第2課時銳角的余弦和正切教師備課素材示例●歸納導入1.如圖，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，得__eq\f(AC1,AB1)＝eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(AC3,AB3)__＝k.在Rt△ABC中，當銳角A的度數__一定__時，無論這個直角三角形大小如何，∠A的鄰邊與斜邊的比是__唯一確定__的．2．當∠A＝30°或∠A＝45°時，∠A的鄰邊與斜邊的比是多少？【歸納】當銳角A的度數一定時，無論直角三角形大小如何，∠A的鄰邊與斜邊的比是唯一確定的．【教學與建議】教學：通過銳角確定的直角三角形圖形的變化，讓學生發現鄰邊與斜邊的比是確定的．建議：讓學生自主發現，歸納規律．●復習導入復習提問：1．在直角三角形中，當一個銳角的大小一定時，它的對邊與斜邊之間有什么關系？2．什么是正弦？如何求一個角的正弦？3．探究正弦的概念時，我們用了什么方法？4．類比正弦的情況，當銳角A大小確定時，∠A鄰邊與斜邊的比也是確定的嗎？【教學與建議】教學：先復習提問，再類比探究銳角的正弦的過程來探究銳角的余弦和正切．建議：通過畫圖強調銳角的正弦的內涵是無論直角三角形大小如何，當銳角的度數一定時，它的對邊與斜邊的比都是固定值．*命題角度1直接求直角三角形銳角的三角函數值已知直角三角形的兩邊長，用勾股定理求出第三邊長，再根據銳角三角函數的定義求銳角三角函數值．【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，則cosB＝__eq\f(12,13)__，tanA＝__eq\f(12,5)__．*命題角度2構造直角三角形，求銳角的三角函數值根據等腰三角形、菱形、圓等圖形的性質，構造直角三角形，再求直角三角形的銳角三角函數值．【例2】如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是(D)A．2B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(1,2)【例3】已知等腰三角形的腰長為6cm，底邊長為10cm，則底角的正切值為__eq\f(\r(11),5)__．【例4】如圖，在⊙O中過直徑AB延長線上的點C作⊙O的一條切線，切點為D.若AC＝7，AB＝4，則sinC的值為__eq\f(2,5)__.*命題角度3轉化等角，求銳角的三角函數值借助幾何圖形的性質或全等(或相似)等知識進行等角的轉化，從而求解．【例5】如圖，A，B，C三點在正方形網格線的交點處，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則tanB′的值為(B)A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(2),4)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6題圖）))【例6】如圖所示，∠1的正切值等于__eq\f(1,3)__．*命題角度4利用已知角的某一個三角函數值求其他三角函數值根據已知角的三角函數值確定其他三角函數值，設參數表示兩邊長，結合勾股定理及銳角三角函數的定義求解．【例7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(3,5)，則cosB的值是(B)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)【例8】在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(1,3)，則cosB＝__eq\f(\r(10),10)__．*命題角度5利用銳角三角函數求邊長根據銳角三角函數的定義及三角函數值表示出直角三角形的邊，結合勾股定理求解．【例9】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線EF交AC于點D，連接BD，若cos∠BDC＝eq\f(5,7)，則BC的長是(D)A．10B．8C．4eq\r(3)D．2eq\r(6)【例10】如圖，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sinA的值．解：過點C作CD⊥AB于點D.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(2S△ABC,AB)＝eq\f(2×84,15)＝eq\f(56,5).在Rt△ACD中，sinA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\f(56,5),13)＝eq\f(56,65).高效課堂教學設計1．理解余弦、正切的概念，了解銳角三角函數的定義．2．能運用余弦、正切的定義解決問題．▲重點理解銳角三角函數的意義，用它們進行簡單的計算．▲難點以函數的角度理解正弦、余弦、正切．◆活動1新課導入1．sin30°＝__eq\f(1,2)__，sin45°＝__eq\f(\r(2),2)__．2．在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大為原來的3倍，那么銳角∠A的正弦值__不變__.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝eq\f(2,3)，則AC的長為__eq\r(5)__．◆活動2探究新知1．教材P64探究．學生完成并交流展示．2．如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.(1)求證：eq\f(AC,AB)＝eq\f(A′C′,A′B′)；eq\f(BC,AC)＝eq\f(B′C′,A′C′)；(2)當∠A確定后，∠A的鄰邊與斜邊的比確定嗎？它的對邊與鄰邊的比呢？◆活動3知識歸納1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的__鄰__邊與__斜__邊的比，叫做∠A的余弦，記作__cos__A__，即cosA＝__eq\f(b,c)__．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的__對__邊與__鄰__邊的比，叫做∠A的正切，記作__tan__A__，即tanA＝__eq\f(a,b)__．3．銳角A的__正弦__、__余弦__、__正切__都叫做∠A的三角函數值．◆活動4例題與練習例1教材P65例2.例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(2,3)，求sinA和cosA的值．解：∵tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2,3)，設BC＝2k，則AC＝3k，∴AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝eq\r(（2k）2＋（3k）2)＝eq\r(13)k，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2k,\r(13)k)＝eq\f(2\r(13),13)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3k,\r(13)k)＝eq\f(3\r(13),13).例3已知關于x的方程x2－5x·sinα＋1＝0的一個根為2＋eq\r(3)，且α為銳角，求cosα.解：設方程的另一個根為x2，則(2＋eq\r(3))x2＝1，∴x2＝2－eq\r(3).根據根與系數的關系，得5sinα＝(2＋eq\r(3))＋(2－eq\r(3))，解得sinα＝eq\f(4,5).設銳角α所在的直角三角形的對邊長為4k(k>0)，則斜邊長為5k，鄰邊長為3k，∴cosα＝eq\f(3k,5k)＝eq\f(3,5).練習1．教材P65練習第1，2題．2．如圖，點A為∠α邊上的任意一點，過點A作AC⊥BC于點C，過點C作CD⊥AB于點D，下列用線段比表示cosα的值，錯誤的是(C)A．eq\f(BD,BC)B．eq\f(BC,AB)C．eq\f(AD,AC)D．eq\f(CD,AC)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9eq\r(2)，點D在邊BC上，連接AD.若tan∠CAD＝eq\f(1,3)，則BD的長為__6__．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是邊BC上一點，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α.(1)試寫出α的正弦、余弦、正切這三個三角函數值；(2)若∠B與∠ADC互余，求BD及AB的長．解：(1)在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝3eq\r(5)，∴sinα＝eq\f(2\