第2章第2節二次函數的圖像與性質一、選擇題1．拋物線的頂點坐標是（）A．（-1，2）B．（-1，-2）C．（1，2）D．（1，-2）答案：C解析：解答：∵頂點式，頂點坐標是（h，k），∴拋物線y=（x-1）2+2的頂點坐標是（1，2）．故選：C．分析：利用拋物線頂點式的特點直接寫出頂點坐標．此題考查了求拋物線的頂點坐標的方法．熟記二次函數的頂點式的形式是解題的關鍵．2．函數與（k≠0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：由解析式可得：拋物線對稱軸x=0；A．由雙曲線的兩個分支分別位于二、四象限，可得k＜0，則-k＞0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點為y軸的負半軸上；本圖象與k的取值相矛盾，故A錯誤；B．由雙曲線的兩個分支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故B正確；C．由雙曲線的兩個分支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故C錯誤；D．由雙曲線的兩個分支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故D錯誤．故選：B．分析：此題可以先根據反比例函數的圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比較看一看是否一致．解決此類問題步驟一般為：（1）先根據圖象的特點判斷k的取值是否矛盾；（2）根據二次函數圖象判斷拋物線與y軸的交點是否符合要求．3．在下列二次函數中，其圖象對稱軸為x=-2的是（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：的對稱軸為x=-2，故A正確；的對稱軸為x=0，故B錯誤；的對稱軸為x=0，故C錯誤；的對稱軸為x=2，故D錯誤．故選：A．分析：根據二次函數的性質求出各個函數的對稱軸，依次進行判斷，選出正確的選項．本題考查的是二次函數的性質，正確求出二次函數圖象的對稱軸是解題的關鍵．4．如圖是二次函數的圖象，下列結論：①二次三項式的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程的兩根之和為-1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個數有（）A．1個B．2個C．3個D．4個答案：B解析：解答：∵拋物線的頂點坐標為（-1，4），∴二次三項式的最大值為4，故①正確；∵x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正確；根據拋物線的對稱性可知，一元二次方程的兩根之和為-2，故③錯誤；使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0或x≤-2，故④錯誤，故選：B．分析：此題考查的是二次函數的圖象、二次函數的最值、二次函數與不等式，掌握二次函數的性質、正確獲取圖象信息是解題的關鍵．①根據拋物線的頂點坐標確定二次三項式的最大值；②根據x=2時，y＜0確定4a+2b+c的符號；③根據拋物線的對稱性確定一元二次方程的兩根之和；④根據函數圖象確定使y≤3成立的x的取值范圍．5．在同一直角坐標系中，函數和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（）A．B．C．D．答案：D解析：解答：A．由一次函數y=kx+k的圖象可得：k＞0，此時二次函數的圖象應該開口向上，錯誤；B．由一次函數y=kx+k圖象可知，k＞0，此時二次函數的圖象頂點應在y軸的負半軸，錯誤；C．由一次函數y=kx+k可知，y隨x增大而減小時，直線與y軸交于負半軸，錯誤；D．正確．故選：D．分析：先根據一次函數的圖象判斷k的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．本題考查的是一次函數和二次函數的圖象，解答此類題要熟練掌握一次函數y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標．6．如圖圖形中，陰影部分面積相等的是（）

A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．丙丁答案：B解析：解答：甲：直線與x軸交點為（3，0），與y軸的交點為（0，4），則陰影部分的面積為×3×4=6；乙：陰影部分為斜邊為4的等腰直角三角形，其面積為×4×2=4；丙：拋物線與x軸的兩個交點為（-3，0）與（3，0），頂點坐標為（0，-2），則陰影部分的面積為×6×2=6；丁：此函數是反比例函數，那么陰影部分的面積為×6=3；因此甲、丙的面積相等，故選：B．分析：甲、丙：根據函數解析式求出圖象與x軸，y軸的交點坐標，再計算陰影部分的面積；乙：可判斷出陰影部分為斜邊為4的等腰直角三角形，據此計算陰影部分的面積；丁：利用反比例函數系數k的幾何意義求出陰影部分的面積．此題考查了函數圖象與坐標軸交點坐標的求法以及圖形面積的求法，熟練掌握各類函數的圖象特點是解決問題的關鍵．7．王芳將如圖所示的三條水平直線，，的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線，，的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標平面內畫出了拋物線，則她所選擇的x軸和y軸分別為（）A．，B．，C．，D．，答案：A解析：解答：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，∵，∴拋物線的對稱軸為直線x=3，∴應選擇的y軸為直線；∵頂點坐標為（3，-3-9a），拋物線與y軸的交點為（0，-3），而-3-9a＜-3，∴應選擇的x軸為直線，故選：A．分析：根據拋物線開口向上可知a＞0，將拋物線配方為，可得拋物線的對稱軸為x=3，頂點縱坐標為-3-9a，由此結合圖象得到答案．此題考查了二次函數的圖象，理解二次函數的圖象與各系數的關系是解題的關鍵，注意數形結合思想的運用．8．已知拋物線y=ax2+bx+c開口向下，頂點坐標（3，-5），那么該拋物線有（）A．最小值-5B．最大值-5C．最小值3D．最大值3答案：B解析：解答：因為拋物線開口向下和其頂點坐標為（3，-5），所以該拋物線有最大值-5．故選：B．分析：由拋物線的開口向下和其頂點坐標為（3，-5），根據拋物線的性質可以做出判斷．9．拋物線經過平移得到，平移方法是（）A．向右平移1個單位，再向上平移1個單位B．向右平移1個單位，再向下平移1個單位C．向左平移1個單位，再向上平移1個單位D．向左平移1個單位，再向下平移1個單位答案：C解析：解答：∵的頂點坐標為（1，-1），平移后拋物線的頂點坐標為（0，0），∴平移方法為：向左平移1個單位，再向上平移1個單位．故選：C．分析：由拋物線得到頂點坐標為（1，-1），而平移后拋物線的頂點坐標為（0，0），根據頂點坐標的變化尋找平移方法．關鍵是確定平移前后拋物線的頂點坐標，尋找平移規律．10．若（2，5）、（4，5）是拋物線上的兩個點，則它的對稱軸是（）A．B．x=1C．x=2D．x=3答案：D解析：解答：因為拋物線與x軸相交于點（2，5）、（4，5），根據拋物線上縱坐標相等的兩點，其橫坐標的平均數就是對稱軸，所以，對稱軸=3；故選：D．分析：因為點（2，5）、（4，5）是該拋物線上關于對稱軸對稱的兩點，所以只需求出兩對稱點橫坐標的平均數即可．此題考查了二次函數的對稱性．11．若點A（2，），B（-3，），C（-1，）三點在拋物線的圖象上，則、、的大小關系是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：∵二次函數中a=1＞0，∴開口向上，對稱軸為x==2，∵A（2，）中x=2，∴最小，又∵B（-3，），C（-1，）都在對稱軸的左側，而在對稱軸的左側，y隨x得增大而減小，所以．∴．故選：C．分析：首先求出二次函數的圖象的對稱軸，然后判斷出A（2，），B（-3，），C（-1，）在拋物線上的位置，最后根據二次函數的增減性求解．解答此題的關鍵是（1）找到二次函數的對稱軸；（2）掌握二次函數的圖象性質．12．若函數的自變量x的取值范圍是全體實數，則c的取值范圍是（）A．c＞1B．c=1C．c＜1D．c≤1答案：A解析：解答：由題意，得△=，解得c＞1．故選：A．分析：先根據分式的意義，分母不等于0，得出，再根據二次函數（a≠0）的圖象性質，可知當二次項系數a＞0，△＜0時，有y＞0，此時自變量x的取值范圍是全體實數．要使得此題函數式子有意義，必須滿足分母不等于0．難點在于分母是關于自變量x的二次函數，要使自變量x的取值范圍是全體實數，必須滿足△＜0．13．二次函數（m為常數）的圖象如圖所示，當x=a時，y＜0；那么當x=a-1時，函數值（）A．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m答案：C解析：解答：當x=a時，y＜0，則a的取值范圍是，又對稱軸是x=，所以a-1＜0，當x＜時，y隨x的增大而減小，當x=0時，函數值是m．因而當x=a-1＜0時，函數值y一定大于m．故選：C．分析：根據對稱軸及函數值判斷a的取值范圍，從而得出a-1＜0，因為當x＜時，y隨x的增大而減小，所以當x=a-1＜0時，函數值y一定大于m．此題主要考查二次函數的對稱軸，以及增減性．14．直角坐標平面上將二次函數的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，則其頂點為（）A．（0，0）B．（1，-2）C．（0，-1）D．（-2，1）答案：C解析：解答：由題意得原拋物線的頂點為（1，-2），∵圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，∴新拋物線的頂點為（0，-1）．故選：C．分析：易得原拋物線頂點，把橫坐標減1，縱坐標加1即可得到新的頂點坐標．此題考查二次函數的平移問題；用到的知識點為：二次函數圖象的平移與頂點的平移一致．15．便民商店經營一種商品，在銷售過程中，發現一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關系滿足，由于某種原因，價格只能15≤x≤22，那么一周可獲得最大利潤是（）A．20B．1508C．1558D．1585答案：C解析：解答：∵一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關系滿足，且15≤x≤22，∴當x=20時，．故選：C．分析：因為該二次函數的開口方向向下，所以當x-20=0時，y取最大值．此題考查了二次函數的最值．此題要注意x的取值范圍，在15≤x≤22范圍內求解．二、填空題16．已知二次函數的圖象開口向下，則m的取值范圍是答案：m＜2解析：解答：∵二次函數的圖象開口向下，∴m-2＜0，∴m＜2，故答案為：m＜2．分析：由圖象的開口方向知m-2＜0，確定m的取值范圍．考查了二次函數的性質，二次項系數決定了開口方向，大于零開口向上，小于零開口向下．17．黃岡中學是百年名校，百年校慶上的焰火晚會令很多人記憶猶新．有一種焰火升高高度為h（m）與飛行時間t（s）的關系式是，若這種焰火在點燃升空后到最高處引爆，則從點火到引爆所需時間為s．答案：4解析：解答：根據題意，得焰火引爆處為拋物線的頂點處，頂點處的橫坐標即代表從點火到引爆所需時間，則t==4s，故答案為：4．分析：根據關系式可知焰火的運行軌跡是一個開口向下的拋物線，已知焰火在升到最高時引爆，即到達拋物線的頂點時引爆，頂點橫坐標就是從點火到引爆所需時間．利用二次函數的性質，結合圖象與實際問題的聯系進行解答．18．已知二次函數的圖象如圖所示，則點P（a，bc）在第象限．答案：一解析：解答：從圖象得出，二次函數的對稱軸在y軸的右側，且開口向上，∴a＞0，＞0，所以b＜0，∵二次函數的圖象與y軸交于y軸的負半軸，∴c＜0，∴a＞0，bc＞0，則點P（a，bc）在第一象限．故答案為：一．分析：只要根據二次函數的圖象及性質判斷出a及bc的符號，就可得出點P（a，bc）所在象限．此題考查了二次函數圖象的對稱軸、開口方向與y軸的交點與系數的關系．19．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列說法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④當x＞1時，函數y隨x的增大而增大；⑤當y＞0時，-1＜x＜3．其中，正確的說法有（請寫出所有正確說法的序號）．答案：②⑤解析：解答：∵拋物線的開口向下，與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①錯誤；由圖象可知：，∴2a+b=0，∴②正確；當x=1時，y=a+b+c＞0，∴③錯誤；由圖象可知：當x＞1時，函數y隨x的增大而減小，∴④錯誤；根據圖象，當-1＜x＜3時，y＞0，∴⑤正確；正確的說法有②⑤．故答案為：②⑤分析：①由圖象開口向下和與y軸的交點位置，求出a＜0，c＞0判斷；②由拋物線的頂點的橫坐標判定；③把x=1代入拋物線，根據縱坐標y的值判斷；④根據圖象的性質（部分圖象的延伸方向）判斷；⑤根據圖象在x軸的上方時，y＞0，即可求出．注意：根據拋物線的開口方向即可得到a的正負，根據拋物線與y軸的交點的縱坐標即可求出c的值，根據頂點的橫坐標得出2a和b的關系式，把x=1或（-1）代入即可求出a+b+c和a-b+c的值．20．已知拋物線（a＜0）過A（-2，0）、O（0，0）、B（-3，）、C（3，）四點，則與的大小關系是答案：解析：解答：∵拋物線與x軸交于A（-2，0）、O（0，0）兩點，∴拋物線對稱軸為x==-1，∵B（-3，）、C（3，），點B離對稱軸較近，且拋物線開口向下，∴．故答案為：．分析：由已知得拋物線與x軸交于A（-2，0）、O（0，0）兩點，開口向下，對稱軸為x==-1，可知B、C兩點在對稱軸的兩邊，點B離對稱軸較近，再根據拋物線圖象進行判斷．此題考查了二次函數的增減性．熟練掌握：當二次項系數a＞0時，在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大；a＜0時，在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小．三、解答題21．已知拋物線，（1）用配方法確定它的頂點坐標、對稱軸；答案：（-1，）｜直線x=-1（2）x取何值時，y隨x增大而減小？答案：x＞-1（3）x取何值時，拋物線在x軸上方？答案：-4＜x＜2解析：解答：（1）∵===，∴它的頂點坐標為（-1，），對稱軸為直線x=-1；（2）∵拋物線對稱軸是直線x=-1，開口向下，∴當x＞-1時，y隨x增大而減小；（3）當y=0時，=0解得=2，=-4，而拋物線開口向下，∴當-4＜x＜2時，拋物線在x軸上方．分析：（1）用配方法寫成頂點式，根據頂點式的坐標特點求頂點坐標及對稱軸；（2）對稱軸是x=-1，開口向下，根據對稱軸及開口方向確定函數的增減性；（3）令y=0，確定函數圖象與x軸的交點，結合開口方向判斷x的取值范圍．注意：拋物線的頂點式適合與確定拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸，最大（小）值，增減性等；拋物線的交點式適合于確定函數值y＞0，y=0，y＜0．22．用配方法把函數化成的形式，然后指出它的圖象開口方向，對稱軸，頂點坐標和最值．答案：向下｜x=-1｜（-1，13）｜最大值13解析：解答：∵，∴開口向下，對稱軸x=-1，頂點坐標（-1，13），最大值13．分析：這個函數的二次項系數是-3，配方法變形成的形式，配方的方法是把二次項，一次項先分為一組，提出二次項系數-3，加上一次項系數的一半，就可以變形成頂點式的形式．二次函數的頂點式是：（a≠0，且a，h，k是常數），它的對稱軸是x=h，頂點坐標是（h，k）．23．已知m，n是關于x的方程的兩實根，求的最小值．答案：8解析：解答：依題意△=≥0，即，∴a≤-2或a≥3，由m+n=2a，mn=a+6，，∴a=3時，y的最小值為8．故答案為：8．分析：根據方程有兩個根，利用根的判別式求出a的取值范圍，再根據根與系數的關系求出m+n與mn的值，然后把整理成m+n與mn的形式，代入進行計算求解．此題考查了二次函數的最值問題，根的判別式，利用根的判別式求出a的取值范圍是解題的關鍵．24．把拋物線平移得到拋物線m，拋物線m經過點A（-6，0）和原點O（0，0），它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線交于點Q．（1）求頂點P的坐標；答案：（-3，）（2）寫出平移過程；答案：先向左平移3個單位，再向下平移個單位（3）求圖中陰影部分的面積．答案：解析：解答：（1）平移的拋物線解析式為==，所以頂點P的坐標為（-3，）；（2）把拋物線先向左平移3個單位，再向下平移個單位即可得到拋物線；（3）圖中陰影部分的面積=．分析：（1）先利用交點式確定平移后的拋物線解析式，然后配