2025年小升初數學入學考試模擬題（拓展創(chuàng)新型）-數列極限問題試卷一、選擇題要求：從每小題給出的四個選項中，選出正確的一項。1.下列數列中，極限存在的是（）A.$\{a_n\}=\frac{1}{n}$B.$\{a_n\}=\frac{n}{n+1}$C.$\{a_n\}=\frac{n}{n^2-1}$D.$\{a_n\}=\frac{n}{n^2+n}$2.數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數列$\{a_n\}$的極限（）A.$e$B.$e-1$C.$e+1$D.無極限二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則$a_5=$__________。4.數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數列$\{a_n\}$的極限為__________。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$是單調遞增數列。（2）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在。6.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$是單調遞增數列。（2）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在。7.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$是單調遞增數列。（2）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在。8.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$是單調遞增數列。（2）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在。9.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$是單調遞增數列。（2）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在。10.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$是單調遞增數列。（2）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在。四、應用題要求：解答下列各題。11.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在，并求出該極限的值。12.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在，并求出該極限的值。五、證明題要求：證明下列各題。13.證明：若數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則$\{a_n\}$的極限不存在。14.證明：若數列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}$，則$\{a_n\}$的極限存在，并求出該極限的值。六、綜合題要求：解答下列各題。15.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=4$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{4}$，求證：$\{a_n\}$的極限存在，并求出該極限的值。16.設數列$\{a_n\}$滿足$a_1=5$，$a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+\frac{2}{5}$，已知$\{a_n\}$的極限存在，求該極限的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：選項A的極限為0，選項C的極限為0，選項D的極限為0，而選項B的極限為1。2.A解析：根據數列的遞推公式，我們可以看到每一項都是前一項加上一個正數，因此數列是單調遞增的。由于數列是單調遞增且有上界，根據單調有界定理，數列的極限存在。同時，通過計算，我們可以發(fā)現數列的極限是$e$。二、填空題3.$\frac{17}{12}$解析：根據數列的遞推公式，我們可以計算出$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{17}{12}$，所以$a_5=\frac{17}{12}$。4.$e$解析：根據數列的遞推公式和極限存在的性質，我們可以推導出數列的極限為$e$。三、解答題5.（1）證明：對于任意的$n\geq1$，我們有$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$。由于$a_n>0$，所以$\frac{1}{a_n}>0$，因此$a_{n+1}>a_n$。所以數列$\{a_n\}$是單調遞增的。（2）證明：由于數列$\{a_n\}$是單調遞增且有上界，根據單調有界定理，數列的極限存在。6.（1）證明：與第5題（1）的證明相同。（2）證明：與第5題（2）的證明相同。7.（1）證明：與第5題（1）的證明相同。（2）證明：與第5題（2）的證明相同。8.（1）證明：與第5題（1）的證明相同。（2）證明：與第5題（2）的證明相同。9.（1）證明：與第5題（1）的證明相同。（2）證明：與第5題（2）的證明相同。10.（1）證明：與第5題（1）的證明相同。（2）證明：與第5題（2）的證明相同。四、應用題11.解答：由于$a_1=2$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$，我們可以遞推計算出$a_2=\sqrt{2}$，$a_3=\sqrt{\sqrt{2}}$，以此類推。由于$\sqrt{\sqrt{2}}$是一個遞減的數列，且其極限存在，我們可以得出結論：數列$\{a_n\}$的極限存在，且極限為$\sqrt{\sqrt{2}}$。12.解答：由于$a_1=3$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}$，我們可以遞推計算出$a_2=\frac{3}{2}+\frac{1}{3}$，$a_3=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}+\frac{1}{3})+\frac{1}{3}$，以此類推。通過計算和觀察，我們可以得出結論：數列$\{a_n\}$的極限存在，且極限為$\frac{5}{3}$。五、證明題13.證明：假設數列$\{a_n\}$的極限存在，設為$L$。那么根據數列的遞推公式，我們有$L=L+\frac{1}{L}$，這是不可能的，因為$L$不能同時等于$L+\frac{1}{L}$。因此，數列$\{a_n\}$的極限不存在。14.證明：由于$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}$，我們可以推導出$a_{n+1}-\frac{5}{6}=\frac{1}{2}(a_n-\frac{5}{6})$。這意味著數列$\{a_n-\frac{5}{6}\}$是一個等比數列，其公比為$\frac{1}{2}$。由于等比數列的極限存在，我們可以得出結論：數列$\{a_n\}$的極限存在，且極限為$\frac{5}{3}$。六、綜合題15.解答：由于$a_1=4$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{4}$，我們可以遞推計算出$a_2=2+\frac{1}{4}$，$a_3=\frac{1}{2}(2+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}$，以此類推。通過計算和觀察，我們可以得出結論：數列$\{a_n\}$的極限存在，且極限為$\frac{8}{3}$。16.解答：由于$a_1=5$，$a_{n+1}=\fr