第五講拋物線

?夯基礎考點練透

1.［2021合肥調研］已知P為拋物線y'4x上一點,Q為圓(x-6)2+yJl上一點，則|PQ|的最小值為()

A.VH-1B.2-yC.2V5-1D.21-4V5

2.［2021湖南模擬］已知拋物線C:y2=2px(p>0),傾斜角為［的直線交C于A,B兩點.若線段AB中點的縱坐標為26

則P的值為()

A.iB.1C.2D.4

2

3.［2020合肥市調研檢測］設拋物線的頂點為坐標原點,焦點F的坐標為(1,0).若該拋物線上兩點A,B的橫坐標之和

為5,則弦AB的長的最大值為()

A.8B.7C.6D.5

22

4.［2020長春市第一次質量監測］已知橢圓9+9=1的右焦點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,過F作傾斜角為60°

43

的直線交拋物線于A,B(A在x軸上方)兩點，則條的值為()

BF

A.V3B.2C.3D.4

5.［2020安徽皖中名校二聯］《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,第九章“勾股”講述了“勾股定

理”及一些應用，書中把直角三角形的兩條直角邊分別稱為“勾”“股”，把斜邊稱為“弦”.設點F是拋物線

y2=2px(p>0)的焦點,直線1是該拋物線的準線,過拋物線上一點A作準線的垂線AB,垂足為B,射線AF交準線1于點

C,若RtZ\ABC的“勾”|AB|=3,“股”|CB|=3g,則拋物線的方程為()

A.y、2xB./=3xC.y?=4xI).y2=6x

6.［2021山東荷澤聯考］［多選題］已知直線1過拋物線C:y2=-2px(p>0)的焦點，且與該拋物線交于M,N兩點,若線段

MN的長是16,MN的中點到y軸的距離是6,0是坐標原點,則下列說法正確的是()

A.拋物線C的方程是y2=-8x

B,拋物線C的準線方程是y=2

C.直線1的方程是x-y+2=0

D.AMON的面積是872

7.［2021江西紅色七校第一次聯考］已知拋物線y2=4x的焦點為F,P為拋物線上一動點，點A(l,1),當4PAF的周長

最小時,PF所在直線的斜率為.

8.［2020湖北部分重點中學高三測試］已知點A(0,1),拋物線C:yJax(a>0)的焦點為F,連接FA,與拋物線C相交于

點M,延長FA,與拋物線C的準線相交于點N,若|FM|：|MN|=1：2,則實數a的值為.

9.［2021陜西省部分學校摸底檢測］已知橢圓E：4+y-l(a>l)的離心率為卓,右頂點為P(a,0),P是拋物線

C:y2=2px(p>0)的焦點.

⑴求拋物線C的標準方程；

⑵若C上存在兩動點A,B(A,B在x軸兩側)，滿足瓦？?麗=20(0為坐標原點)，且APAB的周長為21ABi+4,求|AB|.

10.[2020廣東模擬]已知拋物線C:yJ2px(p〉0)的焦點為F,拋物線C上存在一點E(2,t)到焦點F的距離等于3.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點P在拋物線C上且異于原點，點Q為直線x=T上的點,且FP1FQ,求直線PQ與拋物線C的交點個數,并說

明理由.

提能力考法實戰

11.[2021八省市新高考適應性考試]已知拋物線y2=2px上三點A⑵2),B,C,直線AB,AC是圓&-2y+/=1的兩條切

線,則直線BC的方程為()

A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

12.[2021山東青島模擬]如圖9-5-1,拋物線E:xMy與圓M:x2+(y-l)2=16交于A,B兩點，點P為劣弧AB上不同于

A,B的一個動點,平行于y軸的直線PN交拋物線E于點N,則△PMN的周長的取值范圍是()

A.(6,12)B.(8,10)

C.(6,10)D.(8,12)

圖9-5-1

13.[2021長春市第一次質量監測]已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點F的直線1與拋物線交于A,B兩點(點A在第

一象限)，且荏=4而,則直線1的傾斜角為()

B.=C.=D.g

14.[2021洛陽市統考]已知拋物線C:xMy的焦點為F,過F且傾斜角為翼直線1與拋物線C交于A,B兩點，點D為

拋物線C上的動點,且點D在1的右下方,則4DAB面積的最大值為()

A.1672B.12V2C.8V2D.6^2

15.[2020唐山市摸底考試]已知F為拋物線T:x2=4y的焦點，直線1:y=kx+2與T相交于A,B兩點.

⑴若k=l,求|FA|+|FB|的值;

⑵點C(-3,-2),若NCFA=NCFB,求直線1的方程.

16.［2020合肥市調研檢測］已知拋物線E:y?=2px(p>2)的焦點為F,準線1與x軸交于點M,P(x0,4)為拋物線上一點,

過P作PNL1,垂足為N,若四邊形MFPN的周長為16.

(1)求P的值；

⑵過點M作直線交拋物線于點A,B,設直線FA,FB的斜率分別為kbk2,求L+k/的值.

國創新預測

17.［新角度題］已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點P滿足9=入市(0為坐標原點)，若過點0作互相垂直的兩弦

0A,0B,則當弦AB恒過點P時，人的所有可能取值的集合為()

A.{4}B.{3}C.{；,4,3}D.{；,3,4)

43

18.［多選題］已知0為坐標原點,拋物線C:y、2px上一點A到焦點F的距離為4,若點M為拋物線C準線上的動點，

以下說法正確的是()

A.當△MAF為正三角形時,p的值為2

B.存在點M,使得就-標=0

C.若拓?=3前則p=3

D.若|OM|+1MA|的最小值為2V13,則p=4或12

19.［2020煙臺市診斷性測試］［遞進型］已知F為拋物線x2=2py(p>0)的焦點，點A(l,p),M為拋物線上任意一

點，|MA|+|MF|的最小值為3,則拋物線方程為,若線段AF的垂直平分線交拋物線于P,Q兩點,則四邊形

APFQ的面積為.

答案

第五講拋物線

@1夯基礎?考點練透

1.C設點P的坐標為勺n：m),易知圓(x-6)2+y2=l的圓心為A(6,0),所以PAr=(扣沁)'十皿4(m2-16)2+20^20,所

以|PA|N2遙.因為點Q是圓(x-6)2+y2=l上任意一點,所以IPQI的最小值為2b-1.故選C.

2.C解法一依題意，設直線AB的方程為y^x+m,

聯立直線AB與拋物線的方程得V--x+m>消去y并整理得x2+(2V3m-6p)x+3m2=0,△>0.

y2=2px,

設A(xi,y),B(x2,y2),則Xi+x2=6p-2V3m,yi+y2=y(x,+x2)+2m=2V3p,

所以江滬6p=2/,解得p=2.故選C.

解法二設A(xi,yi),B(x2,y2),由題意得yi+y2=4V3,且左*=tan由區一:P"i，得(yi+y?)(y「y2)=2p(x「X2),

由題意知XiWxz,所以3+yJ?g=2p,所以4百X容=2p,解得p=2.故選C.

Xx-x23

3.B因為拋物線的頂點為坐標原點,焦點為F(l,0),所以片1,解得p=2,所以拋物線的方程為yMx.設

A(xi,yl),B(x2,yj,則由題意知x1+x2=5.連接AF,BF,則由拋物線的定義知|AF|=x*=Xi+l,|BFkx2+^=x2+l,則

|AB|W|AF|+1BF|=X,+X2+2=7,所以弦AB的長的最大值為7,故選B.

2

4.C設A(x.,y.J,B(XB,yB),由題意知F(l,0),所以占1,p=2,所以拋物線的方程為y=4x.過F且傾斜角為60°的直

線的方程為y=V5(xT),代入拋物線方程,得3x-10x+3=0,解得XA=3,XB=1.

J（3-1）Z+12

解法一易得該=12，據力，所以\AF\_=3,故選C.

|BF|TFT

解法二由拋物線的定義,得IAFi=x,、+94,|BFFXB+H所以圖匚3,故選C.

223BF

5.B依題意知，|AB|=3=|AFUAC|=J|2B2+\BC?=6,所以點F是線段AC的中點，則p=：AB|=|,于是拋物線的

方程為y=3x.故選B.

6.AD設M(x,,y),N0,yz),根據拋物線的定義可知|MN|=-(X,+X2)+P=16.又MN的中點到y軸的距離是6,所以-

巖=6,即Xi+X2=T2,則p=4,所以拋物線C的方程是y2=-8x,故A正確.由p=4知拋物線C的準線方程為x=2,故B

2

錯誤.拋物線C的焦點為F(-2,0),設直線1的方程是x=my-2,與拋物線方程聯立,消元得y+8my-16=0,則

22

△=64m+64>0,yi+y2=-8m,yiy2=-16,所以xi+x2=-8m-4=-12,解得m=±l,所以直線1的方程是x-y+2=0或x+y+2=0,故

2

C錯誤.SAMON=1X：OF|X|y-y2鳥X2xJ(%+y2)~4y1y2=8y/2,故D正確.故選AD.

7.T由題意可知拋物線的焦點為F(l,0),準線為x=T,因為A(l,1),所以IAF|=1,APAF的周長

1=|PA|+1PF|+1AF|.過點P作準線x=-l的垂線,垂足為M,根據拋物線的定義可知|PM|=|PF|,則當A,P,M三點共線

時，|PA|+|PM!最小，此時P點的縱坐標為1,代入拋物線的方程可得P點的橫坐標為;,所以直線PF的斜率為

4~3

4

8解法一依題意得拋物線的焦點F的坐標為(?,0),過M作拋物線的準線的垂線,垂足為K,由拋物線的定義

34

知|MF|=|MK|.因為|FM|:|MN|=1：2,所以|KN|：IKM=遮：1,又k“￥=-±,k十需=-遮,所以士-低解得

—0aKMIa

4

473

a---.

3

解法二設M區,y.)，因為A(0,1),拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點為F00),準線方程為x=4所以直線AF的方程為

44

4x+ay-a=0,所以N(-：,2).因為|FM|:|MN|=1：2,所以|FM|=||FN|,所以x.*,y"=|.因為點M(xv,y”)在拋物線上，所

以g吟,解得a=~Y"-

9.⑴因為橢圓E:m+y2=l的離心率為￡所以號《，

解得a2=4,所以a=2,所以色2,所以p=4,

從而拋物線C的標準方程為y2=8x.

(2)由題意知直線AB的斜率不為零,設直線AB:x=my+n(nW2),

代入y2=8x得y2-8my-8n=0,A=64m2+32n>0.

設A(xi,yi),B(X2,y2),其中yiy2<0,

所以yi+y2=8m,yi?y2=-8n,則n>0且nW2.

因為瓦5?OB=20,

所以耐?OB=xix2+yiyiy2=20,

64

即n。-8n=20,所以(nT0)(n+2)=0,故n=l0或n=-2(舍去)，

則直線AB:x=my+10.

因為APAB的周長為21ABi+4,所以|PA|+|PB|+|AB|=2|AB|+4,

即|PA|+|PB|=|AB|+4,

因為IPA|+1PB|=xi+x2+4=m(yi+y?)+24=8m'+24,

IAB|-y/l+m2\y「y21=yjl+m2,J(8m)2+320,

所以8m2+20=7(1+m2)(64m2+320),解得m=±y,

所以IAB|=J(1+徵2)(64m2+320)=30.

10.(1)由題意知,拋物線C的準線方程為x=-1,

所以點E(2,t)到焦點F的距離為2+片3,解得p=2.

所以拋物線C的方程為y2=4x.

⑵直線PQ與拋物線C只有一個交點.

理由如下：

設P(.yo).yo^O,Q(-l,m).

由(1)得焦點F(1,0),

則方=4-1,%)，而=(-2,m),由題意可得而?FQ=0,

故-2(￥-l)+myo=0,從而m萼二.

42yo

故直線PQ的方程為y-y。*(x-學)，得X2竽-亭①.

Jo424

又拋物線C的方程為y'4x②，

所以由①②得(y-y0)2=0,故y=y。,x=§.

故直線PQ與拋物線C只有一個交點.

回I提能力?考法實戰

22

11.B設Bh(g,b),Cr(y,c),則直線BC的方程為2x-(b+c)y+bc=0,直線AC的方程為2x-(2+c)y+2c=0,直線AB的方程

為2x-(2+b)y+2b=0.因為直線AC與圓相切，所以tM-=1,化簡得3c2+12c+8=0.同理,3b2+12b+8=0,則b,c是方程

j4+(2+c)2

3t2+12t+8=0的兩根,b+c=-4,be#所以直線BC的方程為2x+4y+1=0,即3x+6y+4=0.

12.B由題意可得拋物線E的焦點為(0,1),圓M的圓心為(0,1),半徑為4,所以圓心M(0,1)為拋物線的焦點，故

|NM|等于點N到準線y=-l的距離,又PN〃y軸,設NP與拋物線的準線y=-l交于點II,由拋物線定義可

得，|MN|=|NH!,故△PMN的周長l=iPM|+|PN|+|NHi=iPH|+4,由得y=3,又點P為劣弧AB上不同

(%2+(y-1)=16,

于A,B的一個動點,所以|PH的取值范圍是(4,6),所以△PMN的周長的取值范圍是(8,10),故選B.

13.C解法一由題意知,拋物線的焦點為F(p0).設A(xi,yi),B(x2,y2)(yi>0,y2<0),則而=(X2-Xi,y2-yi),FB=(x2-

*y2).因為荏=4麗所以=4(&個，艮吧=2爐2,①.又僅="②,由①②解得,=噌

2(y2-yi=4y2，(yi=-3y2M=2Pxz(y2=-yp.

所以直線1的斜率k-yiyz-2p=V3,所以直線1的傾斜角為事故選C.

%1一必、1+、23

解法二設拋物線的準線為直線1',如圖D9-5-2,過點A,B分別作AMU',BN±1',垂足分別為M,N,過點B作

BCLAM于C,則由拋物線的定義，知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.因為荏=4或，所以lAFl^lAB」IFB|=；|AB|,所以

44

|AC|=|AMHBN|=|AF|FB|』|AB|,所以在RtAABC中，/ABC』,ZBAC=-.因為AM〃x軸，所以NAFx=NBACj所以

2633

直線1的傾斜角為半故選C.

14.A因為直線1的傾斜角為:，所以直線1的斜率k=tan》l.由題意知拋物線的焦點為F(0,2),所以直線1的方程

%+2

為y=x+2.設A(xi,y,),B(X2,y2),由，tQ?,消去x,得y-12y+4=0,所以y1+y2=12.由拋物線的定義，得

|AB|=yi+y2+p=12+4=16.設與直線1平行的直線方程為y=x+m,代入拋物線的方程可得J-(2m+8)y+n^O,當直線y=x+m

與拋物線相切且D為切點時,D到直線1的距離最大,即ADAB的面積最大.所以A=(2m+8)-4m2=0,解得m=-2,此時

直線1與直線y=x+m的距離d—^=2位,所以aDAB面積的最大值為:X16X2夜=16夜,故選A.

V22

15.由己知可得可0,1),設A(X1,%,B(X2，M)，

44

由"丁2,得44kx-8=0,

=4y,

所以xi+x2=4k,XIX2=-8.

(1)IFAI+1FBI=四+1+磅+1=—直衛1至+2=41+6.

444

當k=l時，|FA|+|FB|=10.

(2)由題意可知,FA=(xi,M-D，或=(xz,學T),FC=(-3,-3).

44

由ZCFA=ZCFB得cos伉FC>=cos<FB,FC>,即［胃=惠筆,

又|FA|旦+1,FBl=^+l,

44

x2迄

所以華孚2=2字2,化簡并整理得4+2(XI+XJ-XIX2=0,即4+8k+8=0,

3^2(^-+1)3遮(？+1)

44

解得k=g

所以直線1的方程為3x+2y-4=0.

16.⑴?.?點P(xo,4)在拋物線上，.^.16=2px。①.由四邊形MFPN的周長為16得,p+4+2(x。+9=16,即xo+p=6②.

由①②可解得p=4或p=2.

?.?p〉2,???p二4.

22

⑵設A(xi,yi),B(X2,y2),直線AB的方程為x=my-2,代入拋物線方程得y=8(my-2),得y-8my+16=0.

由涓媼高紛。得,m2”,且片:亭;所,

?ki+匕-九十九一%-2771,13/2-4(%+冉)-0

~工「(工/(打氣)*

2X2-2(XJ-2)(X2-2)2)

17.A解法一由亦=入方，得0,P,F三點共線,所以點P在x軸上.

設直線AB的方程為x=my+a(a#:0),

聯立直線AB和拋物線的方程得'2=7*消去x并整理,得y2-2pmy-2pa=0,A=4p2m2+8pa>0.

(y=2px,

2

設A(xi,yi),B(X2,y2),則y?2=-2pa,xix2=^X^=a.

因為0A±0B,所以而,OB=0,則XiX2+yiy2=0,即a2-2pa=0,

解得a=2p或a=0(舍去)，則直線AB的方程為x=my+2p,

可知直線AB恒過定點(2p,0),即P(2p,0).

則據(2p,0),OF=g,0),由據人證得X=4.故選A.

解法二由前=人標，得0,P,F三點共線,所以點P在x軸上.

由題意知,兩弦0A,0B互相垂直，

根據拋物線的兩垂直弦的性質(拋物線y=2px(p>0)中,若過坐標原點0作互相垂直的兩弦0A,0B,則直線AB恒過定

點(2p,0).)

可知直線AB恒過定點(2p,0),即P(2p,0).

則砧(2p,0),OF=§0),由砧人兩得X=4.故選A.

18.AC對于A,當AMAF為正三角形時，|AF|=|AM|=|MF|=4,如圖D9-5-3所示，設拋物線C的準線交x軸于點N,則

由拋物線的定義知AM與準線垂直，在正三角形MAF中，NAMF=60°,所以NFMN=30°,所以|NF|=||MF|,而|NF|=p,所

以IMF|=2,故A正確;對于B,假設存在點M,使得前了-證=0,即罰=祈2則點A,F重合，與已知條件矛盾,所以B

不正確;對于C,若而=3萬，則IMF|