等邊三角形的判定定理及其應用，學生需能夠準確運用判定定理判斷一個三角形是否為等邊三角形，并解決相關實際問題。含30°角的直角三角形的性質及其應用，學生要熟練掌握該性質在幾何計算和證明中的運用。教學難點等邊三角形判定定理的探究過程，引導學生通過自主探究和合作交流，發現并歸納出等邊三角形的判定方法，理解判定定理的推導邏輯。含30°角的直角三角形性質的探索與證明，幫助學生理解性質的內在邏輯關系，掌握證明方法，并能在復雜的幾何圖形中準確識別和運用該性質。三、教學方法講授法、探究法、討論法、練習法相結合，通過教師的講解引導學生理解知識要點，利用探究活動激發學生的學習主動性，組織學生討論促進思維碰撞，安排練習鞏固所學知識。四、教學過程（一）復習引入（5分鐘）提問學生等邊三角形的定義和性質，引導學生回顧：等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等且都為60°；等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸等知識。展示一些簡單的等腰三角形圖形，讓學生判斷是否為等邊三角形，并說明理由，通過具體實例復習等邊三角形的判定方法，為新課學習做鋪墊。（二）探究等邊三角形的判定方法（15分鐘）提出問題：除了根據定義，還有哪些方法可以判定一個三角形是等邊三角形呢？引導學生思考并進行小組討論。學生分組進行探究活動，教師巡視指導，鼓勵學生通過畫圖、測量、計算等方式進行驗證。小組代表匯報探究結果，教師進行總結歸納：判定方法1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。判定方法2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。引導學生對這兩個判定方法進行證明，以判定方法1為例，已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求證：△ABC是等邊三角形。證明：因為∠A=∠B，根據等角對等邊，可得BC=AC；又因為∠B=∠C，所以AC=AB；因此AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形。同理可證明判定方法2。通過一些簡單的例題，讓學生運用新學的判定方法進行判斷，如：已知一個三角形的三個內角分別為60°、60°、60°，判斷該三角形是否為等邊三角形；已知一個等腰三角形的頂角為60°，判斷該三角形是否為等邊三角形等，加深學生對判定方法的理解和掌握。（三）探究含30°角的直角三角形的性質（15分鐘）展示一個含30°角的直角三角形模型，提出問題：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊與斜邊有什么關系呢？引導學生進行猜想。組織學生進行小組合作探究，教師提供一些含30°角的直角三角形紙片，讓學生通過折疊、測量等方法進行驗證。小組代表分享探究結果，教師進行總結：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。引導學生進行嚴格的證明，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求證：BC=1/2AB。證明：延長BC至點D，使CD=BC，連接AD。因為∠ACB=90°，所以∠ACD=90°。又因為AC=AC，BC=CD，所以△ABC≌△ADC（SAS）。所以AB=AD，∠B=∠D。因為∠B=180°-∠A-∠C=60°，所以∠D=60°，則△ABD是等邊三角形，所以AB=BD。又因為BD=BC+CD=2BC，所以BC=1/2AB。通過例題講解，讓學生掌握該性質的應用，如：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，求BC的長度；已知在直角三角形中，一條直角邊是斜邊的一半，且這條直角邊所對的銳角為30°，另一條直角邊為3，求斜邊的長度等，引導學生分析題目條件，運用性質進行求解。（四）課堂練習（10分鐘）基礎練習下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形，其中是等邊三角形的有（）A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關系？拓展練習如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，求證：BC=3AD。如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F，求∠DFC的度數。教師巡視學生的練習情況，及時給予指導和幫助，對學生普遍存在的問題進行集中講解。（五）課堂小結（5分鐘）請學生回顧本節課所學的主要內容，包括等邊三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性質。教師進行補充和總結，強調重點知識和易錯點，幫助學生構建完整的知識體系。引導學生思考本節課所學知識在生活中的應用，鼓勵學生用數學的眼光觀察生活，發現數學問題。（六）布置作業（課后完成）基礎作業：課本習題，如習題13.3第11、12題，鞏固本節課所學的基礎知識和基本技能。拓展作業：讓學生收集生活中應用等邊三角形和含30°角的直角三角形性質的實例，并嘗試用所學知識進行解釋，培養學生的應用意識和實踐能力。五、教學反思在教學過程中，關注學生的參與度和掌握情況，通過課堂練習和提問及時了解學生的學習效果。課后對教學過程進行反思，分析教學中存在的問題，如學生在探究過程中遇到的困難、對知識點的理解誤區等，以便在今后的教學中進行改進和優化，提高教學質量。這份教案涵蓋了知識講解、探究與練習環節。你對教案的內容、環節設置等方面有其他想法，或者還有別的需求，都能隨時和我說。相關知識內容延伸學習，授課時可參考。初中數學是學生數學學習承上啟下的關鍵階段，需要關注知識體系、學習方法、思維能力、心理狀態等多個方面。這些要點相互關聯，共同影響學生的數學學習成效，下面為你詳細闡述：1.**知識體系構建**：初中數學知識涵蓋數與代數、圖形與幾何、統計與概率等多個板塊。學生要關注知識點之間的內在聯系，比如有理數的運算規則與整式運算的相通之處，函數知識與方程、不等式的關聯等。通過構建完整的知識體系，能夠更深入地理解數學知識，在解題時靈活運用。2.**基礎知識掌握**：像整數、分數、小數的運算，代數式的化簡，幾何圖形的基本性質等基礎知識，是進一步學習數學的基石。若基礎不牢，后續學習函數、復雜幾何證明等內容時會困難重重。只有熟練掌握基礎知識，才能更好地理解和解決復雜問題。3.**學習方法培養**：制定科學的學習計劃，合理安排預習、復習時間，有助于提高學習效率。在學習過程中，要善于總結歸納解題方法和技巧，比如總結幾何證明題的常見思路、代數方程的不同解法等。同時，建立錯題本，分析錯誤原因，及時查漏補缺，避免重復犯錯。4.**思維能力發展**：初中階段是培養邏輯思維、抽象思維和空間想象能力的重要時期。在學習數學概念、定理和解決問題的過程中，要注重思考，理清解題思路和步驟。例如，通過幾何圖形的折疊、旋轉等操作，培養空間想象能力；通過證明題的練習，提高邏輯推理能力。5.**數學應用意識**：數學源于生活，又服務于生活。要關注數學在實際生活中的應用，如利用函數知識解決經濟問題、運用統計知識分析數據等。通過實際應用，不僅能加深對數學知識的理解，還能提高學習數學的興趣和積極性。6.**學習習慣養成**：養成認真審題、規范答題、仔細檢查的良好習慣。認真審題能準確理解題意，避免答非所問；規范答題有助于清晰展示解題思路，減少不必要的失分；仔細檢查能及時發現計算錯誤和邏輯漏洞，提高答題的準確性。7.**學習心態調整**：初中數學的難度會逐漸增加，遇到困難和挫折是正常的。學生要保持積極樂觀的學習心態，勇于面對挑戰，相信自己通過努力能夠克服困難。當遇到不懂的問題時，及時向老師和同學請教，不要積累問題，以免影響后續學習。讓初中數學教學變得有趣，需要從教學內容、教學方法、課堂氛圍等多方面入手，結合學生的認知特點和興趣點，將抽象的數學知識與生活情境、趣味活動、現代技術等相結合。以下是一些具體方法和建議：###**一、結合生活實際，讓數學“接地氣”**數學源于生活，將知識點與學生熟悉的生活場景結合，能讓學生感受到數學的實用性和趣味性。-**創設生活情境**：

-講“函數”時，用“打車計費規則”“手機套餐選擇”等案例，讓學生理解變量關系；

-講“概率”時，用“抽獎活動”“天氣預報”等實例，引導學生分析隨機現象；

-講“幾何圖形”時，讓學生觀察校園建筑、生活用品（如杯子、骰子）中的圖形特征。-**布置生活任務**：

-讓學生用“比例尺”繪制教室平面圖；

-用“統計知識”調查班級同學的興趣愛好并制作圖表；

-通過“計算銀行利息”“規劃購物折扣”等任務，體會數學在理財中的應用。###**二、融入趣味元素，激發好奇心**在教學中加入游戲、故事、謎題等元素，讓學生在“玩”中學習。-**數學游戲**：

-**數字游戲**：如“24點”“猜數字”“數獨”，鍛煉計算和邏輯思維；

-**幾何游戲**：用七巧板拼圖形、用吸管搭立體模型，感受圖形的變換與組合；

-**小組競賽**：設計“速算比賽”“證明題接力賽”，激發競爭意識和團隊合作。-**數學故事與文化**：

-介紹數學家的趣事（如高斯速算、祖沖之算圓周率）；

-講解數學符號的起源（如“+”“-”的由來）、數學史上的經典問題（如哥德巴赫猜想）；

-在節日或班會課開展“數學文化日”，讓學生分享數學相關的趣味知識。-**數學謎題與腦筋急轉彎**：

-用“雞兔同籠”“蝸牛爬井”等經典問題引發思考；

-設計“邏輯推理題”（如“誰是兇手”），讓學生用數學思維解決問題。###**三、利用現代技術，增強直觀體驗**借助多媒體工具、動畫、軟件等，將抽象概念可視化，降低理解難度。-**動畫與視頻**：

-用動畫演示“圖形的平移、旋轉、對稱”過程；

-通過視頻講解“函數圖像的動態變化”“幾何輔助線的添加思路”；

-播放科普短片（如《數學的故事》），展現數學在科技中的應用（如密碼學、人工智能）。-**數學軟件與APP**：

-用**GeoGebra**動態展示幾何圖形和函數圖像，讓學生自主探索參數變化的影響；

-用**Desmos**繪制函數圖像，直觀理解函數性質；

-推薦“小猿搜題”“洋蔥學院”等學習平臺，通過趣味微課鞏固知識。-**互動課件與游戲化學習**：

-用PPT或希沃白板設計“點擊答題”“拖拽匹配”等互動環節；

-利用“數學王國”類游戲APP，讓學生在闖關任務中練習知識點。###**四、鼓勵動手實踐，讓學生“動起來”**通過操作、實驗、探究活動，讓學生親身感受數學的形成過程。-**教具與學具制作**：

-讓學生用硬紙板制作“立體幾何模型”（如正方體、圓錐），觀察表面積和體積的關系；

-用繩子和釘子在木板上畫圓，理解“圓的定義”；

-通過折疊紙張探索“軸對稱圖形”的性質。-**數學實驗**：

-用“拋硬幣”實驗驗證概率的穩定性；

-通過“測量影子長度”計算旗桿高度，體會相似三角形的應用；

-用“天平稱重”模擬一元一次方程的“等式性質”。-**小組合作探究**：

-開展“最佳方案設計”活動（如“如何用最少的材料圍出最大面積”）；