第=page11頁，共=sectionpages11頁廣西壯族自治區河池市2025屆高三第二次模擬測試數學試卷（河池二模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合A={x|x>3}，B={x|x?4x+2>0}，則A∩B=A.{x|x>3}B.{x|x<?2}C.{x|x>3或x<?2}D.{x|x>4}2.已知復數z滿足z?(1?3i)=4+2i，則z的虛部為(

)A.75 B.?75 C.73.已知向量a=(1,?1)，b=(λ,1)，(a+b)⊥(bA.2 B.5 C.104.設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(0,+∞)上單調遞增.若實數a滿足f(a?1)>f(2)，則a的取值范圍是(

)A.a>3 B.a<?1 C.a<?1或a>3 D.?1<a<35.埃菲爾鐵塔作為巴黎奧運會標志之一，你可以在鐵塔旁看到一段非常特殊的數學方程，它叫做埃菲爾鐵塔方程.這個方程不僅僅是一段數學公式，它還代表著法國工程師和建筑師埃菲爾(Alp?onseEiffel)對科學和技術的貢獻.方程定義：y=sinx+0.5cos2x，這個方程中，x代表一個給定的角度，y則代表在這個角度下埃菲爾鐵塔的“高度”(這里的“高度”是方程用于模擬鐵塔形狀時的一個相對值，并非實際物理高度).A.32 B.34 C.436.已知函數f(x)=xa?lnA.B.C.D.7.一家銀行有VIP客戶和普通客戶，VIP客戶占客戶總數的30%，普通客戶占客戶總數的70%.已知VIP客戶的信用卡欺詐概率為2%，而普通客戶的信用卡欺詐概率為5%.現在隨機抽取一個發生信用卡欺詐的客戶，請問這個客戶是VIP客戶的概率是(

)A.641 B.625 C.3108.關于函數f(x)=?x3+3xA.函數f(x)沒有零點 B.函數f(x)只有1個零點

C.函數f(x)至少有1個零點 D.函數f(x)有2個零點二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知圓C方程為x2+y2A.λ的取值范圍為(?∞,5]

B.若已知P(1,0)在圓內，則λ<?3

C.若λ=3，則直線x+y+1=0與圓C相離

D.若λ=1，圓C關于直線x+y+1=0對稱的圓D方程為x10.已知數列{an}滿足an+1=aA.a3=?14 B.數列{an}是周期數列

C.{11.如圖，若正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，F是A1DA.三棱錐D1?CC1E的體積為定值

B.四面體CDD1E的外接球半徑最大值是3

C.過FC1作平面ABCD的垂面α，且α與D1E交于點P，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知f(x)=3x(x<3)log2x(x?3)13.泊松分布是一種統計與概率學里常見到的離散概率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表.它適合于描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布.已知某校學生每周體育鍛煉的次數X服從非零參數λ的泊松分布，其概率滿足P(X=k)=e?λ?λkk!，且P(X=1)=P(X=2)，則P(X≥1)≈

.(14.已知橢圓與雙曲線有公共焦點，F1、F2分別為其左、右焦點，點M為它們在第一象限的交點，滿足sin∠F1MF2=2sin∠M四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)2025年春節期間，電影《哪吒之魔童鬧海》掀起全民觀影熱潮，連續7天票房逆勢攀升，單日最高突破8.6億元，吸引部分家庭攜老扶幼共赴影院，締造中國影史春節檔票房與觀影人次雙冠王的奇跡.某電影院為了解民眾觀影的喜歡程度，隨機采訪了180名觀影人員，得到下表：是否成年人是否喜歡合計不喜歡喜歡未成年人m80100成年人20s80合計nt180(1)求s?tn?m的值;

(2)依據小概率值α=0.1的獨立性檢驗，能否認為喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》與是否成年有關(3)用頻率估計概率，現隨機采訪一名成年人和一名未成年人，設X表示這兩人中非常喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的人數，求X的分布列和數學期望．參考公式：χ2=n(ad?bcα0.10.050.01x2.7063.8416.63516.(本小題15分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin(π(1)求A的大小;(2)若b+c=2，a=3，角A的平分線交BC于點D，求AD17.(本小題15分)

已知平行四邊形ABCD如圖甲，∠A=120°，DC=2AD=2，沿AC將△ADC折起，使點D到達點P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐P?ABC，如圖乙．

(1)證明：PA⊥AB;(2)在線段PC上是否存在點M，使二面角M?AB?C的余弦值為5719，若存在，求出|PM|18.(本小題17分)已知函數f(x)=x2ex(1)當a=1時，求曲線y=g(x)在點(π2(2)判斷函數f(x)的單調性并證明;(3)令F(x)=f(x)g(x).問：是否存在實數a，使得對任意x∈R，F(x)≤0恒成立?若存在，求a的取值范圍;若不存在，請說明理由．19.(本小題17分)材料1:貝塞爾曲線于1962年由法國工程師皮埃爾?貝塞爾所廣泛發表，它被廣泛應用于矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線，貝塞爾曲線由線段與控制點根據一定的比例繪成，控制點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，如繪圖工具的鋼筆工具.現在已知由n+1個控制點繪成的n次貝塞爾曲線上任意點P滿足OP=i=0n[Cni?k材料2:一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數，并且對于t的每一個允許的取值，由方程組確定的點(x,y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做曲線的參數方程，t叫做參數.若消去參數就可以得到普通方程y=f(x).如已知x=2ty=t2+2t，則將t=x根據上述材料回答以下問題：(1)若某一次貝塞爾曲線由P0(2,4)、P1(4,6)這2個控制點繪制，求k=(2)若利用3個控制點P0(?4,2)、P1(0,?2)、P2(4,2)(3)設直線l與(2)中所得曲線C交于A，B，O為坐標原點且∠AOB=90°，求△AOB面積的最小值．參考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.9

13.0.865

14.(315.解：(1)由列聯表可知m=20，n=40，s=60，t=140，

所以s?tn?m=?4；

(2)零假設H0：喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》與是否成年無關，

根據表中數據得：χ2=180(20×140?20×80)240×140×80×100=914≈0.643<2.706=x0.1，

根據小概率值α=0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據證明喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》與是否成年有關；

(3)由題可知，隨機采訪一位未成年人，則該未成年人喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的概率為45，

隨機采訪一位成年人，則該成年人喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的概率為34，

X的可能取值為0、X012P1712則E(X)=0×12016.解：(1)由sin(π2+C)?12cosB=sinCtanB，得cosC?12cosB=sinC?sinBcosB，

整理得2cosBcosC?1=2sinCsinB，即cos(B+C)=117.解：(1)證明：翻折前，因為四邊形ABCD為平行四邊形，∠A=120°，則因為DC=2AD=2，則AB=DC=2，BC=AD=1，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2?2AB?BC·cos?∠B=4+1?2×2×1×翻折后，則有BC⊥AC，PA⊥AC，因為PC⊥BC，AC∩PC=C，AC、PC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，因為PA?平面PAC，則PA⊥BC，因為AC∩BC=C，AC、BC?平面ABC，所以PA⊥平面ABC，

∵AB?平面PAB，∴PA⊥AB；(2)因為PA⊥平面ABC，BC⊥AC，以點A為坐標原點，BC、AC、AP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)、P(0,0,1)、C(0,3,0)設PM=λPC=λ(0,則AM=AP+設平面ABM的法向量為m=(x,y,z)則m?AB=?x+3y=0m所以m=(易知平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1)則|cosm,n|=|m?n||m|?|n|=|3λ|4

18.解：(1)當a=1時，g(x)=sinx?x，則g′(x)=cosx?1，

所以g(π2)=1?π2，g′(π2)=?1，

此時曲線y=g(x)在點(π2,g(π2))處切線的方程為y?1+π2=?1(x?π2)，即x+y?1=0；

(2)函數f(x)在(?∞,+∞)上為增函數，證明如下：

函數f(x)=x2ex+x的定義域為R，且f′(x)=ex(x2+2x)+1，

當x≥0或x≤?2時，ex(x2+2x)≥0，則f′(x)>0時，

當?2<x<0時，e?2<ex<1且?1≤x2+2x<0，則0<?ex(x2+2x)<1，∴f′(x)>0，

又因為f(0)=0，所以函數f(x)在(?∞,+∞)上為增函數且只有一個零點0；

(3)∵g(x)定義域為R且g(x)=?g(?x)，∴g(x)為R上奇函數且g(0)=0，

函數F(x)的定義域為R，由(2)知函數f(x)在(?∞,+∞)上為增函數且f(0)=0，

所以對任意x∈R，F(x)≤