第三章變量之間的關系

3.1用表格表示的變量間關系

學習目標：

1.了解常量與變量的含義并能分清實例中的常量與變量，了解自變量和因變量的關系；

2.能從表格中獲得變量間的關系信息、，能用表格表示變量之間的關系，并根據表格中的數

據嘗試對變化趨勢進行初步預測.（重點，難點）

自主學習

一、情境導入

我們生活在一個變化的世界中，很多東西都在悄悄地發生變化.

你能從生活中舉出一些發生變化的例子嗎？

王波學習小組利用同一塊木板，測量了小車從不同高度下滑的時間:

他們得到如下數據：

支撐物高度

102030405060708090100

/cm

小車下滑

4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35

時間/S

根據上表回答下列問題：

（1）支撐物高度為70cm時，小車下滑時間是多少？

（2）如果用h表示支攆物高度，f表示小車下泄時間，隨著h逐漸變大，，的變化趨勢

是什么？

（3）h每增加10cm,t的變化情況相同嗎？

（4）估計當/?=110cm時，I的值是多少.你是怎樣估計的？

（5）隨著支撐物高度h為變化，還有哪些量發生變化？哪些量始終不發生變化？

歸納總結:

議一議

我國從1949年到2009年的人口統計數據如下(精確到0.01億):

時間/年1949195919691979198919992009

人口/億5.426.728.079.7511.0712.5913.35

(1)如果用x表示時間，)，表示我國人口總數，那么隨著x的變化，)，的變化趨勢是什么？

哪個是自變量，哪個是因變量？

(2)從1949年起，時間每向后推移10年，我國人口是怎樣變化的？

典例精析

例1父親告訴小明：“距離地面越遠，溫度越低”，并且出示了下面的表格:

距離地面高度(千米)012345

溫度(℃)201482-4-10

父親給小明出了下面幾個問題，請你和小明一起問答：

(1)如果用h表示距離地面的高度，用/表示溫度，那么隨著〃的變化，，如何變化?

(2)你知道距離地面5千米的高空溫度是多少嗎？

(3)你能預測出距離地面6千米的高空溫度是多少嗎？

二、課堂小結

當堂檢測

1.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而變化.在這一問題中，自變量是（）

A.沙漠B.體溫

C.時間D.駱鴕

2.對于圓的周長公式C=2兀上下列說法正確的是（）

A.n,R是變量，2是常量

B.R是變量，C是常量

C.C是變量，兀，R是常量

D.C,R是變量，2,7C是常量

3.下表所列為某商店薄利多銷的情況.某商品原價為560元，隨著不同幅度的降價，日銷

量（單位：件）發生相應的變化（如表）：

降價（元）51015202530

日銷量（件）780810840870900930

這個表反映了一個變量之間的關系，是自變量，是因變量.從表中可以

看出每降價5元，日銷量增加一件，從而可以估計降價之前的日俏量為一件.

4.研究表明，當每公頃鉀肥和磷肥的施用最一定時，土豆的產品與氮肥的施用最有如下關

系：

MCttJIlil/kg03467101135202259336?KM471

土豆產sr/t15.1?21.3625.7232.2934.0339.4543.1S43.4640.8330.75

（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？

（2）當氮肥的施用量是101kg/hm2（hm2表示“公頃”）時，土豆的產量是多少？如果不

施氮肥呢？

（3）根據表格中的數據，你認為氮肥的施用量是多少時比較適宜？說說你的理由.

（4）粗略說一說氮肥的施用量對土豆產量的影響.

典例精析

例1父親告訴小明：“距離地面越遠，溫度越低”，并且出示了下面的表格:

距離地面高度（千米）012345

溫度（℃）201482-4-10

父親給小明出了下面幾個問題，請你和小明一起回答：

（1）如果用h表示距離地面的高度，用/表示溫度，那么隨著〃的變化，/如何變化?

（2）你知道距離地面5千米的高空溫度是多少嗎？

（3）你能預測出距離地面6「米的高空溫度是多少嗎？

答：（1）隨著力的升高，，在降低.

（2）-10℃.

（3）根據規律，高度每升高1千米，溫度降低6℃,

所以距離地面6千米時的溫度是一10—6二~16（℃）.

當堂小結

一自變量一主動變化的量

變量一

L因變量——被動變化的量

k____）\__________________

1.自變量是在一定范圍內主動變化的量.

2.因變量是隨自變量變化而變化的量.

3.表格可以表示因變量隨自變量變化而變化的情況,

還能幫助我們對變化趨勢進行初步的預測.

當堂檢測

1.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而變化.在這一問題中，自變量是

（C）

A.沙漠B.體溫C.時間D.駱駝

2.對于圓的周長公式C=2冗R,下列說法正確的是（D）

A.TC,R是變量，2是常量

B.R是變量，C是常量

C.C是變量，7T,R是常量

D.C,R是變量，2?7t是常量

3.卜表所列為某商店薄利多銷的情況.某商品原價為560元，隨著不同幅度的降價，口銷

量（單位：件）發生相應的變化（如表）:

降價（元）51015202530

H銷量（件）780810810870900930

這個表反映了一個變量之間的關系，是自變量，是因變量.從表中可以

看出每降價5元，日銷量增加一件，從而可以估計降價之前的日銷量為一件.

答案：兩；降價；日銷量；30；750.

4.研究表明，當每公頃鉀肥和磷肥的施用量?定時，土豆的產量與氮肥的施用量有如下關

系：

假肥施用屬/尿03467101135202259336404471

土豆產盤/115.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75

(1)上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？

答案：氮肥施用量(自變量)；

土豆產量(因變量)

(2)當氮肥的施用量是101kg/hm2(hm2表示“公頃”)時，土豆的產量是多少？如果不

施氮肥呢？

答案：32.293不施氮肥，土豆產量減少.

(3)根據表格中的數據，你認為氮肥的施用量是多少時比較適宜？說說你的理由.

答案：氮肥施用量是336kg/hm2時比較適宜，因為此時土豆產量最高.

(4)粗略說一說氮肥的施用量對土豆產量的影響.

答案：隨著氮肥的增多土豆產量先增多，后減少，所以氮肥施用要適量.

第三章變量之間的關系

3.2用關系式表示的變量間關系

學習目標：

I.理解兩個變量之間的關系可以用關系式表示，能在一個關系式中指出自變量和因變量；

2.能夠在具體的情境中列出表示變量關系的關系式.(重點，難點)

二、要點探究

知識點一：用關系式表示變量間的關系

如圖，△ABC底邊BC上的高是6cm.當三角形的頂點C沿底邊所在直線向點B運動時,

三角形的面積發生了變化.

(1)在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？

(2)如果三角形的底邊長為x(cm)，

那么三角形的面積y(cm2)可以表示為.

⑶當底邊長從12cm變化到3cm時，

三角形的面積從cm2變化到cm2.

歸納總結

y=3x表示了三角形底邊長x和三角形面枳)，之間的關系，它是變量)，隨x變化的關系

想一想

你還記得圓錐的體枳公式是什么嗎？

其中的字母表示什么？

做一做

如圖，圓錐的高度是4cm,當圓錐的底面半徑由小到大變化時，圓錐的體積也隨之發生了

變化.

(1)在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？

3

(2)如果圓錐底面半徑為r(cm),那么圓錐的體積V(cm)與r的關系式為r

(3)當底面半徑由1cm變化到10cm時，圓錐的體積由cm3變化到cm3.

典例精析

例1一個小球由靜止開始沿一個斜坡向下滾動，通過儀器觀察得到小球滾動的距離s(m)

與時間l(s)的數據如下表：

時間/(S)1234■■■

距離s(m)281832?■■

寫出用t表示5的關系式:

議一議

你知道什么是“低碳生活”嗎？

排碳計算公式

家居用電的二氯比碳掉放，(kg)

=疑電■(kW?h)xO.785

開私家車的二氧化碳排放■Ikg)

?油耗升數(L)x2.7

家用天然氣二氧化碳排放■(kg)

=天然氣使用立方米觸(m〃xO.19

家用自來水二?化碳排放*(kg)

=自來水使用噸IHt)x0.91

(I)用字母表示家居用電的二氧化碳排放量的公式為，其中的字母分別表示

(2)在上述關系式中，耗電量每增加IkW-h(kWh是單位“千瓦?時”的符號)，二氧化

碳排放量增加.當耗電量從IkWh增加到100kWh時，二氧化碳排放量從

增加到.

(3)小明家本月用電大約UOkWh、天然氣20m3、自夾水5I、油耗75L,請你計算一下

小明家這幾項的二氧化碳排放量.

二、課堂小結

當堂檢測

1.變量X與y之間的關系式是y=AT—3,當自變量x=2時，因變量)，的值是()

A.-2B.-lC.1D.2

2.如圖是一個簡單的數值運算程序，當輸入x的值為1時，則輸出的數值為.

輸入zfX(―l)|f|+31f輸出|

3.在關系式s=40f中，當1=1.5時，s=.

4.對于氣溫，有的地方用攝氏度表示，有的地方川華氏度表示，攝氏度A(℃)與

華氏度y(°F)之間存在的關系為：y=l,8x+32,如圖所示.

(1)用表格表示當x從一10到30(每次增加10),y的

相應的值.

(2)某天，連云港的最高氣溫是8℃,悉尼的最高氣溫

是91°F,問這一天悉尼的最高氣溫比連云港的最高氣溫高多少攝氏度(結果保留整數)？

參考答案

一、創設情境，導入新知

1.確定一個三角形面積的量有哪些？

三角形的底邊長和對應高

四、要點探究

知識點一：用關系式表示變量間的關系

如圖，AABC底邊BC上的高是6cm.當三角形的頂點C沿底邊所在直線向點B運動

時，三角形的面積發生了變化.

(4)在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？

(5)如果三角形的底邊長為x(cm),

那么三角形的面積y(cm2)可以表示為.

⑹當底邊長從12cm變化到3cm時，

三角形的面枳從cm2變化到cm2.

答案：(1)三角形的底邊長是自變量，三角形的面積是因變量.

(2)y=3x.(3)36；9.

歸納總結

y=3x表示了三角形底邊長x和三角形面積)，之間的關系，它是變量)，隨x變化的關系

式.

y?3x

注意：關系式是我們表示變量之間關系的另一種方法，利用關系式

(如)，=3幻，我們可以根據任何一個自變量的值求出相應的因變量的值.

想一想

你還記得圓錐的體積公式是什么嗎？

V=1nrh

其中的字母表示什么？

做一做

如圖，圓錐的高度是4cm,當圓錐的底面半徑由小到大變化時，圓錐的體積也隨之發生了

變化.

(1)在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？

3

(2)如果圓錐底面半徑為r(cm),那么圓錐的體積V(cm)與r的關系式為r

(3)當底面半徑由1cm變化到10cm時，圓錐的體積由cm3變化到cm\

答：(1)圓錐的底面半徑的長度是自變量，圓錐的體積是因變量.

400

1---71

(2)V=行nrh：3

典例精析

例I一個小球由靜止開始沿一個斜坡向下滾動，通過儀器觀察得到小球滾動的距離”m)

與時間t(s)的數據如下表:

時間/(S)1234■■■

距離s(m)281832?■■

寫出用i表示S的關系式：.

答案：5=2戶

議一議

你知道什么是“低碳生活”嗎？

答：“低碳生活”是指人們生活中盡量減少所耗能量，從而降低碳(特別是二氧化碳)的排放

量的i種生活方式.

排碳計算公式

家屬用電的二氧比碳搏放■(kg)

=題電■(kW?h)xO.785

開私家車的二氧化碳排放*Ikg)

=油轉升故(L)x2.7

家用天然氣二氧化碳掙放■(kg)

=天然氣使用立方米BUm"xO.19

家用自來水二I［化碳掙放■(kg)

=自來水使用噸觸(t)x0.91

4

—71

(2)用字母表示家居用電用二氧化碳排放量的公式為,其中的字母分別表示

（2）在上述關系式中，耗電量每增加1kWh（kWh是單位“千瓦?時”的符號），二氧化

碳

排放量增加.當耗電量從1kWh增加到100kWh時，二氧化碳排放量從

增加到.

（3）小明家本月用電大約110kWhs天然氣20m3、自來水5t、油耗75L,請你計算一下

小明家這幾項的二氧化碳排放量.

答案：（1）），=0.785x；家居用電的二氧化碳排放量（），）、耗電量（工）

（2）0.785kg；0.785kg；78.5kg

（3）家居用電的二氧化碳排放量：110X0.785=86.35（kg）；

天然氣的二氧化碳排放量：20X0.19=3.8（kg）；

自來水的二氧化碳排放量：5x0.91=4.55（kg）；

開私家車的二氧化碳排放量：75x2.7=202.5（kg）.

當堂小結

求變量之間關系式的“三途徑”

I.根據表格中所列的數據，歸納總結兩個變量的關系式；

2.利用公式寫出兩個變量之間的關系式，比如各類幾何圖形的周長、面積、體積公式等;

3.結合實際問題寫出兩個變量之間的關系式，比如“銷量x（售價一進價）=利潤”等.

當堂檢測

1.變量x與y之間的關系式是），=/一3,當自變量/=2時，因變量），的值是（C）

A.-2B.-lC.lD.2

2.如圖是一個簡單的數值運算程序，當輸入x的值為1時，則輸出的數值為_2_.

輸入X(―1)|+31f輸出

4.在關系式s=40/中，當/=1.5時，s=_60_.

5.對于氣溫，有的地方用攝氏度表示，有的地方用華氏度表示，攝氏度x（℃）與

華氏度y（下）之間存在的關系為：＞=1.8X+32,如圖所示.

（1）用表格表示當x從一10到30（每次增加10）,＞＞的

相應的值.

（2）某天，連云港的最高氣溫是8℃,悉尼的最高氣溫是

91下，問這一天悉尼的最高氣溫比連云港的最高氣溫高多少攝氏度（結果保留整數）？

解：⑴

30

⑵由題意，得），=91,則1.8A+32=9I,

解得於33（C）.

33—8=25（℃）.

所以這一天悉尼的最高氣溫比連云港的高25℃.

第三章變量之間的關系

3.3用圖象表示的變量間關系

第1課時曲線型圖象

學習目標：

1.理解兩個變量之間的關系的曲線圖象，了解圖象中各個部分所表示的意義;

2.能夠從曲線型圖象中驍取關于兩個變量的信息.（重點，難點）

一、情境導入

招聘啟事

親愛的同學們：

學校廣播站要招聘一名

天氣預報節目主持人，為

了公平競爭，特地用下題

考查同學們的基本素質.請

將分析報告于本周內交到

學校廣播站，歡迎大家積

極參與，希望你能成為我

校首位天氣預報節目主持

人！

合作探究

五、要點探究

知識點一：用曲線型圖象表示的變量間關系

下表是某天各時刻的氣溫值，請分析這天的氣溫變化情況（要求直觀、形象、生動）.

時刻/h03691215182124

溫度FC262324273137353126

上圖表示了溫度隨時間的變化而變化的情況，它是溫度與時間之間關系的圖象.圖象是我們

表示變量之間關系的又一種方法，它的特點是非常直觀.

請根據左圖填空:

(I)上午9時的溫度是,12時呢？

(2)這一天的最高溫度是,是一時達到的；最低溫度呢？

(3)這一天的溫差是,從最低溫度到最高溫度經過一小時.

(4)在什么時間范圍內溫度在上升？在什么時間范圍內溫度在下降？

(5)圖中的A點表示什么？B點呢？

(6)你能預測次日凌晨I時的溫度嗎？說說你的理由.

典例精析

例1如圖所示是某市夏天的溫度隨時間變化的圖象，通過觀察可知，下列說法中錯謾的是

（）

38

34

A.這天15時溫度最高30

B.這天3時溫度最低26

22

C.這天最高溫度與最低溫度的差是13°C

D.這天0-3時，15?24時溫度在下降

例2下圖表示了某港口某日從0時到6時水深變化的情況.

（1）大約什么時刻港口的水最深？約是多少？

（2）A點表示什么？

（3）說說這個港口從0時到6時的水位是怎樣變化的.

議一議

駱鴕被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而發生較大的變化.

（1）在兩天中，駱駝的體溫的變化范圍是什么？它的體溫從最低上升到最高需要多少時間?

（2）從16時到24時，駱駝的體溫下降了多少？

（3）在什么時間范圍內駱駝的體溫在上升？在什么時間范圍內駱駝的體溫在下降？

（4）你能看出第二天8時駱駝的體溫與第?天8時有什么關系嗎？其他時刻呢？

（5）A點表示的是什么？還有幾時的體溫與A點所表示的體溫相同？

（6）你還知道哪些關于駱駝的趣事？與同伴進行交流.

二、課堂小結

當堂檢測

I.某市一周平均氣溫（C）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.星期二的平均氣溫最高

B.星期四到星期日天氣逐漸轉暖

C.這一周最高氣溫與最低氣溫相差4℃

D.星期四的平均氣溫最低

2.右圖表示某市某年6月份某一天的氣溫隨時間變化的情況，請觀察此圖回答下列問題:

（1）這天的最高氣溫是;

38

（2）這天在范圍內氣溫在上升；34

30

（3）請你預測一下，次日凌晨1點的氣溫大約是多少？26

22

18M

106

2

03691215182124

時間時

3.海水受日月的引力而產生潮汐現象，早晨海水上漲叫做潮，黃昏海水上漲叫做汐，合稱

潮汐.潮汐與人類的生活有著密切的聯系.下面是某港口從0時到12時的水深情況.

請你根據這個圖表設計一個問題，在小組內每人充當一次小老師，請其他同學回答.

參考答案

六、要點探究

知識點一：用曲線型圖象表示的變量間關系

請根據左圖填空:

38

37

36

35

34

33

32

31配

29

28

27

2<5

25

24

23

22

(1)上午9時的溫度是,12時呢？

(2)這一天的最高溫度是,是一時達到的；最低溫度呢？

(3)這一天的溫差是，從最低溫度到最高溫度經過一小時.

(4)在什么時間范圍內溫度在上升？在什么時間范圍內溫度在下降？

(5)圖中的A點表示什么？B點呢？

(6)你能預測次日凌晨1時的溫度嗎？說說你的理由.

答案：(1)27°C,31°C；(2)37°C,15；23℃,3時；

(3)14℃,12

(4)3時到15時；0時到3時、15時到24時.

(5)21時的溫度是31℃；0時的溫度是26℃.

(6)大約是24℃左右.

歸納總結

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸(稱為橫軸)上的點表示日變量,

用豎直方向的數軸(稱為縱軸)縱軸

上的點表示因變量.

交流討論

如何從圖象中獲取關于兩個變量的信息？

(1)要明白圖象上的點所表示的意義；

(2)從自變量的值得到因變量的值，及從因變量的值得到自變量的值;

(3)要能看出因變量如何隨自變量的變化而變化.

典例精析

例1如圖所示是某市夏天的溫度隨時間變化的圖象,

通過觀察可知，下列說法中錯誤的是（C）

A.這天15時溫度最高

B.這天3時溫度最低

C.這天最高溫度與最低溫度的差是13℃

03691215182124時間/時

D.這天。?3時，15?24時溫度在下降

方法總結：認真觀察圖象，弄清楚時間是自變量，溫度是因變量，然后由圖象上的點確定自

變量及因變量的對應值.

例2下圖表示了某港口某日從0時到6時水深變化的情況.

（1）大約什么時刻港口的水最深？約是多少？

（2）A點表示什么？

（3）說說這個港口從0時到6時的水位是怎樣

變化的.

答案：（I）3時，7米

（2）4時的水深

（3）先上升，后下降

議一議

駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而發生較大的變化.

（1）在兩天中，駱駝的體溫的變化范圍是什么？它的體溫從最低上升到最高需要多少時間？

（2）從16時到24時，駱駝的體溫下降了多少？

（3）在什么時間范圍內駱駝的體溫在上升？在什么時間范圍內駱駝的體溫在下降？

（4）你能看出第二天8時駱駝的體溫與第一天8時有什么關系嗎？其他時刻呢？

（5）A點表示的是什么？還有幾時的體溫與A點所表示的體溫相同？

（6）你還知道哪些關于駱駝的趣事？與同伴進行交流.

答案：（1）35℃至40。。12小時.

（2）3℃.

（3）4至16時和28至40時體溫上升；

0至4時，16至28時和40至48時體溫下降.

（4）體溫一樣.

（5）表示12時駱駝的體溫為39℃：20，36,44時.

當堂小結

1.圖象是我們表示變量之間關系的又一種方法，它的特點是非常直觀.

2.曲線型圖象能夠反映出數據的變化趨勢，通過結合橫、縱軸表示的意義，我們能夠很直

觀的感受到數據的含義.

當堂檢測

1.某市一周平均氣溫（℃）如圖所示，下列說法不正確的是（C）

A.星期二的平均氣溫最高

B.星期四到星期日天氣逐漸轉暖

C.這一周最高氣溫與最低氣溫相差4℃

D.星期四的平均氣溫最低

2.右圖表示某市某年6月份某一天的氣溫隨時間變化內情況，請觀察此圖【可答下列問題:

（1）這天的最高氣溫是;

38

這天在范圍內氣溫在上升；34

（2）30

26

（3）請你預測一下，次日凌晨1點的氣溫大約是多少？J22

e18

a

答案：（1）38C；

（2）3時至15時；

（3）大約是25℃.。3691215182124

時間時

3.海水受日月的引力而產生潮汐現象，早晨海水上漲叫做潮，黃昏海水上漲叫做汐，合稱

潮汐.潮汐與人類的生活有著密切的聯系.下面是某港口從0時到12時的水深情況.

請你根據這個圖表設計一個問題，在小組內每人充當一次小老師，請其他同學回答.

答案不限,合理即可

第三章變量之間的關系

3.3用圖象表示的變量間關系

第2課時折線型圖象

學習目標：

1.理解分段圖象的意義，掌握分段圖象各個部分的含義：

2.復習鞏固運用圖象表示變量間關系的方法，能夠運用其解決實際問題.（重點，難點）

自主學習

一、復習導入

我們已經學習了幾種表示變量方間關系的方法?

1.表格法下表所列為一商店薄利多銷的情況，某種商品的原價為450元/件，隨著降價

的幅度變化，日銷量（單位：件）隨之發生變化:

降價（降件）5101520253035

日銷量（件）7187878458959379731000

在這個表中反映了一個變量之間的關系，是自變量，是因變量.

2.關系式法

某出租車每小時耗油5L,若設I小時耗油qL,則自變量是—，因變量是一,

q與t的關系式是.

3.圖象法（曲線型圖象）

下圖表示了某港口某日從0時到6時水深變化的情況.

（1）大約什么時刻港口的水最深？約是多少？

（2）A點表示什么？

（3）說說這個港口從0時到6時的水位是怎樣變化的.

56時間（小時）

〉合作探究〈

七、要點探究

知識點一：用折線型圖象表示的變量間關系

每輛汽車上都有一個時速表用來指示汽車當前的速度，你會看這個表嗎?

下面的圖象表示一輛汽車的速度隨時間變化而變化的情況，你能用一句話描述嗎？

汽車在行駛的過程中，速度往往是變化的.下面的圖象表示一輛汽車的速度隨時間變化而變

化的情況.

(1)汽車從出發到最后停止共經過了分.它的最高時速是.

(2)汽車在時間段保持勻速行駛，時速分別是

和.

(3)出發后8分到10分之間可能發生什么樣的情況？

(4)用自己的語言大致描述這輛汽車的行駛情況.

歸納總結：

小結：怎樣通過圖象判斷速度隨時間變化的情況?

怎樣看圖：從左往右隨著時間的變化：

若圖象上升，表明速度在；

若圖象下降，表明速度在:

若圖象與橫軸平行，則表明速度.

若圖象在橫軸上，表明.

借助圖象可判斷因變量的變化趨勢：

圖象自左向右是上升的，則說明因變量隨著自變量的增大而增大，

圖象自左向右是下降的，則說明因變量隨著自變量的增大而減小，

圖象自左向右是與橫軸平行的，則說明因變量在自變吊:的增大的過程中保持不變