成人高考高升專數學（理）沖刺階段全真模擬卷（含函數極值壓軸題）真題再現一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設函數f(x)=x^3-3x，則f(x)的極值點為：A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=32.若函數f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極小值，則a、b、c應滿足：A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<03.函數f(x)=x^3-6x^2+9x在x=1處的導數為：A.0B.1C.2D.34.若函數f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極大值，則a、b、c應滿足：A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<05.設函數f(x)=x^3-3x，則f(x)的單調增區間為：A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,3)二、填空題要求：將正確答案填入空格內。6.函數f(x)=x^3-6x^2+9x的導數為______。7.若函數f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極小值，則f(1)=______。8.函數f(x)=x^3-3x在x=1處的導數為______。三、解答題要求：寫出解題過程，并給出最終答案。9.設函數f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求f(x)的單調區間和極值。10.設函數f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極大值，且f(0)=2，f(2)=4，求a、b、c的值。四、應用題要求：根據題目給出的條件，求解下列問題。11.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為20元，售價為30元。為了促銷，工廠決定對每件產品進行打折，假設每降低1元，產品的銷量增加10件。求工廠在打折后每降低多少元時，總利潤最大，并求出此時的最大利潤。五、證明題要求：證明下列等式成立。12.證明：對于任意實數x，有（x^2-1）^2≥0。六、綜合題要求：綜合運用所學知識，完成下列問題。13.已知函數f(x)=2x^3-9x^2+12x，求f(x)的極值點和拐點，并作出函數的圖像。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數f(x)=x^3-3x的導數為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。通過一階導數的符號變化，可以判斷x=-1是極大值點，x=1是極小值點。2.B解析：若函數在x=1時取得極小值，則f'(1)=0，且f''(1)>0。由于f'(x)=2ax+b，當x=1時，2a+b=0，且f''(x)=2a>0，所以a>0，b<0，c可以是任意實數。3.A解析：函數f(x)=x^3-6x^2+9x的導數為f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1。在x=1處，導數為0。4.D解析：若函數在x=1時取得極大值，則f'(1)=0，且f''(1)<0。由于f'(x)=2ax+b，當x=1時，2a+b=0，且f''(x)=2a<0，所以a<0，b<0，c可以是任意實數。5.B解析：函數f(x)=x^3-3x的單調增區間由導數f'(x)=3x^2-3的正負決定。令f'(x)>0，解得x>1或x<0，所以單調增區間為(0,1)和(1,+∞)。二、填空題6.3x^2-12x+9解析：根據導數的定義，函數f(x)=x^3-6x^2+9x的導數為f'(x)=3x^2-12x+9。7.2解析：由于f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極小值，則f'(1)=0，且f''(1)>0。由于f'(x)=2ax+b，當x=1時，2a+b=0，所以f(1)=a+b+c=2。8.0解析：函數f(x)=x^3-3x在x=1處的導數為f'(1)=3*1^2-3=0。三、解答題9.解答：函數f(x)=x^3-3x^2+4x-6的導數為f'(x)=3x^2-6x+4。令f'(x)=0，解得x=2/3或x=2。通過一階導數的符號變化，可以判斷x=2/3是極大值點，x=2是極小值點。計算f(2/3)和f(2)的值，得到極大值為f(2/3)=-8/27，極小值為f(2)=-2。10.解答：由于f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極大值，則f'(1)=0，且f''(1)<0。由于f'(x)=2ax+b，當x=1時，2a+b=0。又因為f(0)=2，f(2)=4，可以列出方程組：a+c=24a+2b+c=4解得a=1，b=-2，c=1。四、應用題11.解答：設每降低x元，總利潤為P(x)。則每件產品的售價為30-x元，銷量為10x件。總利潤P(x)=(30-x)(10x)-20(10x)=-10x^2+100x。求P(x)的最大值，即求P(x)的導數為0的x值。P'(x)=-20x+100，令P'(x)=0，解得x=5。此時，總利潤最大，最大利潤為P(5)=-10*5^2+100*5=250元。五、證明題12.解答：對于任意實數x，有（x^2-1）^2=(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)^2。由于平方總是非負的，所以(x-1)^2≥0且(x+1)^2≥0，因此（x^2-1）^2≥0。六、綜合題13.解答：函數f(x)=2x^3-9x^2+12x的導數為f'(x)=6x^2-18x+12，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。通過一階導數的符號變化，可以判斷x=1是極大值點，x=2是極小值點。計算