PAGEPAGE1第3講幾何概型1．(2024·益陽(yáng)市、湘潭市調(diào)研)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為四邊上隨意一點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)度大于5的概率等于()A.eq\f(1,32) B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,8)解析：選D.設(shè)M，N分別為BC，CD靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，則當(dāng)E在線段CM，CN(不包括M，N)上時(shí)，AE的長(zhǎng)度大于5，因?yàn)檎叫蔚闹荛L(zhǎng)為16，CM＋CN＝2，所以AE的長(zhǎng)度大于5的概率等于eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，故選D.2．在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)解析：選C.設(shè)AC＝x(0<x<12)，則CB＝12－x，所以x(12－x)<32，解得0<x<4或8<x<12.所以P＝eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).3.在如圖所示的圓形圖案中有12片樹(shù)葉，構(gòu)成樹(shù)葉的圓弧均相同且所對(duì)的圓心角為eq\f(π,3)，若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自樹(shù)葉(即圖中陰影部分)的概率是()A．2－eq\f(3\r(3),π) B.4－eq\f(6\r(3),π)C.eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D．eq\f(2,3)解析：選B.設(shè)圓的半徑為r，依據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S＝24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))＝4πr2－6eq\r(3)r2，圓的面積S′＝πr2，所以此點(diǎn)取自樹(shù)葉(即圖中陰影部分)的概率為eq\f(S,S′)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故選B.4．已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：選A.由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形，直線y＝kx將其面積平分，如圖，所求概率為eq\f(1,2).5.如圖所示，A是圓上肯定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長(zhǎng)度小于或等于半徑的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：選C.當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點(diǎn)在A點(diǎn)左右都可取得，故由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故選C.6.某人隨機(jī)地在如圖所示的正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的外界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為_(kāi)_______．解析：設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，圓的半徑為R，則正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2.由正弦定理得2R＝eq\f(a,sin60°)，即R＝eq\f(\r(3),3)a，所以圓的面積S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.由幾何概型的概率計(jì)算公式得概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π).答案：eq\f(3\r(3),4π)7.如圖所示，OA＝1，在以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓弧上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則△AOB的面積小于eq\f(1,4)的概率為_(kāi)_______．解析：因?yàn)镺A＝1，若△AOB的面積小于eq\f(1,4)，則eq\f(1,2)×1×1×sin∠AOB<eq\f(1,4)，所以sin∠AOB<eq\f(1,2)，所以0<∠AOB<eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)<∠AOB<π，所以△AOB的面積小于eq\f(1,4)的概率為eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．一只昆蟲(chóng)在邊長(zhǎng)分別為5，12，13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形頂點(diǎn)的距離小于2的概率為_(kāi)_______．解析：如圖，△ABC為直角三角形，且BC＝5，AC＝12.圖中陰影部分是三個(gè)分別以A，B，C為圓心，2為半徑的扇形，所以S陰＝eq\f(1,2)π×22＝2π.所以昆蟲(chóng)到三角形頂點(diǎn)的距離小于2的概率P＝eq\f(S陰,S△ABC)＝eq\f(2π,\f(1,2)×12×5)＝eq\f(π,15).答案：eq\f(π,15)9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M.(1)求四棱錐M-ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率；(2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率．解：(1)正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)M-ABCD的高為h，令eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h＝eq\f(1,6).因?yàn)镾四邊形ABCD＝1，所以h＝eq\f(1,2).若體積小于eq\f(1,6)，則h<eq\f(1,2)，即點(diǎn)M在正方體的下半部分，所以P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)閂三棱柱ABC-A1B1C1＝eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,2)，所以所求概率P1＝eq\f(V三棱柱ABC-A1B1C1,V正方體)＝eq\f(1,2).10．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，設(shè)M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y)．(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率；(2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x＋y＝0的距離不大于eq\f(\r(2),2)的概率．解：(1)集合M內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S＝8.因?yàn)閤2＋y2＝1的面積S1＝π，故所求概率為P1＝eq\f(S1,S)＝eq\f(π,8).(2)由題意eq\f(|x＋y|,\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即－1≤x＋y≤1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，面積S2＝4，故所求概率為P2＝eq\f(S2,S)＝eq\f(1,2).1．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：選C.如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因?yàn)閑q\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，故選C.2．任取實(shí)數(shù)a、b∈[－1，1]，則a、b滿意|a－2b|≤2的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D．eq\f(7,8)解析：選D.建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)閨a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，所以|a－2b|≤2的概率為eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(7,8).3．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sinx＋cosx∈[1，eq\r(2)]的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,8) D．eq\f(5,8)解析：選B.因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，所以x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(3π,4)))，由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[1，eq\r(2)]，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤1，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故要求的概率為eq\f(\f(π,2)－0,\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(3,4).4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書(shū)中給出了勾股定理的絕妙證明．如圖是趙爽的弦圖．弦圖是一個(gè)以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí)．圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成朱(紅)色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱實(shí)＋黃實(shí)＝弦實(shí)＝弦2，化簡(jiǎn)得：勾2＋股2＝弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶eq\r(3)，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘(大小忽視不計(jì))，則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A．866 B.500C．300 D．134解析：選D.設(shè)勾為a，則股為eq\r(3)a，所以弦為2a，小正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(3)a－a，所以題圖中大正方形的面積為4a2，小正方形的面積為(eq\r(3)－1)2a2，所以小正方形與大正方形的面積比為eq\f(（\r(3)－1）2,4)＝1－eq\f(\r(3),2)，所以落在黃色圖形(小正方形)內(nèi)的圖釘數(shù)大約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))×1000≈134.5．已知袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，其次次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.①記“a＋b＝2”為事務(wù)A，求事務(wù)A的概率；②在區(qū)間[0，2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事務(wù)“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依題意eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①記標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)閟，標(biāo)號(hào)為1的小球?yàn)閠，標(biāo)號(hào)為2的小球?yàn)閗，h，則取出2個(gè)小球的可能狀況有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12種，其中滿意“a＋b＝2”的有4種：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率為P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).②記“x2＋y2>(a－b)2恒成立”為事務(wù)B，則事務(wù)B等價(jià)于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事務(wù)B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锽＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率為P(B)＝1－eq\f(π,4).6．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分別表示將一質(zhì)地勻稱的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)的概率；(2)若a，b∈[1，6]，求滿意y＝f(x)有零點(diǎn)的概率．解：(1)設(shè)(a，b)表示一個(gè)基本領(lǐng)件，則拋擲兩次骰子的全部基本領(lǐng)件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36個(gè)．用A表示事務(wù)“y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，則a＋1＝2b.則A包含的基本領(lǐng)件有(1，1)，(