第二十七章

相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第1課時平行線分線段成比例定理新課導(dǎo)入如圖，給出的兩個四邊形是相似圖形，具體數(shù)據(jù)如圖所示．求未知邊a，b的長度及角α的值．解∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴∠A=∠A',

∠B=∠B',

∠C=∠C',∠D=∠D',

∴a=5,b=18.∴∠α=360°－63°－84°－75°，

探究新知

1在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．在△ABC和△A'B'C'中，如果我們就說△ABC和△A'B'C'相似，相似比為k，相似符號為“∽”.CABC'A'B'(1)如果k＝1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？(3)若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，則△ABC∽△A″B″C″嗎？(2)當△A′B′C′∽△ABC時，相似比是多少？如何表示？△ABC和△A'B'C'全等.

相似

2

ABCDEFl1l2l3l4l5可以發(fā)現(xiàn)，當l3∥l4∥l5時，有

ABCDEFl1l2l3l4l5一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

當兩線段的比是1時，即為平行線等分線段定理.把平行線分線段成比例的基本事實應(yīng)用到三角形中，會出現(xiàn)下面兩種情況：ABCDEl1l2l3l4l5（1）ABCDEl1l2l3l4l5（2）在圖1中，把l4看成平行于△ABC的邊BC的直線；在圖2中，把l3看成平行于△ABC的邊BC的直線，那么我們可以得到結(jié)論：ABCDEl1l2l3l4l5（1）ABCDEl1l2l3l4l5（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.除了分線段成比例外，還有其他的比例關(guān)系嗎？三角形的三邊,與原三角形的三邊成比例.

3如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC，于點D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？ABCDEFABCDEF

證明：在△ADE與△ABC中，∠A=∠A，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.過點E作EF∥AB，交BC于點F，∵四邊形DBFE是平行四邊形，∵DE∥BC，EF∥AB,∴DE=BF，∴△ADE∽△ABC

ABCDEF(1)過點E作與AB平行的直線EF，為什么要作這條輔助線？ABCDEF平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.(2)過點D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出現(xiàn)一邊的平行線，那么你應(yīng)該聯(lián)想到什么？ABCDE平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.可以證明(3)如圖，若點D，E分別在AB，AC的反向延長線上，△ADE與△ABC是否還相似？相似知識歸納1．兩個三角形三個角分別相等，三條邊成比例，那么這兩個三角形相似．強調(diào)：(1)用“∽”表示兩三角形相似時，一般應(yīng)將對應(yīng)點寫在對應(yīng)的位置上；(2)若△ABC與△A′B′C′的相似比是k，則△A′B′C′與△ABC的相似比是____．

2．平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．3．平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段______．4．相似三角形判定的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角____．成比例相似例題與練習(xí)例1

如圖，△ADE∽△ACB，那么下列比例式成立的是(

)A

例2

如圖，在?ABCD中，AE＝EB，AF＝2，求CF的長．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴△AEF∽△CDF，∴.∵AE＝EB，

∴AE＝

AB＝

CD，∴CF＝2AF＝4.

課堂小結(jié)1．平行線分線段成比例定理及其兩個推論．定理：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例.

推論1：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的

延長線),所得的對應(yīng)線段成比例.

推論2：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，

所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.2．相似三角形的預(yù)備定理．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.1．教材P31練習(xí)第1，2題．2．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).若DE＝4，則EF的長是(

)

隨堂檢測CA.

B.

C.6

D.10

103．如圖，AB∥DC，AC交BD于點O，已知，BO＝6，則DO＝____．

4．如圖，已知菱形BEDF內(nèi)接于△ABC，點E，D，F(xiàn)分別在邊AB，AC和BC上．若AB＝15cm，BC＝12cm，求菱形BEDF的邊長．解：設(shè)菱形BEDF的邊長為xcm，則AE＝(15－x)cm.∵四邊形BEDF是菱形，