第四章線性方程組的解的結構§4.4線性方程組在幾何中的應用§4.3非齊次線性方程組解的結構§4.2齊次線性方程組解的結構§4.1線性方程組解的存在性定理1第4章線性方程組解的結構§4.1線性方程組解的存在性定理

在前面的章節學習中，我們已經研究的關于線性方程組的求解問題，本章將在整理前面知識點的同時，深入研究解的性質和解的結構。2第4章線性方程組解的結構(4-1)(原始形式)(矩陣形式)(向量形式)3第4章線性方程組解的結構非齊次方程組解的存在性定理定理4.1.1對于非齊次方程組(4-1)

向量可由A的列向量組線性表示。4第4章線性方程組解的結構定理4.1.2設的線性方程組的系數行列式Cramer法則則方程組有唯一解,且解為:(4-2)5第4章線性方程組解的結構齊次方程組解的存在性定理(4-3)(矩陣形式)(向量形式)(原始形式)6第4章線性方程組解的結構定理4.1.3對于齊次方程組(1)A的列向量組線性無關(2)A的列向量組線性相關推論1當方程的個數m小于未知量的個數n，則齊次方程組必有非零解。7第4章線性方程組解的結構定理4.1.4設的線性方程組有非零解(4-4)學習書P.135例28第4章線性方程組解的結構第四章線性方程組的解的結構§4.4線性方程組在幾何中的應用§4.3非齊次線性方程組解的結構§4.2齊次線性方程組解的結構§4.1線性方程組解的存在性定理9第4章線性方程組解的結構§4.2齊次線性方程組解的結構(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大無關組(又稱為基礎解系)

如何求?齊次方程組(假設有無窮多解)(1)解集的特點?稱：10第4章線性方程組解的結構性質1：若是(4-3)的解，解空間:的所有解向量的集合S，對加法和數乘都封閉，所以構成一個向量空間，稱為這個齊次線性方程組的解空間。性質2：注：如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。性質推論1而在解空間中，基的概念我們在這里稱為基礎解系。首先回答問題(1)11第4章線性方程組解的結構設是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎解系存在，且每個基礎解系中含有個解向量。定理4.2.1推論2設是矩陣，如果則齊次線性方程組的任意個線性無關的解向量均可構成基礎解系。12第4章線性方程組解的結構設是的解，滿足線性無關；的任一解都可以由線性是的一個基礎解系。基礎解系表示,則稱下面我們用一個例子回答第(2)和第(3)個問題，同時也是定理4.2.1的例證。(取任意實數)從而也是(4-3)的解。13第4章線性方程組解的結構齊次線性方程組基礎解系的證明（基礎解系求法）（1）對系數矩陣A進行初等變換，將其化為最簡形14第4章線性方程組解的結構由于分別令（2）得出，同時也可知方程組含有個自由未知量：15第4章線性方程組解的結構于是得16第4章線性方程組解的結構下證是方程組的基礎解系由上式可以看出，就是n-r個n-r維單位坐標向量，它們是線性無關的也是線性無關的后n-r個分量，因而添加了r個分量的向量組17第4章線性方程組解的結構最后n-r個分量即自由未知量相同，從而兩個解完全一樣．18第4章線性方程組解的結構于是得通解所以，是方程組的基礎解系19第4章線性方程組解的結構

因為秩(A)=2<4，所以方程組有非零解。

。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000===++-+--+--

解：21-2-21-1-4-31221A=

0-3-6-40-3-6-41221

036400001221

0124/300001221

0124/3000010-2-5/3，例1．解線性方程組通解為x1x2x3x42-2105/3-4/301+c2=c1，(c1，c2是任意常數)。20第4章線性方程組解的結構例1．解線性方程組。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000===++-+--+--

解：

2

1-2-2

1-1-4-3

1

2

2

1A=

0

1

2

4/3

0

0

0

0

1

0-2-5/3，對應方程

(x3，x4為自由未知量)，x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x4==-+-令得基礎解系通解為x1x2x3x42-2105/3-4/301+c2=c1，(c1，c2是任意常數)。21第4章線性方程組解的結構說明：通過基礎解系求通解和原來方法求出的通解是一樣的，過程稍有一點區別而已22第4章線性方程組解的結構例2

解線性方程組解對系數矩陣施行初等行變換23第4章線性方程組解的結構即方程組有無窮多解，

其基礎解系中有三個線性無關的解向量.24第4章線性方程組解的結構所以原方程組的一個基礎解系為故原方程組的通解為25第4章線性方程組解的結構例2設,是的兩個不同的解向量,k

取任意實數,則Ax=0的通解是26第4章線性方程組解的結構設,證明證記則由說明都是的解因此移項重要結論推論327第4章線性方程組解的結構且線性無關，則_______是AX=O的基礎解系。(2),(3)則_______可為AX=O的基礎解系。(4)練習(1)(2)28第4章線性方程組解的結構例3證明設,首先證明利用這一結論證重要結論29第4章線性方程組解的結構例4求一個齊次方程組,使它的基礎解系為記之為AB=O,這相當于要解矩陣方程,習慣把未知的A放在右邊,轉置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎解系設所求的齊次方程組為,則取即可.解30第4章線性方程組解的結構第四章線性方程組的解的結構§4.4線性方程組在幾何中的應用§4.3非齊次線性方程組解的結構§4.2齊次線性方程組解的結構§4.1線性方程組解的存在性定理第4章線性方程組解的結構§4.3非齊次線性方程組解的結構以下總假設有解,而其對應的齊次方程組的基礎解系為這里32第4章線性方程組解的結構性質(1)

設都是(1)的解,則是(2)的解.(2)

設是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設是(1)的一個解(固定),則對(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3)注：非齊次方程組的解集不是空間。33第4章線性方程組解的結構定理4.3.1設是(1)的任一解,則(1)的通解為例5解34第4章線性方程組解的結構在對應的齊次方程中取得齊次方程組的基礎解系于是所有通解即得方程組的一個解35第4章線性方程組解的結構設是非齊次方程組Ax=b

的解,則是Ax=0的解是Ax=b的解例6※※36第4章線性方程組解的結構例7設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3,已知是它的三個解向量,且求該方程組的通解.解取,則它就是解,從而也是基礎解系.基礎解系所含向量個數=4–3=1故非齊次方程組的通解為37第4章