江蘇省南京2024-2025高三上學期10月六校聯合調研

數學試題

2024.10

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1,已知集合A={)'l)'=2rwR},8={x|y=ln(x+l)},則—8=()

A.(-1,4-co)B.0C.RD.(0,-BX))

【答案】D

【分析】依據指數函數值域和對數函數定義域求出集合A,8,然后由交集運算可得.

【詳解】由指數函數性質可知，＞4=(0,+oo),

由工+1＞0得工＞一1,所以8=(-1,+co),

所以AC3=(0,+8)C(-1,+8)=(0,+8).

故選：D

2.設{〃”}是等比數列，且/+6+《=2,則4+%+/=()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【分析】依據已知條件求得q的值，再由4+%+4=/(4+/+的)可求得結果.

【詳解】設等比數列{?！▆的公比為q,則4+%+%=4(l+4+d)=l，

a2+/+4=44+4/=qg(]+g+g2)=g=2,

因此，4+/+4=49'+446+4/=qg50+g+g2)=夕5=32.

故選：D.

【點睛】本題主要考查等比數列基本量的計算，屬于基礎題.

3.下列求導正確的是）

/

A.兀［（2x+l）［'=2（2x+l）

A.sinx-sin—=cosx-sin—B.

I6j6

C(小2"二焉

D.（2'+/）'=2，+2x

【答案】c

【分析】依據基本函數的求導公式，及導數的運算法則和復合函數的求導法則，進行運算即可推斷選項.

【詳解】對于A,sinx-sin^二（sinx）'-卜in/）=cosx?故A錯誤；

對7B,依據復合函數的求導法則，

［（2x+l）［'=2（2x+l）（2x+l）'=4（2x+l）,故B錯誤；

對于C,（log,X）=----,故C正確：

xln2

對子D,（2X+x2）Z=（2V/+（x2/=rIn2+2x?故D錯誤.

故選：C.

4.已知角a終邊.上有一點P（sin皂,cos型），則兀-a是（）

66

A.第一象限角B.其次象限角C.第三象限角D.第四象限角

【笞案】C

5兀

【分析】依據二-所在象限可推斷點尸所在象限，然后依據對稱性可得.

6

【詳解】因為多是其次象限角，所以sin2>0,cos2<0,

666

所以點P在第四象限，即角。為第四象限角，

所以一a為第一象限角，所以兀一。為第三象限角.

故選：C

5.已知直線/：/U-y-4+l=0和圓C:f+y2—4）,二。交于兩點，則|A目的最小值為（：）

A.2B.72C.4D.2及

【答案】D

【分析】求出直線/過定點（U）,再利用弦長公式即可得到最小值.

【詳解】/；/l（A-1）->H-1=0,令x=l,則y=l,所以直線/過定點（1,1）,

當工=1,），=1得|2+］2一4乂1=一2<0,則（11）在圓內，則直線/與圓必有兩交點，

因為圓心（0,2）到直線/的距離d<7（1-0）2+（1-2）2=6,所以|4網=2房方>272.

故選：D.

6.已知樣本數據3%+l,3X2+\,3X3+1,3X4+1,3X5+1,3%+1的平均數為16,方差為9,則另一組

數據為，X2,X3,x4,x5,乙，12的方差為（）.

【答案】C

【分析】由均值、方差性質求數據巧，x2,當，聲，&，4的平均數、方差，應用平均數、方差公式求新數

據方差.

【詳解】設數據七，x2,與，/，/，%的平均數為無，方差為

]6\6

由35+1=16,9s2=9，得x=wZ%=5，s"=:>,（X,-5）2=1,

6/=16r=i

則王，x2,七，5，勺，4，12的平均數為5x6+12=6,

6666

/關為-6）“+（12—6）X（X1—5—1）~+36-5）“-2，（無-5）+1x6+36

力至內/=ii=i，=i，=i

7-7-7

Z（N-5）2?22％+102_65-2-2X6X+102_48

___________izJ______=n=T,

-777

故選：c

7.已知定義在R上的偶函數/"）滿意+則下列說法正確的是（）

B.函數/（X）的一個周期為2

C./（2023）=0

D.函數“X）的圖象關于直線x=l對稱

【答案】c

【分析】依據已知等式推斷函數的對稱性，結合偶函數的性質推斷函數的周期，最終逐一推斷即可.

【詳解】??"。7）=—/（1+力，函數””關于點（1,0）中心對稱，因此選項D不正確:

又因為函數"X）為偶函數,所以f（—）=/（"，

由f(-x)=-f(l+x)=/(x+2)=-J(T)=—f(x)n/(x+4)=/(x),

所以函數/(x)的周期為4,所以選項B不正確：

因為函數/(x)是周期為4的偶函數，

所以嗚卜.同

因此選項A不正確;

在f(l-x)=-/(l+x)中，令x=(),得f(l)=O,

因為函數〃力的周期為4,??.42023)=/(3)=/(-1)=/(1)=0,因此選項c正確，

故選：c

8.已知點M,N是拋物線y=4/上不同的兩點，尸為拋物線的焦點，且滿意NMFN=1,弦MN的中點Q

到直線的距離記為d，若不等式|MAf之義/恒成立，則之的取值范圍()

16

A.(一8,0]B.(YO,2]

C.(f1+及]D.(-oo,3]

【答案】D

【分析】令IM/1=。,1橋|二〃，利用余弦定理表示出弦的7的長，再利用拋物線定義結合梯形中位線定理表

示2d，然后利用均值不等式求解作答.

【詳解】在△MRV中，令|知6|二。,|冊|二乩由余弦定理得

|MN『=|MFf+\NF\1-2\MF\-\NF\cosNMFN,

貝ij有

明顯直線=是拋物線)，=41的準線，過M,P,N作直線/的垂線，垂足分別為AB,C,如圖,

而P為弦MV的中點，依為梯形M4CN的中位線，由拋物線定義知,

6/=|PB|=-(|A7X|+|?/C|)=-(?+Z?),

22

22

Aa+b+ab4",4/4r

因此d2a2+b2^laba2^-b2+2aba?。、，

工+—+22J-----+2

bcia

當且僅當。=〃時取等號，又不等式|MN「N/ld2恒成立，等價于竺[恒成立，則243,

所以之的取值范圍是（Y,3].

故選：D

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾

何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則

可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求

全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑.

z+3

9.設復數z滿意——=-i,則下列說法錯誤的是（）

Z-1

A.z為純虛數B.z的虛部為2i

C.在復平面內，5對應的點位于其次象限D.|z|=V5

【答案】ABC

【分析】由復數的乘法和除法運算化簡復數z,再對選項一一推斷即可得出答案.

【詳解】設復數z=a+0i,由三二二-i得z+3=-i（z—1）,

z—1

i-3_(i-3)(l-i)_i-i2-3+3i_4i-2

7+T-(i+i)(i-i)~~-1故A錯誤;

2

z的虛部為2,故B錯誤；

復立面內，5對應的點為（-1,-2）,N對應的點位于第三象限，故C錯誤;

|z|二J（—24+1=6故D正確.

故選：ABC.

10.已知向量〃=（一1,3）,〃=（尤2）,且（。-2力）_La,則（）

A.b=（1,2）B.^2a—b=25

C.向量〃與向量/7的夾角是45D.向量〃在向量人上的投影向量坐標是（1,2）

【答案】ACD

【分析】依據向量垂直的坐標公式求出向量〃推斷A,利用向量模的坐標運算推斷B,利用數量積的夾角坐標公

式求解推斷C,利用數量積的幾何意義求解推斷D.

【詳解】因為向量〃二（—1,3）,〃=（X,2）,所以0一必二（—1—2》,一1）,

由-得1+2工一3=0,解得x=l,所以〃二（1,2）,故A正確；

又=3,4）,所以2：」=（（-3）:+42=5,故B錯誤；

設向量〃與向量匕的夾角為6,因為〃=（-1,3）,）=（1,2）,

ab5V2

所以8nd麗=7^=丁又°"58?！?45’

即向量〃與向量匕的夾角是45，枚C正確：

abb5b（、

向曾Q在向量〃上的投影向量坐標是下「爪|=忑.網=〃=（1'2），故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數/（力=5m5+6（：056冰（3>0）,下列說法正確的是（）

A.函數/（X）的值域為[-2,2]

27r

B.若存在使得對X/xeR都有/（%）4/（力工/（七），則此一引的最小值為——

（1）

（1~

C.若函數/（工）在區間一%,三上單調遞增，則力的取值范圍為0,-

VIJI2

(I32

【答案】ACD

【分析】化簡/（"的解析式，依據三角函數的值域、最值、周期、單調性、極值點等學問對選項進行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】已知函數/（x）=2sin[3x+g],可知其值域為[—2,2],故選項A正確；

I3）

若存在sR,使得對X/xeR都有/（內）4/（”《/（工2），

T

所以W一司的最小值為耳=’7r,故選項B錯誤：

71,兀,?兀

函數””的單調遞增區間為2E-—<69X+—<2E+一

232

2ATI-—2ATI+-

xe66(kg,

coCD

_,5兀

6<--

,令2=（）,則0C口工3，，0的取值范圍為（o,；,故選項C正確;

所以《co~6

2

2/CK+—

______

CD3

若函數/（X）在區間（0,兀）上恰有3個極值點和2個零點，&工+^￡K,〃譏+^

J\JJ

故選：ACD

12.已知函數"x）=lnx_"wR）,則下列說法正確的是（）

A.當。>0時，/（力在（1,+8）上單調遞增

3

B.若/（x）的圖象在x=2處的切線與直線工+2），-5二0垂直，則實數。二

C.當一1<〃<0時，/（X）不存在極值

D.當。>0時，/（%）有且僅有兩個零點不多，且中2=1

【答案】ABD

【分析】對于A,利用導數即可推斷；對于B,依據導數的幾何意義可推斷：對于C,取。=一！，依據導數推

2

斷此時函數的單調性，說明極值狀況，即可推斷：對于D,結合函數單調性，利用零點存在定理說明/（X）有且

僅有兩個零點玉玉，繼而由/(x)=0可推出了0,即可證明結論，即可推斷.

【詳解】因為/(x)=]nx-半￥(〃WR),定義域為{x|x＞。且xwl},

所w+品,

對二A,當。＞0時，r(x)＞0,所以.f(x)在(0,1)和(L+8)上單調遞增，故A正確;

對二B,因為直線x+2y-5=0的斜率為一

2

又因為/(戈)的圖象在x=2處的切線與直線x+2)，-5=0垂直,

故令r(2)=g+2a=2,解得〃=故B正確:

對7C,當一1＜。＜0時，不妨取a=一工,

2

1x~—3x+1

則ra)=x(x-l)2x(x-l)2，

令r(x)=0,則有f_3x+i=0,解得玉=|_乎也='|+*，

仍

當0,1-3

時，/qx)＞。，/3在o,—上單調遞增:

22J

303_V5)(3x/5

當XE2+V時，ra)<o,/(x)在上分別單調遞減;

22不2一32，，'i~T

所以此時函數有極值，故C錯誤;

對亍D,由A可知，當。＞0時，”力在(0J)和(L+8)上單調遞增,

當工>1時，/(e“)=〃一。(1+-^

Ie-I/ea-l

3fi+,

21(3K1乂e+l)

/付向)=3。+1-414

3a(e3a+,-l)-a(e3a+,+1)2a(e3a+,-2)

>>0,

e3a+,-1e3fl+,-1

所以/(X)在(1,+8)上有一個零點,

又因為當0<x<l時，f{Q'a)=-a-a{\+-^_i)=^Z7>0，

vei/ei

3+I

/—“')=—3a—1—即/+x9_JA=_3a—[(+亡2P而^、

3fl+,3a+，

1+e3Al(3a+l)(l-e)+?(e+l

=-3a-\-a——r-r

l-e3a+,l-e3a+,

3?(l-e3a+,)+?(e3fl+,4-l)

—l-e3<,+,

4a-2ae^2a(2…)

=-------------=-----------<0,

l-e3u+,e3a+,-l

所以/(x)在(0,1)上有一個零點，

所以/(“有兩個零點，分別位于(。，1)和。，+8)內；

設0<再<I<玉，

令/(x)=0,則有hrv_a(x+l)=0,

x—1

4（X+1）

=-[\nx一一——^]=0，

x-1

所以/（》）二°的兩根互為倒數，所以%工2=1，故D正確?

故選：ABD

【點睛】難點點睛：本題綜合考查了導數學問的應用，綜合性較，解答的難點在于選項D的推斷，要結合函數的

單調性，利用零點存在定理推斷零點個數，難就難在計算量較大并且計算困難，證明時，要留意推出

=進而證明結論

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在（x+2）5（1—y）4的綻開式中，/）產的系數為.

【答案】240

【分析】利用二項綻開式的通項公式即可.

【詳解】在(x+2)s的綻開式中，y的系數為C>22=40；

在(1一)，『的綻開式中，V的系數為c；.r=6；

所以在(犬+2)’(1-)，)4的綻開式中，xb2的系數為C；.22(^=240；

故答案為：240

14.2024年杭州亞運會招募志愿者，現從某高校的6名志愿者中隨意選出3名，分別擔當語言服務、人員引導、

應急救助工作，其中甲、乙2人不能擔當語言服務工作，則不同的選法共有種.

【答案】80

【分析】應用排列組合學問及計數原理可得答案.

【詳解】先從甲、乙之外的4人中選取I人擔當語言服務工作，

再從剩下的5人中選取2人分別擔當人員引導、應急救助工作，

則K同的選法共有C；A；=4x5x4=80種.

故答案為：80.

2x—2,x>—1

15.已知/(x)=<若a<b,f(a)=f(b),則實數。一》的取值范圍是

eA,x<-l

【答案】卜8，-：-3

【分析】作出函數圖象，設/(〃)=/(?=，，數形結合可知，的范圍，。一沙轉化為關于，的函數，利用導數求

最值即可.

【詳解】作函數/“)圖象，如圖，

設f(a)=/S)=z,則0<Y1，

e

2e+l

'：a<b,:.a<-\,\<b<------,

2e

又,."(〃)=e"=，,/(〃)=27?-2=f,

「.〃=In+2),

:.a-2b=\nt-t-2

設g(1)=In/__2,0

當■時，，a)>o,函數KQ)為增函數,

/..?(/)<=Ini-i-2=-i-3,

\e)eee

即實數〃一3的取值范圍是卜叫-1-3]

故答案為：(-^4-3]

16.在正三棱錐4-3C。中，底面△3CO的邊長為4,E為A。的中點，AB八CE,則以。為球心，AD為

半徑的球截該棱錐各面所得交線長為.

【答案】—^―71

3

【分析】首先證明AC,A民AO兩兩垂直，再求出所對應的圓心隹，則計算出其弧長，即可得到交線長.

【詳解】記CD中點為凡作AOJ"平面BC。，垂足為。，

由正三棱錐性質可知，。為正三角形BCO的中心，所以。在B廣上,

因為CDu平面8CQ,所以AO_LC￡),

由正三角形性質可知，BFLCD,

又8bcAO=O，BF,AOu平面A80,

所以COJ_平面430,

因為/Wu平面A8O,所以A3J_CO,

又CE±AB,CEcCD=C,CE,CDu平面ACD,

所以A8/平面AC。，

因為ACu平面AC。，所以AC_LA3

由正三楂錐性質可知，AC,AB,AD兩兩垂直，且A3=AC=AD,則AD=號二2血，

如圖，易知以。為球心，A。為半徑的球截該棱錐各面所得交線，是以。為圓

心，A。為半徑的三段圓弧，

則/AOC=/4O3=2,ZBDC=-f

43

兀兀兀

則其圓心角分別為一，一，一，

443

所以其交線長為4x2&+烏x2應+巴x2&=之叵，

4433

故答案為工：；.

3

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用線面垂直的判定與性質得到ACA8,A。

兩兩垂直，再求出所對應的三段弧長即可得到交線長.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.已知等差數列｛q｝的前幾項和為s“，且滿意2%=%+15,59=81.

（1）求數列｛?！保耐椆剑?/p>

（2）若數列出｝滿意"=；：晨/新，求數列仇｝的前2〃項和耳.

【答案】（1）an=2n-i

,9M+,-9

⑵2n2-n+---------

8

【分析】（1）利用等差數的性質，結合通項公式與前項和公式即可得解；

（2）利用分組求和差，結合等差數列與等比數列的前項和公式即可得解.

【小問1詳解】

（1）設數列等差數列｛q｝的公差為乩

因為Sg=81,所以外"；為）=9%=81，則％=9,

因為2a5=%+15,即18=&+15,所以。2=3,

所以d=——幺=---=2,q=a,—d=1,

5-23

所以q,=l+(〃-l)x2,gpan=2n-1.

【小問2詳解】

因出』方〃"一七兒，〃為為奇數偶由數z'〃所一)以2拄為-1,〃偶為奇數數，

所以A”=0+32)+(5+34)+—+(4〃—3+3~")

=(1+5+???+4〃一3)+(32+34斗,??+32”)

〃(1+4〃一3)?32x0-9")

21-9

2〃2-〃+噩心

8

18.已知函數/(x)=2\/5sinxsin('|'+x-2cosxsin~~~x+L

(1)求函數/(x)的最值；

(2)設/8C的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若/(A)=2,6=2,且

2sinB+sinC=>/7sinA，求的面積.

【答案】(1)最大值為2,最小值為一2

(2)上叵或立

23

【分析】(1)把/(x)化為“一角一函數”的形式：先用誘導公式把角化為x,再用二倍角公式把二次項化為一次項，

同時把角化為2x,最終用幫助角公式把函數名化為正弦，即可求匕函數的最值：

(2)先求出角A,由余弦定理得到關于凡。的方程，再由正弦定理把已知的方程化簡為含ac的方程，聯立方程

組即可解出4。的值，再代入三角形的面積公式即可.

【小問1詳解】

因為/(x)=2>/5sinxsin巳+大-2cosxsin--x+1

=2>/3sinxcosx-2cos2x+l=>/3sin2x-cos2x

=2sin2x-—j,

\6)

所以/(x)的最大值為2,最小值為-2.

【小問2詳解】

結合(1)可知f(A)=2sin2A-y—2,所以sin2,A--=-1.

I6k6

7T711\7T

因為4€(0,萬)，所以2A-—G

6\66；

71

則5

22222

.-E/H,b+c-a4+c-a1

由余弦定理得cosA=--------------=-------------=—

2bc4c2

化簡得〃2=c2—2c+4①.

又2sinB+sin。=J7sinA，由正弦定理可得28+c=，即4+c=J7a②.

結合①@得。==3或。=21/Z,c=2

33

Q|H.c11.A3后02L.A百

。=3時，SAliC=-bcsxnA=—?,§時，S*8c?=]/，csinA=彳?

綜上，”5C的面積為述或立.

23

19.在三棱錐S-4AC中.AA4C是邊長為4的正三角形，平面SAC_L平面人NC，SA=SC=243.M、

N分別為AB、SB的中點.

（1）證明：AC1SB；

（2）求二面角N—CM—“正弦值的大小.

【答案】（1）證明見解析

⑵述

3

【分析】（I）取AC得中點。，得SO1AC,BOJ.AC，可知AC_L平面S5O,進而得結論;

（2）建立空間直角坐標系，求出平面CMN與平面A/8C的法向量，依據向量的夾角公式求解.

【小問1詳解】

取AC得中點。，連接S。，08,

?；SA=SC，AB=BCf:.SOLAC,BOJ.AC，

又so,BO交于點o,SOu平面S3。，BOu平面S60，

于是可知ACJ_平面SBO,

又SBu平面S5O，.?.ACJLSB；

【小問2詳解】

???立面S4CJ,平面A8C，平面S4c1平面A3C=AC，SOu平面SAC,SOLAC，

???50_1_平面43。，

以。A為X軸，08為），軸，0S為z軸建立空間直角坐標系。一用2,

那么B(0,2A/3,0),C(-2,0,0),S(0Q2及),/W(l,Ao),N(0幣收),

.??CM=(3,6,0),MN=(-1,OJ2),

設〃=（x,y,z）為平面CMN的一個法向量,

CM-n=3x+\/3y=0廣r~

那么，l，取z=1，那么x=V2,y=->/6,

MN-n=—x+V2z=0

???〃二(6-疝1),

又0s=（0,0,2夜）為平面M8C一個法向量,

...cos（〃，OS）==|.Sin（〃，0》=—，

“3

即二面角N—GW—8的正弦值為迪.

3

20.為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目

8”袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參與一個項目，進行班級對抗賽.每一個競賽項目均實行五局三

2

勝制（即有一方先勝3局即獲勝，競賽結束），假設在項目A中甲班每一局獲勝的概率為在項目8中甲班每

一局獲勝的概率為g，且每一局之間沒有影響.

（1）求甲班在項目A中獲勝的概率：

（2）設甲班獲勝的項目個數為X,求X的分布列及數學期望.

64

【答案】（1）—

81

（2）分布列見解析，—

162

【分析】（I）記“甲班在項目A中獲勝”為事務A,利用獨立事務的乘法公式求解即可；

（2）先算出“甲班在項目3中獲勝”的概率，然后利用獨立事務的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望

【小問1詳解】

記”甲班在項目A中獲勝”為事務4,

'，3333[3）334⑶⑴381

64

所以甲班在項目八中獲勝的概率為一

81

【小問2詳解】

記”甲班在項目8中獲勝”為事務以

則「(研9+得曲+5?4

X的可能取值為0,1,2,

則P（X=（））=P（AB）=P（A）咽=晶=強

P（X=2）=尸（砌=尸⑷尸（B）嚕x；=6,

o1Zo1

p（x=1）=1—P（X=0）—P（X=2）=g.

所以x的分布列為

X012

1732

P

162~281

E（X）=0x

162281162

所以甲班獲勝的項目個數的數學期望為型2

162

21.已知函數/*）=（4+l）lnx+ar2+l

(I)探討函數/(數的單調性:

(2)設QV-1.假如對隨意占,工2W(°，+8)，|/(七)一/(/)|24,一/2b求4的取值范圍.

【答案】(1)當的0時，/'3)>(),故兒I)在(0,+8)單調增加；當狂一1時，f\x)<0,故JU)在(0,+00)

單調削減；當一IVaVO時，7U)在(0，J宇)單調增加，在,+8)

（2）a<-2

【詳解】（1）4T）的定義域為（0,+8）,f（%）=—+lax=2aX""1

XX

當於0時，f'(x)>0,故兀t)在(0,+8)單調增加:

當它一1時，f\x)<0,故段)在(0,+8)單調削減;

當一IV"VO時，令/(x)=o,解得下尺.當日0,

耐，f\x）>0;

卜8)時，f\x)<0,故4V)在(0,)單調增加，在(I8)單調削減.

(2)不妨假設即力：2.由于g一2,故危)在(0,+8)單調削減.

所以|/(內)―/(%)|24百一WI等價于

/(X2)_/(XI)N4xi—4x2',即7(X2；+4,V2>/(X!)4-4片.

人，、”、“EI，/、。+1c,2加+4x+a+1

令式X)=/(.M)+4X,則