IB課程SL數學2025年秋季試卷：統計與概率應用難題解析一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選擇一個最符合題意的答案。1.下列哪個概率分布屬于離散型隨機變量？A.正態分布B.指數分布C.二項分布D.均勻分布2.在一個班級中，有30名學生，其中有18名男生和12名女生。隨機抽取一名學生，求抽到女生的概率。A.0.4B.0.6C.0.5D.13.下列哪個統計量是用來衡量一組數據的離散程度的？A.平均數B.中位數C.眾數D.標準差4.一個袋子里有5個紅球和3個藍球，隨機取出一個球，求取出紅球的概率。A.5/8B.3/8C.2/5D.1/25.下列哪個統計量是用來衡量一組數據的集中趨勢的？A.平均數B.中位數C.眾數D.標準差二、填空題要求：將下列各題的空格填上合適的數字或字母。6.一個班級有40名學生，其中有20名男生和20名女生。隨機抽取一名學生，抽到女生的概率是______。7.一個數據集的方差是______，那么它的標準差是______。8.下列哪個概率分布屬于連續型隨機變量？______。9.一個數據集的中位數是______，那么它的四分位數分別是______和______。10.一個班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生。隨機抽取一名學生，求抽到男生的概率是______。三、解答題要求：解答下列各題。11.某個班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生。隨機抽取3名學生，求以下概率：（1）抽到的3名學生都是男生；（2）抽到的3名學生中有2名男生和1名女生；（3）抽到的3名學生中至少有1名女生。12.一個數據集的頻率分布如下表所示：|數據值|頻率||-------|-----||1|3||2|5||3|7||4|8||5|6|（1）求該數據集的平均數、中位數和眾數；（2）求該數據集的方差和標準差。四、解答題要求：解答下列各題。13.一個盒子里有5個紅球和7個藍球，隨機取出兩個球，求以下概率：（1）兩個球都是紅球；（2）兩個球都是藍球；（3）取出的兩個球顏色不同。14.下列是某班學生一次數學考試的成績分布表，請根據表格計算以下指標：|成績區間|頻數||----------|------||0-20|3||21-40|5||41-60|10||61-80|15||81-100|7|（1）求該班學生的平均成績；（2）求該班學生的成績標準差；（3）求該班學生的成績方差。五、解答題要求：解答下列各題。15.一個班級有40名學生，成績分布如下：-成績在90分以上的有5人；-成績在80-89分的有10人；-成績在70-79分的有15人；-成績在60-69分的有8人；-成績在59分以下的有2人。（1）計算該班級的平均成績；（2）計算該班級成績的中位數；（3）計算該班級成績的眾數。六、解答題要求：解答下列各題。16.一個數據集的頻數分布如下：|數據值|頻數||-------|-----||10|2||15|5||20|8||25|4||30|3|（1）計算該數據集的平均值；（2）計算該數據集的方差；（3）計算該數據集的標準差。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：離散型隨機變量是指取值為有限個或可數無限個的隨機變量，二項分布是一種離散型概率分布，其取值為0到n（n為試驗次數）之間的整數。2.B解析：抽到女生的概率為女生人數除以總人數，即12/30=0.4。3.D解析：標準差是衡量一組數據離散程度的統計量，它反映了數據分布的分散程度。4.A解析：取出紅球的概率為紅球數量除以總球數，即5/(5+3)=5/8。5.A解析：平均數是衡量一組數據集中趨勢的統計量，它反映了數據分布的中心位置。二、填空題6.0.3解析：抽到女生的概率為女生人數除以總人數，即12/40=0.3。7.5，2.24解析：方差是標準差的平方，標準差是方差的平方根。方差的計算公式為：方差=Σ(x-平均數)2/n，其中x為數據值，n為數據個數。標準差的計算公式為：標準差=√方差。8.指數分布解析：指數分布是一種連續型概率分布，其概率密度函數為f(x)=λe^(-λx)，其中λ為分布參數。9.3，2，4解析：中位數是將一組數據從小到大排列后，位于中間位置的數。四分位數是將一組數據從小到大排列后，將其分為四個部分，每部分包含25%的數據。10.0.6解析：抽到男生的概率為男生人數除以總人數，即30/50=0.6。三、解答題11.（1）抽到的3名學生都是男生的概率為(30/50)*(29/49)*(28/48)。（2）抽到的3名學生中有2名男生和1名女生的概率為C(30,2)*C(20,1)/C(50,3)。（3）抽到的3名學生中至少有1名女生的概率為1-(30/50)*(29/49)*(28/48)。12.（1）平均數=(1*3+2*5+3*7+4*8+5*6)/(3+5+7+8+6)=3.2。中位數=(3+4)/2=3.5。眾數=4。（2）方差=[(1-3.2)2*3+(2-3.2)2*5+(3-3.2)2*7+(4-3.2)2*8+(5-3.2)2*6]/(3+5+7+8+6)=1.96。標準差=√方差=1.4。四、解答題13.（1）兩個球都是紅球的概率為(5/12)*(4/11)。（2）兩個球都是藍球的概率為(7/12)*(6/11)。（3）取出的兩個球顏色不同的概率為1-[(5/12)*(4/11)+(7/12)*(6/11)]。14.（1）平均成績=(0*3+21*5+41*10+61*15+81*7)/(3+5+10+15+7)=55.8。（2）成績標準差=√[Σ(成績-平均成績)2/(數據個數-1)]。（3）成績方差=[Σ(成績-平均成績)2/(數據個數-1)]。15.（1）平均成績=(90*5+80*10+70*15+60*8+59*2)/50=72。（2）中位數=(70+70)/2=70。（3）眾數=70。16.（1）平均值=(10*2+15*5+20*8