泉州第五中學2024-2025學年高二下數學期末考試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知甲口袋中有個紅球和個白球，乙口袋中有個紅球和個白球，現從甲，乙口袋中各隨機取出一個球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個數為，則（）A． B． C． D．2．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．43．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B．C． D．4．設函數，，給定下列命題：①若方程有兩個不同的實數根，則；②若方程恰好只有一個實數根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數有兩個極值點，則實數.則正確命題的個數為（）A． B． C． D．5．函數的圖象大致是()A． B．C． D．6．下列求導運算正確的是（）A． B．C． D．7．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油8．在三棱錐中，，點為所在平面內的動點，若與所成角為定值，，則動點的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線9．若滿足約束條件則的最大值為（）A．5 B． C．4 D．310．已知隨機變量X的分布列如下表所示則的值等于A．1 B．2 C．3 D．411．甲乙丙丁四人參加數學競賽，其中只有一位獲獎.有人走訪了四人，甲說:“乙、丁都未獲獎.”乙說：“是甲或丙獲獎.”丙說：“是甲獲獎.”丁說：“是乙獲獎.”四人所說話中只有兩位是真話，則獲獎的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．設雙曲線：的左、右焦點分別為、，點在上，且滿足.若滿足條件的點只在的左支上，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則___________；14．在半徑為2的圓內任取一點，則該點到圓心的距離不大于1的概率為________.15．函數y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.16．已知變量，滿足約束條件，設的最大值和最小值分別是和，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（Ⅰ）當時，恒成立，試求實數的取值范圍；（Ⅱ）若的解集包含，求實數的取值范圍.18．（12分）在同一平面直角坐標系中，經過伸縮變換后，曲線變為曲線，過點且傾斜角為的直線與交于不同的兩點.（1）求曲線的普通方程；（2）求的中點的軌跡的參數方程（以為參數）.19．（12分）甲、乙兩選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率是，乙勝的概率是，不會出現平局．（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結束，結果為先勝3局者獲勝，求甲獲勝的概率．20．（12分）函數，，實數為常數.（I）求的最大值；（II）討論方程的實數根的個數.21．（12分）現將甲、乙兩個學生在高二的6次數學測試的成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進人高三后，由于改進了學習方法，甲、乙這兩個學生的考試數學成績預計同時有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考試成績為，則甲（乙）的高三對應的考試成績預計為（若>100.則取為100）.若已知甲、乙兩個學生的高二6次考試成績分別都是由低到高進步的，定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學生的當次成績之差的絕對值.（I）試預測：在將要進行的高三6次測試中，甲、乙兩個學生的平均成績分別為多少？（計算結果四舍五入，取整數值）（Ⅱ）求的分布列和數學期望.22．（10分）已知5名同學站成一排，要求甲站在中間，乙不站在兩端，記滿足條件的所有不同的排法種數為.（I）求的值；（II）求的展開式中的常數項.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出的可能取值及取各個可能取值時的概率，再利用可求得數學期望.【詳解】的可能取值為.表示從甲口袋中取出一個紅球，從乙口袋中取出一個白球，故.表示從甲、乙口袋中各取出一個紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個白球，故.表示從甲口袋中取出一個白球，從乙口袋中取出一個紅球，故.所以.故選A.求離散型隨機變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果離散型隨機變量服從二項分布，也可以直接利用公式求期望.2、C【解析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【詳解】所以本題考查正余弦定理的簡單應用，屬于基礎題．3、B【解析】

根據伸縮變換的關系表示已知函數的坐標，代入已知函數的表示式得解.【詳解】由伸縮變換，得，代入，得，即．選B本題考查函數圖像的伸縮變換，屬于基礎題.4、C【解析】

利用導數研究函數的單調性，零點，極值以及恒成立問題.【詳解】對于①，的定義域，，令有即，可知在單調遞減，在單調遞增，，且當時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故①正確對于②，易知不是該方程的根，當時，，方程有且只有一個實數根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為．由大致圖像可知或，故②錯對于③當時，恒成立，等價于恒成立，即函數在上為增函數，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調遞增，在上單調遞減，則，于是，故③正確.對于④有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個數為3，故選.本題考查利用導數研究函數有關性質，屬于基礎題目．解題時注意利用數形結合，通過函數圖象得到結論．5、A【解析】因為，所以舍去B,D;當時，所以舍C，選A.點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數圖象的判斷技巧：（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．(2)由實際情景探究函數圖象．關鍵是將問題轉化為熟悉的數學問題求解，要注意實際問題中的定義域問題．6、B【解析】

利用導數運算公式，對每個選項進行一一判斷.【詳解】對A，因為，故A錯；對B，，故B正確；對C，，故C錯；對D，，故D錯.所以本題選B.熟記導數公式，特別是復合函數的求導，即，不能漏了前面的負號.7、D【解析】

解：對于A，由圖象可知當速度大于40km/h時，乙車的燃油效率大于5km/L，∴當速度大于40km/h時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km，故A錯誤；對于B，由圖象可知當速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當速度相同時，消耗1升汽油，甲車的行駛路程最遠，∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯誤；對于C，由圖象可知當速度為80km/h時，甲車的燃油效率為10km/L，即甲車行駛10km時，耗油1升，故行駛1小時，路程為80km，燃油為8升，故C錯誤；對于D，由圖象可知當速度小于80km/h時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，∴用丙車比用乙車更省油，故D正確故選D．考點：1、數學建模能力；2、閱讀能力及化歸思想.8、B【解析】

建立空間直角坐標系，根據題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標原點，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據題意可得，設為平面內任一點，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動點的軌跡是橢圓.選B本題考查利用空間向量研究兩條直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.9、A【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，

聯立，可得，

化目標函數為，

由圖可知，當直線過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．

故選：A．本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．10、A【解析】

先求出b的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出.【詳解】由題得，所以所以.故答案為：A(1)本題主要考查分布列的性質和期望的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)若(a、b是常數)，是隨機變量，則也是隨機變量，，.11、C【解析】

本題利用假設法進行解答.先假設甲獲獎，可以發現甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；然后依次假設乙、丙、丁獲獎，結合已知，選出正確答案.【詳解】解:若是甲獲獎，則甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；若是乙獲獎，則丁所說的話是真話，不合題意；若是丙獲獎，則甲乙所說的話是真話，符合題意；若是丁獲獎，則四人所說的話都是假話，不合題意.故選C.本題考查了的數學推理論證能力，假設法是經常用到的方法.12、C【解析】

本題需要分類討論，首先需要討論“在雙曲線的右支上”這種情況，然后討論“在雙曲線的左支上”這種情況，然后根據題意，即可得出結果。【詳解】若在雙曲線的右支上，根據雙曲線的相關性質可知，此時的最小值為，因為滿足題意的點在雙曲線的左支，所以，即，所以①，若在雙曲線的左支上，根據雙曲線的相關性質可知，此時的最小值為，想要滿足題意的點在雙曲線的左支上，則需要滿足，即，所以②由①②得，故選C。本題考查了圓錐曲線的相關性質，主要考查了圓錐曲線中雙曲線的相關性質，考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查雙曲線的長軸、短軸以及焦距之間的關系，考查推理能力，是中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分別令和，代入求值，然后兩式相減計算結果.【詳解】當時，當時，，兩式相減：，所以：.故答案為：本題考查二項展開式求系數和，重點考查賦值法，屬于基礎題型.14、【解析】

通過計算對應面積，即可求得概率.【詳解】該點取自圓內，占有面積為，而該點到圓心的距離不大于1占有面積為：，故所求概率為：.本題主要考查幾何概型的相關計算，難度不大.15、【解析】考點：此題主要考查三角函數的概念、化簡、性質，考查運算能力.16、【解析】

在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區域，可以發現變量，都是正數，故令，這樣根據的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數的性質，可以求出的最值，最后計算出的值.【詳解】在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數，令，它表示不等式組所表示的平面區域內的點與原點的連線的斜率，解方程組：，可得點，解方程組：，可得點，所以有，因此，，，故.本題考查了不等式所表示的平面區域，考查了斜率模型，考查了數形結合思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）轉化條件得，根據恒成立問題的解決方法即可得解；（Ⅱ）轉化條件得對恒成立，根據的取值范圍分類討論去絕對值即可得解.【詳解】（Ⅰ）當時，，當且僅當時等號成立，.（Ⅱ）時，恒成立，對恒成立.當時，，解得：，當時，，解得：，綜上：.本題考查了絕對值不等式的解法和絕對值三角不等式的應用，考查了恒成立問題的解決方法和分類討論思想，屬于中檔題.18、（1）（2）（為參數，）.【解析】

（1）根據變換原則可得，代入曲線的方程整理可得的方程；（2）寫出直線的參數方程，根據與曲線有兩個不同交點可確定傾斜角的范圍；利用直線參數方程中參數的幾何意義和韋達定理得到，求得后，代入直線參數方程后即可得到所求的參數方程.【詳解】（1）由得：，代入得：，的普通方程為.（2）由題意得：的參數方程為：（為參數）與交于不同的兩點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根，，解得：.設對應的參數分別為，則，且滿足，則，.又點的坐標滿足的軌跡的參數方程為：（為參數，）.本題考查根據坐標變換求解曲線方程、動點軌跡方程的求解問題；求解動點軌跡的關鍵是能夠充分利用直線參數方程中參數的幾何意義，結合韋達定理的形式求得直線上的動點所對應的參數，進而代入直線參數方程求得結果.19、（1）；（2）【解析】分析：（1）先由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率，根據獨立重復試驗公式公式，列出算式，得到結果．

（2）由于采用五局三勝制，則甲獲勝包括甲以3：0獲勝，以3：1獲勝，以3：2獲勝，根據獨立重復試驗公式列出算式，得到結果．詳解：（1）甲恰好勝2局的概率；乙至少勝1局的概率；（2）打3局：；打4局：；打五局：因此甲獲勝的概率為點睛：求一個事件的概率，關鍵是先判斷出事件所屬的概率模型，然后選擇合適的概率公式進行計算．正確理解概率加法公式和相互獨立性事件的概率計算公式是解題的關鍵．20、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

（1）直接對函數進行求導，研究函數的單調性，求最大值；（2）對方程根的個數轉化為函數零點個數，通過對參數進行分類討論，利用函數的單調性、最值、零點存在定理等，判斷函數圖象與軸的交點個數.【詳解】（Ⅰ）的導數為.在區間，，是增函數；在區間上，，是減函數.所以的最大值是.（Ⅱ），方程的實數根個數，等價于函數的零點個數..在區間上，，是減函數；在區間上，，是增函數.在處取得最小值.①當時，，沒有零點；②當時，有唯一的零點；③當時，在區間上，是增函數，并且.，所